湖南省长沙市雅礼中学2021届高三上学期月考(一)数学(文)试题

【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月
考（一）数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}
{}|2,2,0,1,2A x x B =<=-，则A B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0,1-
C ．
2,0,1,2 D ．
1,0,1,2
2．在复平面内，复数121i
i
-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为
A ．7
B ．8
C ．12
D ．16
4．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 ( )
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )
A ． 1.234ˆy
x =+ B ． 1.2308ˆ.0y
x =- C ． 1.23.8ˆ0y
x =+ D ． 1.2308ˆ.0y
x =+ 6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a
等于
A ．2017
B ．2018
C ．2019
D ．2020
7．设()sin()cos()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于 A ．2
B ．2-
C ．8
D ．8-
8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A
．
32
π
+B
C ．
32
π D
．
32
π
+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16
π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（
12
π
，0）对称
B ．关于直线12
x π
=对称
C ．关于直线512x π
=
对称 D ．关于点（
5,012
π
）对称 10．若函数6,2
()(03log ,2
x
a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是 A ．(1,2]
B ．(0,2]
C ．[2,)+∞
D
．
11．已知点F 是双曲线22
22=1x y a b
-的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直
于x 轴的直线与双曲线交于G 、H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞
B ．()1,2
C
．(21
, D
．(1,1
12．已知ABC 是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是( ) A ．2- B ．32
-
C ．43
-
D ．1-
二、填空题
13．锐角ABC 中，43AB AC ==，，△ABC
的面积为则BC ＝_______。

14．函数(1)
log 2(0x a
y a -=+>且1a ≠）的图象必过点A ，则过点A 且与直线
2x ＋y －3＝0平行的直线方程是____________________．
15．已知正三棱锥P ABC 一的侧面是直角三角形，P ABC 一的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ABC 一的体积为36，则球O 的表面积为__________．
16．已知函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在
[,]m n D ⊆使得()f x 在[,]m n 上的值域为[
,],22
m n
那么就称()y f x =为“成功函数”。

若函数(
)
()log (0,1)x
a t a
f x a a +=>≠是“成功函数”，则t 的取值范围为_____________。

三、解答题
17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，满足：314137,,,a a a a =成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 。

（2）令2
1
()1
n n b n N a *=
∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18．如图，在四棱锥P ABCD －中，AB CD ，且BAP CDP ∠=∠=900.
（1）求证：AB PAD ⊥平面；
（2）若90PA PD AB DC APD ===∠=︒，，四棱锥P ABCD －的体积为9，求四棱锥P ABCD －的侧面积
19．某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间（单位：分钟），将600人随机编号为001，002，…，600，抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟，将上学所需时间按如下方式分成六组，第一组上学所需时间在［0，10），第二组上学所需时间在[10，20）…，第六组上学所需时间在［50，60］，得到各组人数的频率分布直方图，如下图
（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一个抽取的号码为006，则第五个抽取的号码是多少？
（2）若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a 、b ，求满足10a b ->的事件的概率；
（3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？
20．已知抛物线E ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 与E 交于A ，C 两点 （1）求证：抛物线E 在A 、C 两点处的切线互相垂直
（2）过点F 作直线l 的垂线与抛物线E 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积的最小值
21．设函数()ln a
f x x x
=+
，其中a R ∈ （1）讨论()f x 的单调性； （2）①若a ＝1，求()f x 的最小值
②求证：21[(1)!](1)()n n n e n N -*+>+⋅∈． 提示：（n ＋1）！＝1×2×3×…×（n ＋1） 22．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R π
θρ=
∈，曲线C 的参数方程为cos (sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数） （1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点M (a 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若11MA MB ⋅=，求a 的值．
23．选修4－5：不等式选讲
已知函数()223,()32f x x a x g x x =-++=-． （1）解不等式()21g x x <+
（2）若对任意的1x R ∈，任意的2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围
参考答案
1．A 【解析】
分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集. 详解：
222,x x <∴-<<，因此A B ={}(){}2,0,1,22,20,1-⋂-=，选A.
点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 2．B 【分析】
利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i 的幂运算性质化简复数z ，求出其共轭复数，从而得到答案. 【详解】
∵复数121i z i -=+=()()()()12111i i i i --+-=132i --=13
22
--i ，
∴13z 22=-
+i ，，它在复平面内对应点的坐标为（13
22
-，）， 故z 对应的点位于在第二象限， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 3．B 【解析】 【分析】
根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论． 【详解】
若输入a=1，b=2，
则第一次不满足条件a ＞6，则a=2， 第二次不满足条件a ＞6，则a=2×2=4， 第三次不满足条件a ＞6，则a=4×
2=8，
此时满足条件a＞6，输出a=8，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4．D
【分析】
画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．
【详解】
画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由
1
30
y
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得：A（2，1），
由z=2x+y得：y=﹣2x+z，
显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，
故z的最大值是：z=4+1=5，
故选D．
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
5．D
【解析】
由条件知，4x =，5y =，设回归直线方程为 1.23ˆy
x a =+，则 1.230.08a y x =-=.选D. 6．B 【解析】 【分析】
由等比数列通项公式得到2019a ，再结合对数运算得到结果. 【详解】
∵11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
∴20191
2018201913
3a -=⨯= ∴2018
2019
333
log log 2018a ==
故选：B 【点睛】
本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题. 7．C 【分析】
由题意利用诱导公式求得 asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f （2019）的值． 【详解】
∵()()()sin cos 5f x a x b x παπβ=++++
∴()()()2018sin 2018cos 20185sin cos 52f a b a b παπβαβ=++++=++= 即sin cos 3a b αβ+=-
而()()()2019sin 2019cos 20195sin cos 5f a b a b παπβαβ=++++=--+=8 故选C 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题． 8．A 【详解】
试题分析：由题意得，根据所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和，又该圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为
1
122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12
π，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所
轴截面面积为
12222
⨯⨯⨯=32π+ A. 考点：几何体的三视图及几何体的表面积. 【方法点晴】
本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，属于基础题，本题的解答中，根据所盖的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和是解答问题的关键. 9．C 【解析】 【分析】
利用平移变换得到()sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，然后研究函数的对称性. 【详解】
将sin2y x =的图象右移
6π个单位后得到图象的对应函数为()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
令()23
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈得，5212
k x ππ
=
+， 取0k =知512
x π
=为其一条对称轴， 故选：C. 【点睛】
函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B ，=-.(2)周期2π.T ω
=
(3)由 ()π
π2
x k k Z ωϕ+=
+∈求对称轴
(4)由()ππ
2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间; 由()π3π
2π2π22
k x k k Z ωϕ+≤+≤
+∈求减区间. 10．A 【分析】
先求出当x ≤2时，f （x ）≥4，则根据条件得到当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】
当2x ≤时，64x -+≥，
要使得函数()f x 的值域为[
)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[
)4,+∞， 故1a >，所以3log 24a +≥， 解得12a <≤，
所以实数a 的取值范围是(]
1,2. 故选A 【点睛】
本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x ≤2时的函数的值域是解决本题的关键． 11．B 【分析】
确定45GEF ∠<︒，在直角GEF △中得到2022a c +ac >-，即22<0e e --，计算得到答案. 【详解】
若GHE ∆是锐角三角形，则45GEF ∠<︒
在直角GEF ∆中，2b GF a
=，EF a c =+，GF EF <
即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e 故选：B 【点睛】
本题考查了双曲线的离心率的取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定
45GEF ∠<︒是解题的关键.
12．B 【分析】
以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出
向量PA ，PB ，PC ，得到2()22)⋅+=-PA PB PC x y y ，进而可求出结果. 【详解】
如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，
所以()PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--， 所以(2,2)PB PC x y +=--，
22233
()22)22(22
⋅+=-=+-
--PA PB PC x y y x y ≥，
当(0,
2
P 时，所求的最小值为32-. 故选：B 【点睛】
本题主要考查求向量数量积的最值，通过建系的方法处理，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.
13【解析】 【分析】
利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ．
【详解】
因为锐角△ABC 的面积为AB=4，AC=3，
所以
12
×3×4×，
所以 所以A=60°， 所以cosA=
12
，
所以
【点睛】
本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，属于基础题. 14．260x y +-= 【分析】
由题意可得函数()
1log 2(0x a
y a -=+>且1a ≠）的图象必过点A ()2,2，结合点斜式得到所求直线的方程. 【详解】
由题意可得：A ()2,2， 又与直线2x ＋y －3＝0平行， ∴直线斜率为
1
2
， ∴所求直线方程为：()1
y 222
x -=- 故答案为260x y +-= 【点睛】
本题考查了直线方程的求法，考查了对数函数的图象与性质，属于基础题. 15．108π 【分析】
先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题． 【详解】
∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， 设球O 的半径为R ，
， ∵正三棱锥P ABC 一的体积为36，
∴V=11136332PAC
S PB ⨯⨯=⨯=
∴R=∴球O 的表面积为S=4πR 2=108π 故答案为108π．
【点睛】
本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．
16．10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解． 【详解】
依题意，函数g （x ）=log a （a 2x +t ）（a ＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t ≥0，
而t=0时，g （x ）=2x 不满足条件②， ∴t ＞0．
设存在[m ，n]，使得g （x ）在[m ，n]上的值域为[m ，n]，
∴(
)()
22m a n
a log a t m log a t n
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
即22m m n n
a t a a t a
⎧+=⎨+=⎩， ∴m ，n 是方程（a x ）2﹣a x +t=0的两个不等的实根， 设y=a x ，则y ＞0，
∴方程等价为y 2﹣y+t=0的有两个不等的正实根，
即1212
140010t y y t y y =-⎧⎪
=⎨⎪+=⎩＞＞＞， ∴1
40t t ⎧⎪⎨⎪⎩
＜
＞，解得014t ＜＜，
故答案为：10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．综合性较强． 17．⑴()21,2n n a n S n n =+=+⑵()
41n n
T n =+
【解析】 【分析】
（1）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结果； （2）通过裂项可知b n =11141n n ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
，利用裂项相消求和即可． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
由于37a =，又1413,,a a a 成等比数列，即2
4113a a a =，
所以()()11
1127,3212,a d a d a a d +=⎧
⎨+=+⎩解得13,2a d ==
由于()()111,2
n n n n a a a a n d S +=+-=
，
所以()21,2n n a n S n n =+=+
（2）因为21n a n =+，所以()2
141n
a n n -=+，因此()11114141n
b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++⎝⎭
故1211111114223
1n n T b b b n n ⎛⎫=+++=
-+-++
- ⎪+⎝⎭
， ()
1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭. 所以数列{}n b 的前n 项和()
41n n
T n =+
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)
(
)1111n n k k n n
k ⎛⎫
=-
⎪++⎝⎭
；
（2） 1
k
=
； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11122n n n =++
()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的
问题，导致计算结果错误. 18 【分析】
（1）推导出AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，从而AB ⊥PD ，进而AB ⊥平面PAD ，由此能证明平面
PAD PAB ⊥平面平面;
（2）设PA=PD=AB=DC=a ，取AD 中点E ，连结P E ，则P E ⊥底面ABCD ，由四棱锥P ﹣ABCD 的体积为9，求出a=3，由此能求出该四棱锥的侧面积． 【详解】 （1）90,,.BAP CDP PA AB PD DC ∠=∠=︒∴⊥⊥
又//,,.AB CD PD AB AB PAD ∴⊥∴⊥平面 又
,.AB PAB PAD PAB ⊂∴⊥平面平面平面
（2）设PA PD AB DC a ====
，则AD BC ==.
过P 作PE AD ⊥,E 为垂足，
,PA PD =∴ E 为AD 中点.
,,AB PAD AB PE PE ABCD ⊥∴⊥⊥平面平面
.
1=93P ABCD V a a -⨯=.
327,3a a ∴=∴=.
四棱锥P-ABCD 的侧面积为：
222111222PAD PAB PDC PBC S S S S a a a ∆∆∆∆+++=
++
, (
2
22
332722
2
2
a a a ++=
+=
=
．
【点睛】
空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 19．⑴054；⑵8
15
；⑶3 【解析】
【分析】
（1）根据抽取的50个样本，则应将600人平均分成50组，每组12人，然后利用系统抽样的原则，每组中抽出的号码应该等距即可；
（2）先由直方图知第4组频率和第6组频率，然后利用频数=样本容量×频率，求出第4组和第6组的人数，然后利用列举法将从这六人中随机抽取2人的所有情况逐一列举出来，然后将满足条件的也列举出来，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可．
（3）利用样本估计总体的方法，先算出全校上学时间不少于30分钟的学生约有多少人，从而估计全校需要几辆校车． 【详解】
（1）600÷50=12，第一段的号码为006，
第五段抽取的数是6＋（5－1）×12=54，即第五段抽取的号码是054 （2）第四组人数=0.008×10×50=4，设这4人分别为A 、B 、C 、D ， 第六组人数=0.004×10×50=2，设这2人分别为,x y , 随机抽取2人的可能情况是：
AB AC AD BC CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy 一共15种情况，其中他们上学所需时间满足10a b ->的情况有8种， 所以满足10a b ->的事件的概率8
15
p =
， （3）全校上学所需时间不少于30分钟的学生约有： 600×（0.008＋0.008＋0.004）×10=120人， 所以估计全校需要3辆校车. 【点睛】
(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 20．⑴见证明；⑵32 【解析】 【分析】
（1）设过点()0,1F 的直线方程为1y kx =+.与抛物线联立得到1212
4,
4,x x k x x +=⎧⎨=-⎩利用导数的
几何意义表示切线斜率，从而得证；
（2）表示()
2
41AC k =+，2
141BD k ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，ABCD S 四边形 【详解】
（1）设过点()0,1F 的直线方程为1y kx =+.
由2
1,
4,y kx x y =+⎧⎨=⎩
得()2
41x kx =+，
即2440x kx --=.
设()()1122,,,A x y C x y ，则1212
4,4,x x k x x +=⎧⎨=-⎩
211
,42
y x y x '=
∴=. 设抛物线E 在A 、C 两点处的切线的斜率分别为12,k k ，
则121212111
·
·1224
k k x x x x ===-. 故抛物线E 在A 、C 两点处的切线互相垂直. （2）由（1
）知
()
241AC k ===+，
同理2141BD k ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
， ()
2211=
?=8112ABCD S AC BD
k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
四边形，
22181182k k ⎛⎛⎫
=+++≥+ ⎪ ⎝⎭⎝=32 ∴四边形ABCD 的面积的最小值为32. 【点睛】
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21．⑴见证明；⑵①1；②见证明 【解析】 【分析】
(1)求出()221a x a
f x x x x
='-=
-，对a 讨论，得到()f x 的单调性； （2）①利用单调性即可得到最值，②由①知1
1Inx x
≥-，令()1x n n =+，则
()()
1
111In n n n n ⎡⎤+>-
⎣⎦+，然后累加即可.
【详解】 （1）()221.a x a f x x x x
-='=
- 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；
②当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （2）①()()211
1,,x a f x Inx f x x x
'-==+=，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
即()()()11,f x f f x ≥=的最小值为1.
②由①知11Inx x ≥-，令()1x n n =+，则()()1111In n n n n ⎡⎤+>-⎣⎦+，所以()1
12112
In ⨯>-
⨯，
()123123In ⨯>-⨯，()134134
In ⨯>-⨯，…，()()1111In n n n n ⎡⎤+>-⎣⎦+， 叠加得：()()2
2
211
1123112231In n n n n n ⎡⎤
⎡⎤⨯⨯⨯
⨯+>-+++⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎢⎥⎣
⎦
, 1111111n n n n n ⎛
⎫=--=-+>- ⎪
++⎝⎭
， 则()22
211231n n n c -⨯⨯⨯
⨯+>，所以
()()()2
1
1!1?n n n c n N -⎡⎤+>+∈⎣⎦
. 【点睛】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-
.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．⑴
:l y x =，曲线2
2:1C x y
+=；⑵3或-3 【分析】
（1）根据题意，由极坐标方程的定义可得直线l 的方程，对于曲线C 的参数方程，消去参数计算即可得答案；
（2）设过点(M a 且平行于直线l
的直线为1,2
:x a L y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），结合题
意直线L 1与曲线C 相交可得：2
220t t a +++=.，又由题意可得2211a +=，
从而得到结果． 【详解】
（1）直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
，所以直线的斜率为1，直线:l y x =，
曲线C 的参数方程为x cos y sin θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数θ，可得曲线22
:1C x y +=.
（2
）设过点(M a 且平行于直线l
的直线为1,2
:2x a L y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
由直线1L 与曲线C
相交可得2
220t t a +
+++=.
因为·
11MA MB =,所以2211a +=，即3a =或3a =-. 【点睛】
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00{
?x x tcos y y tsin θθ
=+=+ (t 为参数)．若A ，B
为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=
；(2) 1202
t t
PM t +==；(3) 21AB t t ＝－；(4) 12·
·PA PB t t ＝． 23．⑴见解析；⑵1a ≥-或5a ≤- 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；
（2）因为对任意的1x R ∈，任意的[]
20,1x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，所以
()()min max f x g x ≥.
【详解】
（1）由()21g x x <+得不等式的解为
1
35
x <<. （2）因为对任意的1x R ∈，任意的[]
20,1x ∈，使得()()12f x g x ≥成立， 所以()()min max f x g x ≥，
又()()()2232233,f x x a x x a x a =-++≥--+=+
[]()2max 0,1,2x g x ∈=,
32a +≥，得不等式的解为1a ≥-或5a ≤-.
【点睛】
求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法
求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：
第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.
第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．。