旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

旋转曲面的参数方程
---------利用正交变换作旋转
众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
()0F z =（1）
（见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。

如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为
()f z =或222[()]x y f z += （2）
这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为
()f z 的一个垂直于z 轴的圆。

当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面：
()cos ()sin x f z y f z z z θ
θ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩
（02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的
圆。

当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

如果曲线的方程能写成参数方程()
()
y f t z g t =⎧⎨
=⎩（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为：
()cos ()sin ()x f t y f t z g t θθ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩
（02θπ≤≤，a t b ≤≤）
（4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。

当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为()
()()x h t y f t z g t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（a t b ≤≤），则此曲线绕z
轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：
()x y z g t θθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （5） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈
直于z 轴的圆。

当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

（见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。

例1yOz 坐标面上的圆222()y b z a -+=（0a b <<）绕z 轴旋转而成的旋转曲面为一圆环面。

为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为cos sin y b a t
z a t
=+⎧⎨=⎩（02t π≤≤），
再用方程（4）得到圆环面的参数方程：
cos cos cos sin sin x b a t y b a t z a t θθ⎧=+⎪
=+⎨⎪=⎩
（02θπ≤≤，02t π≤≤） 如图1（取1,3a b ==）。

图1 圆环面
绘制图1的Mathematica 程序： a=1;b=3;
xx[t_]:=0;yy[t_]:=b+a Cos[t];zz[t_]:=a Sin[t]; r[t_]:=Abs[yy[t]];
x[t_,theta_]:=r[t] Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t] Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t]; Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,0 ,2 Pi},PlotStyle {Red,Thickness[0.02]}]; Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,0,2 Pi},{theta,0,2 Pi},PlotPoints
40];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-5,5},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange {{-5,5},{-5,5},{-3,3}},Boxed
False,Axes
F
alse,ViewPoint
{5,4,3}]
例2 空间直线1
2x y t z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（a t b <<）绕z 轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。

用方程
（5）得到单叶双曲面的参数方程：
22
112x t y t z t θθ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩
（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。

如图2
图2 单叶双曲面
绘制图2的Mathematica 程序：
xx[t_]:=1;yy[t_]:=t;zz[t_]:=2t; r[t_]:=Sqrt[xx[t]^2+yy[t]^2];
x[t_,theta_]:=r[t] Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t] Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t]; Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,-1.2 ,1.2},PlotStyle {Red,Thickness[0.0
2]}];
Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,-1,1},{theta,0,2 Pi},PlotPoints
40];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange {{-2,2},{-2,2},{-3,3}},Boxed
False,Axes
F
alse,ViewPoint
{5,4,3}]
从图2看出，用参数方程（5）绘制的曲面上的母线并不是原来那条直线（图中红色的直线）绕z 轴旋转时留下的直线族。

为了绘出以圆曲线在旋转时的曲线族为母线的曲面，我们必须利用旋转曲面的另一种参数方程。

这要用到直角坐标系中的旋转变换。

平面直角坐标系xOy 中一个点(,)P x y 绕原点逆时针旋转角度θ后的点(,)Q X Y 的坐标为
cos sin sin cos X x y Y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩ 或 cos sin sin cos X x Y y θ
θθ
θ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（6） 如图3。

（见同济大学《线性代数》（5版），32页）
图3 平面直角坐标面上点的旋转
同理，空间直角坐标系Oxyz 中一个点(,,)P x y z 绕z 轴旋转角度θ（从z 轴正向看去为逆时针方向）后的点(,,)Q X Y Z 的坐标为
cos sin sin cos X x y Y x y Z z θθθθ=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 或 cos sin 0sin cos 000
1X x Y y Z z θ
θθθ
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（7）
因此利用正交变换（7），空间曲线()
()()x h t y f t z g t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（a t b ≤≤）绕z 轴旋转而成的旋转曲面的
参数方程又可以写成：
cos sin 0()sin cos 0()00
1()x h t y f t z g t θθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （8）
例1 中的圆环面的参数方程可以改写成：
cos sin 00sin cos 0cos 00
1sin x y b a t z a t θθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（02θπ≤≤，02t π≤≤）
例2 中的单叶双曲面的参数方程可以改写成：
cos sin 01sin cos 000
12x y t z t θ
θθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪
= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（02θπ≤≤，a t b ≤≤）
我们用这个参数方程来作图（图4）：
图4 单叶双曲面
图4清楚地显示了那条红色的直线在绕z 轴旋转时留下的直线族。

绘制图4的Mathematica 程序： r[t_]:={1,t,2t};
A[theta_]:={{Cos[theta],-Sin[theta],0},{Sin[theta],Cos[theta],0},{0,0,1}}; Quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,-1.2,1.2},PlotStyle {Red,AbsoluteThickness[3]}]; Qumian=ParametricPlot3D[A[theta].r[t],{t,-1,1},{theta,0,2 Pi},Mesh
{10,20},PlotPoints
40,AspectRatio
Automatic];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-3,3},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange {{-2,2},{-2,2},{-3,3}},Boxed
False,Axes
F
alse,ViewPoint
{6,3,3}]
同理，我们可以很方便地得到空间曲线绕y 轴或x 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程。

结论：设有空间曲线()
()()x h t y f t z g t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（a t b ≤≤），则利用绕坐标轴旋转的变换，该曲线分别绕
三个坐标轴旋转而成的旋转曲面的参数方程分别是：
（1）绕z 轴旋转：
cos sin 0()sin cos 0()001()x h t y f t z g t θθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪
= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （8）
（2）绕y 轴旋转：
cos 0sin ()010()sin 0cos ()x h t y f t z g t θθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （9）
（3）绕x 轴旋转：
1
00
()0cos sin ()0sin cos ()x h t y f t z g t θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪
=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （10）
例3 求空间曲线32
,,(11)3
t x t y t z t ===-≤≤绕y 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程，并作图。

解 根据方程（9），旋转曲面的参数方程是：
23cos 0sin 010sin 0cos 13x t y t z t θθθθ⎛⎫
⎪
-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ⎪⎝⎭
（02θπ≤≤，11t -≤≤）
如图5。

图5 绕y 轴旋转的曲面
绘制图5的Mathematica 程序： r[t_]:={t,t^2,t^3/3};
A[theta_]:={{Cos[theta],0,-Sin[theta]},{0,1,0},{Sin[theta],0,Cos[theta]}}; Quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,-1.1,1.1},PlotStyle {Red,AbsoluteThickness[3]}]; Qumian=ParametricPlot3D[A[theta].r[t],{t,-1,1},{theta,0,2 Pi},Mesh
{10,20},PlotPoints
40,AspectRatio
Automatic];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-1,1},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-0.5,1.5},PlotStyle AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange {{-2,2},{-0.5,1.5},{-1,1}},Boxed
False,Axes
False,ViewPoint
{6,3,3}]
例4 求空间曲线3
2
1,,(11)3
t x t y t z t +===-≤≤绕x 轴旋转而成的旋转曲面的参数方
程，并作图。

解 根据方程（10），旋转曲面的参数方程是：
231
000cos sin 0sin cos 1(1)3x t
y t z t θθθθ⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭+ ⎪⎝⎭
（02θπ≤≤，11t -≤≤）
如图6：
图6 绕x轴旋转的曲面
绘制图6的Mathematica程序：
r[t_]:={t,t^2,(1+t^3)/3};
A[theta_]:={{1,0,0},{0,Cos[theta],-Sin[theta]},{0,Sin[theta],Cos[theta]}};
Quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,-1.2,1.2},PlotStyle{Red,AbsoluteThickness[3]}]; Qumian=ParametricPlot3D[A[theta].r[t],{t,-1,1},{theta,0,2
Pi},Mesh{10,20},PlotPoints40,AspectRatio Automatic];
X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-1,1},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle AbsoluteThickness[3]];
XYZ=Show[X,Y,Z];
Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange{{-1,1.4},{-1.5,1.5},{-1.2,1.2}},Boxed False,A xes False,ViewPoint{1,2,2}]
徐小湛四川大学2010-09-06。