2.4+第4课时+角平分线的性质与判定的应用+课件+2024—2025学年苏科版数学八年级上册
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求证：AD垂直平分EF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠ADF.
∴DE=DF，AE=AF，
∴点D,A都在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
变式：如图,D是△ABC的边BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点
F,DE=DF.求证:AD垂直平分EF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
第2章 轴对称图形
2.4 第4课时 角平分线的性质与判定的应用
知识回顾
获取新知
例题讲解
随堂演练
课堂小结
知识回顾
D
A
1.角是轴对称图形吗？
角是轴对称图形，
角平分线所在直线是它的对称轴.
P
O
2.角平分线定理及其逆定理各是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
PD=PF
PD=PE
F
P
B
E
C
=PE
点P在∠BCA的平分线上
你能给出证明过
程吗？
验证
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P也在∠ACB的平分线上.
A
F
证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC,
垂足分别为F、M、N.
P
B
∵AD是△ABC的角平分线，点P在AD上（已知）,
∴FM＝FH,
∴FG＝FH,（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上.
M
H
课堂小结
说说你本节课你有什么收获？
PM=PN,用尺规作出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
解：如图所示：
随堂演练
1.到三角形三边的距离都相等的点是三角形的 ( A )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
2.角是轴对称图形,它的对称轴是 角平分线所在的直线
.
4
3.如图,△ABC的三条角平分线交于点O,OD⊥AB于点D.若△ABC的周
E
C
B
新知探索
1． 画出下面这个三角形的三个内角的平分线，你发现了什么
特点?
获取新知
一起探究
画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 如何证明？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
A
分析：只需要证明第三条角平分线经过另外
D
两条角平分线的交点即可.思路可表示如下：
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
长为60,OD=5,则△ABC的面积为
150 .
4. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线
相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
G
FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC,
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC,
∴PF=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理 PF=PM.
∴ PM=PN（等量代换）.
∴ 点P在∠BCA的平分线上.
N
E
DM
C
归纳总结
三角形三个内角的平分线交于一点，且
这一点到三角形三边的距离相等.
例题讲解
例1：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别为E、F.
∴∠AED=∠AFD=90°.
= ,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
= ,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF.
又∵DE=DF,
∴点D,A都在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
例2
如图直线AB,CD相交于点O,点M在OD上,在∠AOD的内部有一点N,
现 要 在 ∠ AOD 的 内 部 找 一 个 点 P, 使 点 P 到 AB,CD 的 距 离 相 等 , 且 使
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∠BAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠ADF.
∴DE=DF，AE=AF，
∴点D,A都在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
变式：如图,D是△ABC的边BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点
F,DE=DF.求证:AD垂直平分EF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
第2章 轴对称图形
2.4 第4课时 角平分线的性质与判定的应用
知识回顾
获取新知
例题讲解
随堂演练
课堂小结
知识回顾
D
A
1.角是轴对称图形吗？
角是轴对称图形，
角平分线所在直线是它的对称轴.
P
O
2.角平分线定理及其逆定理各是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
PD=PF
PD=PE
F
P
B
E
C
=PE
点P在∠BCA的平分线上
你能给出证明过
程吗？
验证
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P也在∠ACB的平分线上.
A
F
证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC,
垂足分别为F、M、N.
P
B
∵AD是△ABC的角平分线，点P在AD上（已知）,
∴FM＝FH,
∴FG＝FH,（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上.
M
H
课堂小结
说说你本节课你有什么收获？
PM=PN,用尺规作出点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
解：如图所示：
随堂演练
1.到三角形三边的距离都相等的点是三角形的 ( A )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
2.角是轴对称图形,它的对称轴是 角平分线所在的直线
.
4
3.如图,△ABC的三条角平分线交于点O,OD⊥AB于点D.若△ABC的周
E
C
B
新知探索
1． 画出下面这个三角形的三个内角的平分线，你发现了什么
特点?
获取新知
一起探究
画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 如何证明？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
A
分析：只需要证明第三条角平分线经过另外
D
两条角平分线的交点即可.思路可表示如下：
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
长为60,OD=5,则△ABC的面积为
150 .
4. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线
相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
G
FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC,
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC,
∴PF=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理 PF=PM.
∴ PM=PN（等量代换）.
∴ 点P在∠BCA的平分线上.
N
E
DM
C
归纳总结
三角形三个内角的平分线交于一点，且
这一点到三角形三边的距离相等.
例题讲解
例1：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别为E、F.
∴∠AED=∠AFD=90°.
= ,
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
= ,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF.
又∵DE=DF,
∴点D,A都在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
例2
如图直线AB,CD相交于点O,点M在OD上,在∠AOD的内部有一点N,
现 要 在 ∠ AOD 的 内 部 找 一 个 点 P, 使 点 P 到 AB,CD 的 距 离 相 等 , 且 使