滁州市九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．对于二次函数()()2
140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ）
①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；
②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<； ④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102
a <≤ A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
2．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：
（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A ．2148575152
y x x =--+ B ．21485
75152
y x x =-++ C ．21485
75152y x x =
-+ D ．21485
75152
y x x =
++ 5．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．233y x =+ B ．231y x =- C ．()2
321y x =++
D ．()2
321y x =-+
6．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A ．当n ＜0时，m ＜0 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2
D ．当n ＞0时，m ＜x 1
7．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点
A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；
②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x
时，
0y >，其中正确的是（ ）
A ．①②⑤
B ．①②④
C ．②③④
D ．③④⑤
8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31
(,)2
y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y >>
B ．213y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>
9．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．
A ．23x <<
B ．34x <<
C ．45x <<
D ．56x <<
10．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；
②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数
0x 、使得0a b
x a
+=-
其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ） A ．22(1)5y x =-++ B ．22(1)5y x =--+ C ．22(1)5y x =-+-
D ．22(1)5y x =---
第II 卷（非选择题）
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参考答案
二、填空题
13．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程
()2
220a x bx b c -+-+=的解是________________．
14．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．
15．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次不等式
220x x m -++>的解集为______________________．
16．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣
13
x 2
，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．
17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为2
1 3.258
y x =-
+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．
18．二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是________．
19．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan ∠DCB ＝3，则点D 的坐标为_____．
20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在B
的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在（1）的条件下，设点P 在抛物线的对称轴上，求PA+PC 的最小值和点P 的坐标．
22．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点M 抛物线的顶点．
（1）连接BC ，求BC 与对称轴MN 的交点D 坐标． （2）点E 是对称轴上的一个动点，求OE CE +的最小值．
23．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
3- 52- 2- 1- 0 1 2
52 3
y
3
54
1- 0 1- 0
54
3
请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质__________________； （3）进一步探究函数图象发现：
①方程22||0x x -=的实数根为____________； ②方程22||2x x -=有____________个实数根．
③关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围____________．
24．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A 'B 'O ．一抛物线经过点A '、B '、B ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB 'A 'B 的面积是△A 'B 'O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知二次函数21y ax bx =+-的图象经过点D （-1，0）和C （4，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在同一坐标系中画出直线1y x =+，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
26．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，点
P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．若2PE ED =，求PBC 的面积；
②抛物线上是否存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
①由y=0，一元二次方程()2
14=0ax a x +-，判别式()2
=14a ∆-=0即可判断①；②抛
物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：
122x a =-
当11222a
<-
<时，解得1
02a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1
222x a
=-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④． 【详解】
①由y=0，()2
14=0ax a x +-，()2
=14a ∆-，当1=
04
a >时，()2
=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确；
②由()()2
140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，
()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），
为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2
140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a
--=-
=-==-， 当11222a
<-<时，解得1
02a <<，
∴1
2
a >
， 为此当1
2
a >
，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2
140y ax a x a =+->对称轴为：122x a
=-
， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1
222x a
=-≤， 解得
1
0a
>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则1
02
a <≤不正确． 故选择：B ． 【点睛】
本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．
2．B
解析：B 【分析】
根据函数图象与x 轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断
（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）．
【详解】
由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），
∴
933
1
3
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
1
3
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
，
∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误；
∵a＝1，
∴抛物线为y＝x2-3x+3，
∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0，故①错误；
由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），
∴方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3，故③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．
3．B
解析：B
【分析】
根据两个函数图象与y轴交于同一点可排除选项A，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．
【详解】
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；
当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．
4．A
解析：A 【分析】
根据题意结合函数的图象，得出图中A 、B 、C 的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可． 【详解】
解：5
0.26 2.24 2.52
+==
（米） 根据题意和所建立的坐标系可知，A （-5，
1
2），B （0，52），C （52
，0）， 设排球运动路线的函数关系式为y=ax 2+bx+c ，将A 、B 、C 的坐标代入得：
125252255042a b c c a b c ⎧
-+=⎪⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪++=⎪⎩
， 解得，1485
,,75152
a b c =-
=-=， ∴排球运动路线的函数关系式为21485
75152
y x x =--+， 故选：A ． 【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的关系式，根据题意得出图象所过点的坐标是正确解答的关键．
5．A
解析：A 【分析】
根据二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】
解：把抛物线2
31y x =+向上平移2个单位可得2
33y x =+， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论．
【详解】
解：∵a ＞0，
∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图
二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，
∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确；
当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；
【详解】
∵对称轴在y 轴的右侧，
∴a 、b 异号，
∵开口向下，
∴0a <，0b >，
∵函数图像与y 轴正半轴相交，
∴0c >，
∴0abc <，故①正确；
∵对称轴12b x a
=-=， ∴20a b +=，故②正确；
∵20a b +=，
∴2b a =-，
∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，
∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；
根据图示，当1m =时，有最大值；
当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，
∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；
根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；
故正确的答案是①②④；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．
【详解】
∵222(1)1y x x m x m =++=++-，
∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，
又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，
∴231y y y >>．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【详解】
∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，
而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，
∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 10．D
解析：D
【分析】
先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．
【详解】
解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；
C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．
【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：12b a
-
< 由抛物线的图象可知：a ＞0，
∴-b ＜2a ，
∴2a+b ＞0，故①正确；
②当x=1时，y=a+b+c=0，
当y=ax 2+bx+c=0，
∴x=1或x=m ，
∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；
③由图象可知：x=-1，y=2，
即a-b+c=2，
∵a+b+c=0，
∴b=-1，
∴c=1-a
∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；
④由于a+b=-c=a-1，
∵c ＜0，
∴a-1＞0，
∴a ＞1，
∴0＜11a
< ∵x 0=111,a a a
--=-+ ∴-1＜-1+
1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．
12．B
解析：B
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2； 由“上加下减”的原则可知，
抛物线y=-2（x-1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2+5．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
二、填空题
13．【分析】由题意得当y=0时则有的两个根为进而根据同解方程可进行求解
【详解】解：∵抛物线y ＝ax2+bx+c 经过点A （﹣30）B （40）两点∴当y=0时则有的两个根为∴的解为：或解得：；故答案为【点睛
解析：121,6x x =-=
【分析】
由题意得当y=0时，则有20ax bx c ++=的两个根为123,4x x =-=，进而根据同解方程可进行求解．
【详解】
解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，
∴当y=0时，则有20ax bx c ++=的两个根为123,4x x =-=，
∴()2
220a x bx b c -+-+=的解为：23x -=-或24x -=，
解得：121,6x x =-=；
故答案为121,6x x =-=．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
14．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为
解析：2710y x x =++
【分析】
先把2
y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】 2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14
-)， 把点(12-，14
-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， 所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94
-)， 所以平移后得到的抛物线的解析式为27
9()24
y x =+-
，即2710y x x =++． 故答案为：2710y x x =++．
【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 15．【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与轴的另一个交点再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可【详解】由图可知对称轴为直线所以二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（0）由图象可知：函数值大于0的的 解析：13x
【分析】
根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x 轴的另一个交点，再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
由图可知，对称轴为直线1x =，
所以，二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（1-，0），
由图象可知：函数值大于0的x 的取值范围为：13x
， 所以，220x x m -++>的解集为13x ．
故答案为：13
x．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x轴的另一个交点坐标．
16．2【分析】首先求出B点纵坐标进而得出D点纵坐标即可求出D点横坐标进而得出CD的长【详解】解：由题意可得：当AB＝6m则B点横坐标为3故此时y＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m时此时D点纵坐标为：﹣3+2
解析：
【分析】
首先求出B点纵坐标，进而得出D点纵坐标，即可求出D点横坐标，进而得出CD的长．【详解】
解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3，
故此时y＝﹣1
3
×32＝﹣3，
当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，
则﹣1＝﹣1
3
x2，
解得：x＝
故当水位上涨2m时，水面宽CD为．
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，求出D点横坐标是解题关键．
17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛
解析：不能．
【分析】
根据题意，将x=2代入求出相应的y值，然后与车高比较大小即可解答本题．
【详解】
解：将x=2代入y=-1
8
x2+3.25，得
y=-1
8
×22+3.25=2.75，
∵2.75＜3，
∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．-4≤t<5【分析】先由对称轴求b 的值则二次函数关于的一元二次方程（为实数）在＜＜的范围内有解△=16+4t≥0在＜＜在x=-1时y=5当x=4时y=0用y=t 与有交点t 的范围即可求出【详解】∵二次
解析：-4≤t<5．
【分析】
先由对称轴求b 的值，则二次函数2
-4y x x =，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，△=16+4t≥0，在1-＜x ＜
4()22-424y x x x ==--
在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0，用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 的范围即可求出．
【详解】
∵二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =， ∴222
b b x a =-=-=， ∴b =-4，
∴二次函数2-4y x x =，
∵关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解， ∴△=16+4t≥0，
∴t≥-4，
∵()2
2-424y x x x ==--，在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0， ∴y=t 与()2
2-424y x x x ==--有交点，t 满足条件为-4≤t<5， 则t 的取值范围是-4≤t<5．
故答案为：-4≤t<5．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，与一元二次方程的解的条件，利用对称轴会求b 的值，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）有解，
会用△=16+4t≥0，会用y=t 与()2
2-424y x x x ==--有交点，求t 满足条件是解决问题的关键．
19．（）【分析】根据抛物线y ＝x2﹣3x+2与x 轴交于AB 两点与y 轴交于点C 得A （10）B （20）C （02）过点B 作BM ⊥BC 交CD 延长线于点M 过点M 作MG ⊥x 轴于点G 易证等腰直角三角形OCB ∽等腰直角
解析：（
715,24
） 【分析】
根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直线CM的解析
式为y＝1
2
x+2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D的坐标．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），
∴OB＝OC
∴∠OBC＝45°，
如图，
过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，∴∠COB＝∠MGB＝90°
∴∠CBO+∠MBG＝90°
∴∠MBG＝45°
∴MG＝BG
∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM
∴BC
BM ＝
OC
BG
∵tan∠DCB＝MB
BC
＝3
∴12
3BG
∴BG＝6
∴MG＝6
∴M（8，6）
设直线CM解析式为y＝kx+b，
把C（0，2），M（8，6）代入，
解得k＝1
2
，b＝2
所以直线CM 的解析式为y ＝12
x +2 联立2122
32
y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得1102x y =⎧⎨=⎩，2272154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴D （715,24
） 故答案为（
715,24）． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
20．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详 解析：2(2)2y x =++
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
223y x x =---
()
22113x x =-+++-
2(1)2x =-+-，
所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．
∵再绕原点O 旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上
∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．
故答案为：2(2)2y x =++．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利
用顶点的变化求解更简便．
三、解答题
21．（1）243y x x =
-+，对称轴为直线2x =；（2）最小值为32，点P 坐标(2，1)．
【分析】
（1）根据题意得到B 、C 两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；
（2）连接BC 交对称轴于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC 最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B 、C 两点坐标求出解析式，从而求得点P 坐标．
【详解】
解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)， 将B 、C 坐标代入可得：3930c b c =⎧⎨++=⎩
， 解得：43b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为243y x x =
-+， ∴对称轴为直线42221
b x a -=-=-=⨯； （2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，
∴连接BC 交对称轴于点P ，此时PA+PC=PB+PC 的值最小，最小值为BC ，
在Rt OBC 中，OB=OC=3，
∴22223332BC OB OC =+=+=，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
把x =2代入3y x =-+得：y =1，
∴点P(2，1)，
∴PA+PC 的最小值为32，点P 的坐标为(2，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
22．（1）(1,2)D ；（2
【分析】
（1）先根据抛物线的解析式求出点B 、C 的坐标和对称轴，从而可得点D 的横坐标，再利用待定系数法求出直线BC 的函数解析式，然后将点D 的横坐标代入直线BC 的函数解析式即可得其纵坐标；
（2）先根据二次函数的对称性可得点C 关于对称轴的对称点的坐标，然后根据两点之间线段最短、两点之间的距离公式求解即可得．
【详解】
（1）对于二次函数2y x 2x 3=-++，
当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，
则(1,0),(3,0)A B -，
当0x =时，3y =，则(0,3)C ，
二次函数2y x 2x 3=-++化成顶点式为2
(1)4y x =--+， 则二次函数的对称轴为1x =，
点D 为BC 与二次函数的对称轴的交点，
∴点D 的横坐标为1，
设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，
将点(3,0),(0,3)B C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩
， 则直线BC 的函数解析式为3y x =-+，
将1x =代入得：132y =-+=，
即点D 的坐标为(1,2)D ；
（2）如图，作点C 关于对称轴MN 的对称点C '，连接C E '，
由二次函数的对称性得：点C '一定在此二次函数的图象上，其纵坐标与点C 的纵坐标相同，且C E CE '=，
则OE CE OE C E '+=+，
由两点之间线段最短得：当点,,O E C '共线时，OE C E '+取最小值，最小值为OC '， 设点C '的坐标为(,3)C a '，
二次函数的对称轴为1x =，点C 的坐标为(0,3)C ，
012
a +∴=， 解得2a =，即(2,3)C '，
则最小值OC '==，
故OE CE +
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的对称性找出最小值是解题关键． 23．（1）见解析；（2）①函数图象是轴对称图形，关于y 轴对称；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；（3）①12x =-，20x =，32x =；②2；③10a -<<
【分析】
（1）描点、连线即可得到函数的图象；
（2）根据函数图象得到函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
（3）①根据函数图象与x 轴的交点位置，即可得到结论；
②如图，根据y=x 2-2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；
③根据函数的图象即可得到a 的取值范围是-1＜a ＜0．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）由函数图象知：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
故答案为：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （3）①由函数图象知：函数图象与x 轴的交点所对应的数为-2，0，2，所以方程x 2-2|x|=0的实数根为12x =-，20x =，32x =；
②如图，∵y=x 2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x 2-2|x|=2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x|=a 有4个不相等的实数根，
∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，
故答案为：12x =-，20x =，32x =；2；-1＜a ＜0．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了观察函数图象的能力． 24．（1）22y x x =-++；（2）存在，P （1，2）．
【分析】
（1）利用旋转的性质得出A′（−1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可．
【详解】
解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，
又A （0，1），B （2，0），O （0，0），
∴A′（−1，0），B′（0，2），
∵A′（−1，0），B′（0，2），B （2，0），
设抛物线的解析式为：y ＝a （x ＋1）（x−2）
将B′（0，2）代入得出：2＝a （0＋1）（0−2），
解得：a ＝−1，
故抛物线的解析式为y ＝−（x ＋1）（x−2）＝−x 2＋x ＋2；
（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，
设P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0，P 点坐标满足y ＝−x 2＋x ＋2．
连接PB ，PO ，PB′，
∴S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ， ＝12×1×2＋12×2×x ＋12
×2×y ， ＝x ＋（−x 2＋x ＋2）＋1，
＝−x 2＋2x ＋3，
∵A′O ＝1，B′O ＝2，
∴△A′B′O 面积为：12
×1×2＝1， 假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，则
4＝−x 2＋2x ＋3，
即x 2−2x ＋1＝0，
解得：x 1＝x 2＝1，
此时y ＝−12＋1＋2＝2，即P （1，2）．
∴存在点P （1，2），使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换−旋转，利用四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍得出等式方程求出x 是解题关键． 25．（1）211122
y x x =
--；（2）-1＜x ＜4． 【分析】
（1）根据二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，代入得出关于a ，b 的二元一次方程组，求得a ，b ，从而得出二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，令y=0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．
【详解】
（1）∵二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，
∴1016415a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， ∴12a =
，12b =-，
∴二次函数的解析式为211122
y x x =--； （2）当0y =时，得：01x =+，
解得1x =-，
当4x =时，得：5y =，
解得1x =-，
∴直线1y x =+经过点D （-1，0）和C （4，5）两点，
∴图象如图，
观察图象，当-1＜x ＜4时，直线1y x =+在抛物线的上方，
∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．
【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是解题的关键．
26．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①32PBC S =△；②1113113P ++⎝⎭
，211311322P ⎛ ⎝⎭
．
【分析】
（1）将A （-1,0），B （3，0）代入y=-x 2+bx+c ，可求出答案；
（2）①先求出点C 的坐标，进而可求得直线BC 的函数关系式，再设
()2,23P m m m -++，进而可表示出点E 的坐标为(,3)E m m -+，再根据PD=3ED 列出方程求解即可；
②设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++，根据PB=PC 可得PB 2=PC 2，进而可列出方程求解即可．
【详解】
（1）抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -，()3,0B ，
22(1)0330
b c b c ⎧---+=∴⎨-++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩
∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）①在2y x 2x 3=-++中，当0x =时，3y =，
()0,3C ∴
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
则330b k b =⎧⎨+=⎩
， 31b k =⎧∴⎨=-⎩
∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
若2PE ED =，则3PD ED =，
设()
2,23P m m m -++，则(,3)E m m -+， 2233(3)m m m ∴-++=-+，
即2560m m -+=，
解得12m =，23m =（舍）
当2m =时，()2,3P ，()2,1E ，
则1PE =，
131322
PBC S ∴=⨯⨯=△， ②假设存在点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++， ∵PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
∴PB=PC ，
∴PB 2=PC 2， ∵()2,23P m m m -++，B （3，0），C （0，3），
∴（m-3）2+（-m 2+2m+3）2=m 2+(-m 2+2m+3-3)2
整理得m 2-m-3=0，
解得m 1m 2，
当时，-m 2。