裂项相消求和法(教师)

裂项相消求和法在数列和不等式中的应用
数列与不等式是高中数学重点内容，是高考必考内容，数列与不等式的结合成为高考的命题热点，具有难度大、灵活性强的特点，对学生的数学思维品质提出了较高的要求，尤其是以递推数列为载体的不等式证明，能够从较高的层次上考察学生运用数学思想方式进行代数推证的理性思维能力。

这种问题的求解策略往往是：通过量角度观看所给数列通项的结构，深切剖析特点，抓住规律进行适本地放缩。

下面就几道例题剖析如何用裂项相消求和法证明数列不等式。

大体问题
求和：（1）)
12)(12(1
971751531311+-+
+⨯+⨯+⨯+⨯=
n n S n 1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=
n n
n n n S n （2）)
13)(23(1
1071741411+-++⨯+⨯+⨯=
n n S n 。

)1
31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=
n n S n 1
3)1311(31+=+-=n n n （3）)
2)(1(1
543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
n n n S n 。

因为
])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ，
])
2)(1(121[21])
2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=
∴n n n n n n S n
（4）.已知()()2
2
1111
n n a n ++=+-，求{}n a 前n 项的和n S . 解析：∵()21
11122n a n n n n ⎛⎫=+
=+- ⎪++⎝⎭
，
∴()()
()()
111111111111324352111111111111233452212323212n S n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+++=++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=
++ 类型一、通项2n m
a an bn c
=++（,,,m a b c 是常数）
例一、求证:
2
1
1
2n
i i
=<∑.
思路一、假设()()21111211n n n n n n <=-≥--，2111111
1112231n
i i
n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑2<；
思路二、假设()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪+--+⎝⎭，21111111
111232411n i i
n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑74<； 思路三、⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<
1211212144
4
111222n n n n n
,35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n k
点评：由于
()()()221411
41111n n n n n n <<<
--+-，57234
<<，可见通项放缩越接近，和就越接近。

例二、已知()()
121n a n n =++，
证明：
121115.12
n a a a ++⋅⋅⋅+<． 思路、n ≥2时，易患()()()12121n a n n n n =++>+，
()1121n a n n <+11121n n ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
， 故12111111116223341n a a a n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<
+-+++⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭
5.12< 点评：当分母是关于n 的二次表达式，通过因式分解（或需要放缩）等差数列相邻两项的积。

例3、已知21n a n =-，前n 项和为n S ，1
1
n n n n a b S S ++=
，求证121n b b b ++⋅⋅⋅+<
证明：22222111(1)(1)n n b n n n n +=
=-++，122
1
11(1)
n b b b n ++⋅⋅⋅+=-<+ 点评：此题尽管分母不是二次式，但能够看成是2
n b n =相邻两项的积，仍然能够裂成两项之差。

例4、求证：
11
12
n n ++++…12n +
5.6<
思路、令11
12
n T n n =
++++…12n +
，（2n ≥），1111111()1(21)2441()2
n n T T n n n n n n --==<----， 故()()()1112211111()428n n n n n T T T T T T T T n ----=-+-+⋅⋅⋅+-=-=， 1155
2886n T ∴<+=<
点评：由于1112122n n T T n n +-=+++，111212n n T T n n ---=-
-…231156T T -=-，2111
34
T T -=-，那么11111
()()3456
n T T -=-+-+
…1111(
)()2122122n n n n +-+--++11111()()34567=+-++-++ (111111)
()22212323n n n n +-+-<-<--，
故56n T <。

也能够得证。

通过以上例题能够看出，当分母()()2ax bx c a x s x t ++=++能够放缩为一个等差数列相邻两项（假设
分母为关于n 高次）的积，即能够裂成两项的差。

除以上例题用到放缩技术之外，还有：若{}n a 为等差数列，公差为d ，那么
12112211111
n n n n n a a a a nd a a a a a a ++⎛⎫=- ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭，12
11211(1)(1)(1)(1)n n
C C n n n n n n n +==-+--+ ⎪⎭
⎫
⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1，
)2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<
<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n C T r
r r
n r 等。

类型二、通项n a =
（,,m a b 是常数）
例5、求证：)112(2131211)11(2-+<+
+++
<-+n n
n
思路、第一
n
n n n n
++=-+>12)1(21,因此容易通过裂项得n
n 13
12
11)11(2+
+++<-+
再证
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
而由均值不等式，明白这是
显然成立的，因此)112(213
12
11-+<+
++
+
n n。

例6、数列n b =
，{}n b 的前n
项和为n T
，求证：2
1)3n T >
．
思路、由
于2
3
n b ==
=>=因此，
12n n T b b b =+
+⋅⋅⋅+23>
2
1)3
= 。

例7、已知n a n =，求证：
33212232221<++++n
a n
a a a 。

证明:
n ==<
<
=
=
1n
n S =
+
1(1
(
n <++++++-23=< 通过以上例题不宝贵到，若是分母能够放缩为两个根式之和，采纳分母有理化即能够取得两个根式之差。

除以上例题用到放缩技术之外，还有：
)2(1)1(1≥--<+n n n n n ，)1(21
)1(2--<<-+n n n
n n
2
1
2121
2122
2)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
，
11
1)
11)((112
2
2
22
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i ，
111)1(1)1(1)1)(1(11
1
2
3--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n
1
1
1121
11111+-
-<-++⋅
⎪⎭⎫
⎝⎛
+--=n n n n n n n .等。

类型三、通项()()
1
m
n n n a a a b a b +=++（,,m a b 是常数） 例8、已知已知12+=n n
a 令1
1n n n b a a +=
⋅n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：1
6n T <．
证明：11n n n b a a +=
⋅()()
11
1111221212121n n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭111
122121n n +⎛⎫<- ⎪++⎝⎭
1231111111
1235592121n n n n T b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∴=+++
+=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111123216
n +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭。

例9、1
1(21)(21)n n n a +=
--，求证12a a ++ (19)
42
n a +< 当2n ≥时，
1111111111
()()(21)(21)2212122121
n n n n n n n +++=-<-------
∴12a a ++…+3111111()32122121n n a +<++---11119
3211442
<++=
当2n ≥时，11111(21)(21)24321443214n n n n n n n n +==<--⋅-⋅++-⋅+故12a a ++ (1)
151942131242
14
n
a <+=<- ∴12a a ++…+1111119
()321272342n a n <+=+-<
+ 例10、已知()
2
22
1n
n n
a =
+，求证：122n a a a ++⋅⋅⋅+<。

证明：()2221n
n n
a =+=()()()()1112221
12212121212121n n n n n n n n ---⋅⎛⎫<=- ⎪++++++⎝⎭
， 故121
121221n n a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-<
⎪+⎝⎭。

例11、已知2
2(21)n
n n a =-求证12a a ++…3n a +<
思路一：当2n ≥时121122211
(21)(21)(22)(21)(22)2121
n n n n n n n n n n n a ---=<==--------
故12a a ++ (1)
2(1)321
n n a +<+-
<- 思路二：2111122211)()(21)(21)(21)322n n n n n n n n a -+-+=<=----∴12a a ++ (1)
21118
2(1)233321219n n n a ++<++--<+<-- 例12、已知1
()3
n n a =设11111n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n .求证：1
23
n T n >-． 思路：11111331131311()1()
33
n n n n n n n c +++=+=++-+-11131131111
1131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-
1112()3131+=--+-n n ，
由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+-因此111311
2()2()313133
＋++=-->---n n n n n c ， 从而122231111111
[2()][2()][2()]333333
n n n n T c c c +=+++>--+--+--
22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++-11112()2333n n n +=-->-．即1
23
n T n >-．
例13、2
23(31)n n n a ⨯=-求证12a a ++…+2n a <
思路一、当2n ≥时，111232311(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n
---⨯⨯==-------∴12a a ++…+311
2231
n n a <+--2< 思路二、当2n ≥时，223213231323n
n n
n n ⨯=-⨯+-+111211323323n n n n ---=<-+-+∴12a a ++ (1)
2
321
313
n a +<+=- 若是分母是含有幂的表达式一样式放缩为一个等比数列，但分母假设可放缩成两项式子的积，也能够裂
成两项之差。

除以上例题用到放缩技术之外，还有：
n
n n n 21
121)12(21--=-，n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+- ，)2(1
21
121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n
n n n n n n n n n n n n . 类型4、含阶乘的通项
例14、已知()1!n n
a n =+，求证：1
1n
i i a =<∑。

思路、由于!)1(1!1!)1(+-=+n n n n 故()111111111!2!2!3!!1!n i i a n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑。

点评：含与阶乘有关的通项一样能够拆成两项之差，还有()!1!!n n n n ⋅=+-，
!
)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k 等。

类型5、利用二项式定理
例1五、求证：当2m ≥，且m N *∈，都有1(1)3m
m
+< 证：122111(1)1m m m C C m m m +
=+++…+ 1()m m
m
C m = 2(1)1112!m m m -+++…+ (1)211!m m m m m
⨯-⨯+⋅⋅⋅⨯⨯⋅ =111122(1)(1)(1)2!3!m m m +-+--+...112(1)(1)!m m m +--...(1)m m -1122!3!<+++ (111)
2!1223
m +<+++⨯⨯…1(1)m m +
-133m =-< 例16、设11x x a f (x )a +=-（0a >且1a ≠），当1
20<α≤时，试证明：1
n
k f (k )n =∣-∣∑<4. 思路、设11a p =+，那么1p ≥，当2n ≥时，设2,k k N +≥∈ 那么(1)12()1(1)1(1)1
k k k
p f k p p ++==++-+- 12211121.k n C P C P C P =++++∴1
22444
1()111(1)1
k k f k C C k k k k <≤+=+=+-+++。

从而2444
1()11 1.211n
k n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑∴1()(1)14n
k n f k f n n =<<++≤+∑，
总有1
() 4.n k f k n =-<∑ 类型6、利用递推关系式
例17、已知2112,n n
n a a a a +==+，求证111
1
2n
k
k a =<+∑
思路：11111111(1)111n n n n n n n n a a a a a a a a ==-⇒=-+++++ 111111
1
2n
k
k n n a a a =+∴<-<+∑ 例18、已知2
11=a ，n n n a a a +=+2
1 求证：),2(211
1111
1*21N n n a a a n
∈≥<++++++<。

思路、由于
n
n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=
+111)1(1112
1
∴11111+-=+n n n a a a ，
∴
1322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1
111
211++-
=-=n n a a a ， ∵4321)2
1
(22=+
=a , 14
3
)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12，
∴131>≥+a a n ∴21211
<-
<+n a ∴211
1111121<++++++<
n
a a a 。

例19、若2
211(1)n n n n
a b a a +=-，1n n a a +>其中*∈N n ，证明：1
0 2.n
k
k b
=<<∑
思路、由于22
11(1)n n n n a b a a +=-，由（1）1n n a a +>，那么2
21
1n n a a +<，22110n n a a +->，而1110n n a a a +>>=>，
那么
n b >，∴
121
0.
n
k
n k b
b b b ==+++>∑又
222111112222
1111
()()2()1(1)n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b a a a a a a a a +++++++++-+--=-==< ∴
11
2()
n n n n n a a b a a ++-<
，
1112()n n n b a a +<-1
12231
111111
2[()()(
)]n
k
k n n b a a a a a a =+∴<-+-++-∑
∴
12111
112(
)n
k n k n b b b b a a =+=++
+<-∑，而1n n a a +>，且11a =，故10n a +> ∴1
12
n
k k b a =<∑，因此12n k k b =<∑，从而10 2.n
k k b =<<∑
这两题中告知了数列的递推关系式，但没有直接求出数列的通项，而是巧妙的裂成（或放缩）两项之差
的形式，以达到求和的目的。

类型7、构造法
例20、求证:
1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n 先运用分式放缩法证明出通项
1
212642)
12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n ：
下面介绍几种方式证明
11226421
2531423121-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+-n n
n a a a a a a a a a a a a a a a 方式一因为2
1
21212-++>
+n n n ,因此
12121
21--+<+n n n ,因此有
112122642)
12(5314231211
-+<+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+∑=n k n n n
k
方式二
n n n n ++=-+222,因为n n n ++<+2221,因此n n n -+<+22
1 令12-=n n ,能够取得
1212121
--+<+n n n ,因此112122642)12(5314231211
-+<+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+∑=n k n n n
k 点评：证明数列和不等式，第一观看通项的特点，采纳适当方式进行放缩，有时会有多种方法解决，该题
就给出两种放缩为能够裂项求和的方式。