福州市三牧中学八年级数学上册第十一章《三角形》测试卷(课后培优)

一、选择题
1．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）
A ．四边形
B ．五边形
C ．六边形
D ．不确定D 解析：D
【分析】
根据多边形的外角和等于360°判定即可．
【详解】
∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数不能确定．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）
A ．4，5，6
B ．1.5，2，2.5
C ．13，14，15
D ．1，3D 解析：D
【分析】
计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.
【详解】
∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
∵1.5+2＞2.5，
∴能构成三角形； ∵14+15＞13
， ∴能构成三角形；
∵
＜1+2=3，
∴不能构成三角形；
故选D.
【点睛】
本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 3．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A ．1,2,3
B ．5,12,13
C ．4,5,10
D ．3,3,6B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边关系进行分析判断即可．
【详解】
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A 中，1+2=3，不能组成三角形；
B 中，5+12=17＞13，能组成三角形；
C 中，4+5=9＜10，不能够组成三角形；
D 中，3+3=6，不能组成三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
4．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．40°B
解析：B
【分析】 利用平行线和三角形外角的性质即可求解．
【详解】
∵//AB CD ，
∴60DEF A ∠=∠=︒．
∵DEF C F ∠=∠+∠，
∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．
5．内角和为720°的多边形是（ ）．
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形 D
解析：D
【分析】
根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．
【详解】
解：依题意有（n-2）•180°=720°，
解得n=6．
该多边形为六边形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键． 6．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）
A ．50︒
B ．65︒
C ．75︒
D ．85︒C
解析：C
【分析】 根据三角形的外角性质求解 ．
【详解】
解：由三角形的外角性质可得：
∠ACD=∠B+∠A ，
∴∠A=∠ACD-∠B=130°-55°=75°，
故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质定理并能灵活运用是解题关键． 7．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形B
解析：B
【分析】
由B 与C ∠互余，结合180A B C ∠+∠+∠=︒，求解A ∠，从而可得答案．
【详解】 解：B 与C ∠互余， 90B C ∴∠+∠=︒，
180A B C ∠+∠+∠=︒，
90A ∴∠=︒，
ABC ∴是直角三角形，
故A 、C 、D 不符合题意，B 符合题意，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A ．3，3，4
B ．7，4，2
C ．3，4，8
D ．2，3，5A
解析：A
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
解：A 、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；
B 、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；
C 、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
D 、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
9．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°C
解析：C
【分析】 先依据平行线的性质可求得∠ABC 的度数，然后在直角三角形CBD 中可求得∠BCD 的度数．
【详解】
解：∵//BC AE ，150∠=︒，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD AB ⊥于点D ，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识
是解题的关键．
10．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成三角形的是（ ）
A ．4、5、6
B ．3、4、5
C ．2、3、4
D ．1、2、3D
解析：D
【分析】
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【详解】
D 、4＋5>6，能组成三角形，故此选项错误；
B 、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项错误；
A 、2＋3>4，能组成三角形，故此选项错误；
D 、1＋2＝3，不能组成三角形，故此选项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 二、填空题
11．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．
102°【分析】首先根据∠DFC ＝3∠B ＝117°可以算
出∠B ＝39°然后设∠C ＝∠D ＝x°根据外角与内角的关系可得39＋x ＋x ＝117再解方程即可得到x ＝39再根据三角形内角和定理求出∠BED 的度
解析：102°
【分析】
首先根据∠DFC ＝3∠B ＝117°，可以算出∠B ＝39°，然后设∠C ＝∠D ＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x ＋x ＝117，再解方程即可得到x ＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED 的度数．
【详解】
解：∵∠DFC ＝3∠B ＝117°，
∴∠B ＝39°，
设∠C ＝∠D ＝x°，
39＋x ＋x ＝117，
解得：x ＝39，
∴∠D ＝39°，
∴∠BED ＝180°−39°−39°＝102°．
故答案为：102°．
【点睛】
此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．在△ABC 中，∠A 是钝角，∠B =30°， 设∠C 的度数是α，则α的取值范围是___________【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A 根据它是钝角列出不等式组求解即可【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-30°-α=150°-α∵∠A 是钝角∴即故答案为：【点睛】本题考查解不
解析：3060α︒<<︒
【分析】
依据三角形的内角和定理表示∠A ，根据它是钝角列出不等式组，求解即可．
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-30°-α=150°-α．
∵∠A 是钝角，
∴90150180α︒<︒-<︒，即3060α︒<<︒，
故答案为：3060α︒<<︒．
【点睛】
本题考查解不等式组，三角形内角和定理．能正确表示∠A 及利用它的大小关系列出不等式是解题关键．
13．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．
35°【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角
度数再根据三角形的外角和为360°即可求解【详解】∵等边三角形的内角度数是60°正方形的度数是90°正五边形的度数是∴∠3=360°-60°-90°
解析：35°
【分析】
先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解．
【详解】
∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是(52)1801085
-⨯︒=︒， ∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，
故答案是：35°
【点睛】
本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．
14．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．
【分析】根据三角形的外角性质可得
∠ACD=∠A+∠ABC ∠A1CD=∠A1+∠A1BC 根据角平分线的定义可得
∠A1BC=∠ABC ∠A1CD=∠ACD 整理得到∠A1=∠A 同理可得∠A2=∠A1从而判断 解析：4θ 2
n θ 【分析】
根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，整理得到∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12
，然后表示出∠A n 即可得答案． 【详解】
∵ACD ∠是ABC 的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，
∵ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，
∴∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∴∠A 1=12
∠A ，
同理可得∠A 2=12∠A 1=14∠A ， ∵∠A=θ，
∴∠A 2=4
θ， 同理：∠A 3=
12∠A 2=382θθ=， ∠A 4=
12∠A 3=4162θθ= ……
∴∠A n =2n θ
．
故答案为：
4θ，2n
θ 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12
是解题的关键． 15．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100︒，则∠BAC=_________．
【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可
得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中
∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠ 解析：20︒
【分析】
先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80︒，故可得到∠ABC+∠ACB=160︒，即可得出答案．
【详解】
在△BPC 中，∠BPC=100︒，
∴∠PBC+∠PCB=80︒，
∵P 是三角形三条角平分线的交点，
∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160︒，
∴∠BAC=180()20ABC ACB ︒-∠+∠=︒，
故答案为：20︒．
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．
16．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．
【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的
两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC ∴S △ABD=S △ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE ∴S △AEB=S △AEC=×3=（cm2）∴S △BEC 解析：32
【分析】
利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．
【详解】
解：∵BD=DC ，
∴S △ABD =S △ADC =
12×6=3（cm 2）， ∵AE=DE ，
∴S △AEB =S △AEC =12×3=32
（cm 2）， ∴S △BEC =6-3=3（cm 2），
∵EF=FC ，
∴S △BEF =12×3=32
（cm 2）， 故答案为
32． 【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．已知等腰三角形的一边长等于11cm ，一边长等于5cm ，它的周长为______．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】分两种情况：当腰为11时11＋11>511-11<5所以能构成三
解析：27cm
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为11和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
分两种情况：当腰为11时，11＋11>5，11-11<5，所以能构成三角形，周长是：11＋11＋5＝27cm ；当腰为5时，5＋5<11，所以不能构成三角形，
故答案为：27cm ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
18．如图，ABC 中，40A ∠=︒，72B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥交CE 于F ，则CDF ∠=______．
74°【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度
数再根据CE 平分∠ACB 求得∠ACE 的度数则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED ＝∠A+∠ACE 再结合CD ⊥ABDF ⊥CE 就可求解【详解】解：
解析：74°
【分析】
先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，再根据CE 平分∠ACB 求得∠ACE 的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED ＝∠A +∠ACE ，再结合CD ⊥AB ，DF ⊥CE 就可求解．
【详解】
解：∵∠A ＝40°，∠B ＝72°，
∴∠ACB ＝180°﹣40°﹣72°＝68°，
∵CE 平分∠ACB ，
∴∠ACE ＝∠BCE ＝34°，
∴∠CED ＝∠A +∠ACE ＝74°，
∵CD ⊥AB ，DF ⊥CE ，
∴∠CDF +∠ECD ＝∠ECD +∠CED ＝90°，
∴∠CDF ＝∠CED ＝74°，
故答案为：74°．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、以及角平分线定义和垂直定义．
19．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若
150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．
30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形
的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝10
解析：30°
【分析】
通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；
【详解】
等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：15
（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°． 故答案是：30°．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．
20．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______． 【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和
定理求出∠OBC+∠OCB 的度数再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数【详解】解：∵OBOC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠OBC+∠O 解析：110︒．
根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【详解】
解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB= 111()222
ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ∵∠A=40°， ∴∠OBC+∠OCB=
1(18040)2
︒︒- =70°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）
=180°-70°
=110°．
故答案是110．
【点睛】 本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．
三、解答题
21．在ABC ∆中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点．
特例研究：
()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．
猜想证明：
()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合） ，过D 作DF AC ⊥交AC 于点
F ，过D 作
DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）
解析：（1）证明见解析；（2）CG DE DF =+，证明见解析；（3）结论不变：CG DE DF =+
【分析】
（1）根据12ABC S AC BF =⋅△，12
ABC S AB CG =⋅△， 即可解决问题； （2）结论CG DE DF =+，利用面积法证明即可；
（3）结论不变，证明方法类似（2）． 【详解】
（1）证明：如图①中，
∵90F G ︒∠=∠=，
∴12ABC S AC BF =
⋅△，12ABC S AB CG =⋅△， ∴1122
AC BF AB CG ⋅=⋅， 又∵AB AC =，
∴BF AC =；
（2）解：结论CG DE DF =+，
理由：如图②中，连接AD ，
∵ABC ABD ADC S
S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222
AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，
∴CG DE DF =+；
（3）结论不变：CG DE DF =+，证明如下：
如图③，连接AD ，
∵ABC ABD ADC S
S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222
AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，
∴CG DE DF =+；
如图④，连接AD ，
∵ABC ABD ADC S
S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222
AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，
∴CG DE DF =+．
【点睛】
本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段
之间的关系．
22．已知：如图90MON ∠=︒，与点O 不重合的两点A 、B 分别在OM 、ON 上，BE 平分ABN ∠，BE 所在的直线与OAB ∠的平分线所在的直线相交于点C ．
（1）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，且45BAO ∠=︒时，求ACB ∠的度数； （2）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动时，ACB ∠的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出ACB ∠的范围．
解析：（1）45°；（2）不变，45°
【分析】
（1）由题意，先求出135ABN ∠=︒，由角平分线的定义，求出67.5ABE ∠=︒，22.5∠︒=BAC ，由三角形外角的性质，即可求出答案；
（2）由三角形的外角性质，得ACB ABE BAC ∠=∠-∠，再根据角平分线的定义即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵90MON ∠=︒，即90AOB ∠=︒，45BAO ∠=︒，
∴135ABN AOB BAO ∠=∠+∠=︒，
∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴167.52
ABE ABN ∠=
∠=︒，122.52BAC BAO ∠=∠=︒， ∴67.522.545ACB ABE BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
（2）ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下： ∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴12
ABE ABN ∠=
∠，12BAC BAO ∠=∠， ∴ACB ABE BAC ∠=∠-∠1122
ABN BAO =∠-∠ ()12ABN BAO =∠-∠12
AOB =∠190452=⨯︒=︒． 【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的得到角的关系．
23．如图，△ABC中，D为AC上一点，且∠ADB=∠ABC=α（0°＜α＜180°），∠ACB的角平分线分别交BD、BA于点E、F．
（1）若α=90°，判断∠BEF和∠BFE的大小关系并说明理由；
（2）是否存在α，使∠BEF大于∠BFE？如果存在，求出α的范围，如果不存在，请说明理由．
解析：（1）∠BEF=∠BFE，理由见解析；（2）存在，90°＜α＜180°
【分析】
（1）根据余角的定义得到∠DCE+∠DEC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCF，等量代换得到∠BEF=∠BFC，于是得到∠BEF=∠BFE；
（2）根据角的和差和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
（1）∠BEF=∠BFE；
理由：∵∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCE=∠BCF，
∴∠DEC=∠BFC，
∵∠DEC=∠BEF，
∴∠BEF=∠BFC，
即∠BEF=∠BFE；
（2）∵∠BEF=∠EBC+∠ECB，∠BFE=∠A+∠ACF，∠ECB=∠ACF，
∴∠BEF-∠BFE=(∠EBC+∠ECB)-(∠A+∠ACF)=∠EBC-∠A，
∵∠EBC=∠ABC-∠ABD=α-∠ABD，∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-α-∠ABD，
∴∠BEF-∠BFE=（α-∠ABD）-（180°-α-∠ABD）=2α-180°，
若∠BEF＞∠BFE，
则∠BEF﹣∠BFE＞0，即2α﹣180°＞0，
∴α＞90°，
∴90°＜α＜180°．
【点评】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，正确的理解题意是解题的关键．
24．若a，b，c是ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
解析：3c+a﹣b．
【分析】
根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|
＝b+c﹣a+c+a﹣b+c+a﹣b
＝3c+a﹣b．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
25．从7根长度都是1的牙签中选取部分或者全部来摆放三角形（牙签不可以折断），你能摆放出多少种形状不同的三角形（两个全等三角形视为一种三角形）？并请你一一写出每种三角形的三边长．
解析：能摆放出5种形状不同的三角形，它们的三边长分别是1,1,1、1,2,2、2,2,2、1,3,3、2,2,3．
【分析】
根据三角形的三边关系定理逐一摆放出来即可．
【详解】
由题意，根据选取牙签的根数，分以下五种情况：
（1）当选取3根牙签时，
三边长只能是1,1,1，满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
（2）当选取4根牙签时，
三边长只能是1,1,2，不满足三角形的三边关系定理，不能摆出三角形；
（3）当选取5根牙签时，
三边长可以是1,1,3或1,2,2，
其中，1,1,3不满足三角形的三边关系定理，不能摆出三角形，
1,2,2满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
（4）当选取6根牙签时，
三边长可以是1,1,4或1,2,3或2,2,2，
其中，1,1,4和1,2,3均不满足三角形的三边关系定理，均不能摆出三角形，
2,2,2满足三角形的三边关系定理，能摆出三角形；
（5）当选取7根牙签时，
三边长可以是1,1,5或1,2,4或1,3,3或2,2,3，
其中，1,1,5和1,2,4均不满足三角形的三边关系定理，均不能摆出三角形，
1,3,3和2,2,3均满足三角形的三边关系定理，均能摆出三角形；
综上，能摆放出5种形状不同的三角形，它们的三边长分别是1,1,1、1,2,2、2,2,2、1,3,3、2,2,3．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理的应用，依据题意，正确分情况讨论是解题关键． 26．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．
（1）比较a ，b ，c 的大小；
（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．
解析：（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析
【分析】
（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；
（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】
（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；
a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；
b -
c = m 2-mn =m （m -n ）＞0
∴a ＞b ＞c ；
（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c
∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn
∴a -b ＜c
∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．
【点睛】
本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 27．平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小．
（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC ．
解析：（1）33°；（2）123°
【分析】
（1）AM 与BC 交于E ，AD 与MC 交于F ，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，BEM ∠是ABE △和MCE 的外角，MFD ∠是MAF △和FCD 的外角，列出关于AMC ∠的方程组，计算得出AMC ∠的度数．
（2）AN 与BC 交于点G ，AD 与BC 交于点F ，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，BFD ∠是ABF 和FCD 的外角，AGC ∠是NGC 和ABG 的外角，列出关于ANC ∠的方程组，计算得出ANC ∠的度数．
【详解】
解：（1）AM 与BC 相交于E ，AD 与MC 相较于F ，如图：
∵MA 和MC 是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠BAM=∠MAD=a ，∠BCM=∠MCD=b ，
∵∠BEM 是△ABE 和△MCE 的外角，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM ，
即：∠M+b=24°+a①，
又∵∠MFD 是△MAF 和△CDF 的外角，
可得∠M+a=42°+b②，
①式＋②式得2∠M=24°+42°，
解得：∠M=33°，
∴=33AMC ∠︒．
（2）AN 与BC 相交于G ，AD 与BC 相较于F ，如图:
∵NA 和NC 是∠EAD 和∠BCD 的角平分线，
∴设∠EAN=∠NAD=m ，∠BCN=∠NCD=n ，
∵∠BFD 是△ABF 和△FCD 的外角，
∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD ，
即：24°+(180°-2m ）=42°+2n ，
可得m+n=81°①，
又∵∠AGC 是△NGC 和△ABG 的外角，
可得∠N+n=24°+(180°-m ），
得∠N=204°-（m+n ）②，
①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，
∴123ANC ∠=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．
28．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线．
（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；
（2）设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．
解析：（1）10°；（2）12DAE
，证明见解析．
【分析】 （1）根据三角形的内角和等于180︒列式求出BAC ∠，再根据角平分线的定义求出BAE ∠，根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAE BAD BAE ∠=∠-∠代入数据计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和等于180︒列式表示出BAC ∠，再根据角平分线的定义求出BAE ∠，根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAE BAD BAE ∠=∠-∠整理即可得解．
【详解】
解：（1）40B ∠=︒，60C ∠=°，
180180406080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
AE ∵是角平分线， 11804022BAE BAC ，
AD 是高，
90904050BAD
B ， 504010DAE BAD BAE ； （2）1
()2．
B α∠=，()
C βαβ∠=<，
180()BAC ，
AE ∵是角平分线， 1190()22BAE BAC ，
AD 是高，
9090BAD
B ， 1190[90()]()22DAE BAD BAE ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握定理与概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．。