2020八年级数学上册 专题突破讲练 分式化简求值及有条件求值试题 (新版)青岛版

分式化简求值及有条件求值
一、化简求值
在分式这部分中分式的化简求值是重要的题型，是中考的热点，在进行分式化简时，我们需要寻找分式的规律，分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解分式的化简与求值的基本策略。

如：计算：2262a a a a ++＋224
44
a a a -++
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算
解：2262a a a a ++＋22444a a a -++＝(6)(2)a a a a ++＋2
(2)(2)(2)a a a +-+＝62a a ++＋22a a -+＝242
a a ++＝2
二、有条件求值
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识外，还常常用到如下技巧： 1. 拆项变形或拆分变形； 2. 整体代入； 3. 利用比例性质；
4. 恰当引入参数：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能；
5. 取倒数或利用倒数关系：有些分式的分母比分子含有更多的项，我们可以把分子和分母颠倒位置再进行求解。

如：已知：2
2
42
1,311
x
x
x x x x 则的值为=++++______。

解：由题意得0x ¹，由21
3
1x
x x =++得：2
1132,x x x x x ++==即得：+， 所以
42
2
2
2
2
1
1111413()x x x x x
x
x
++=+
+=+-=-= 即：
24
2
13
1
x
x x =
++ 6. 把未知数当成已知数法
如：已知3a －4b －c ＝0，2a ＋b －8c ＝0，计算：222
a b c ab bc ac
++++
解：把c 当作已知数，用c 表示a ，b 得，a ＝3c ，b ＝2c
∴222a b c ab bc ac ++++＝221411c c ＝1411。

注意：
解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。

如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径：
（1）直接运用条件；（2）变形运用条件；（3）综合运用条件；（4）挖掘隐含条件。

例题1 （遵义中考）已知实数a 满足2
2150a a +-=，求22
12(1)(2)11
21
a a a a a a a +++-÷+--+的值。

解析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把2
2150a
a +-=进行配方，得到一个a ＋1的值，再把它整体代入即可求出答案。

答案：解：2
2212(1)(2)12(1)
11(1)(1)(1)(2)121
a a a a a a a a a a a a a a ++++--÷=-⋅
+++-+---+ 22112
111()()a a a a -=
-=+++， 2
2
2150,
(1)16,
a a a +-=∴+=
∴原式＝
21
168
= 点拨：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值。

例题2 （枣庄中考）先化简，再求值：2
35(2)2
36m m m m m
-÷+-
--，其中m 是方程2
310x x +-=的根。

解析：先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m 是方程2
310x
x +-=的根，那么
2
310m m +-=，可得2
3m m +的值，再把2
3m m +的值整体代入化简后的式子，计算即可。

答案：解：原式＝2
39
3(2)2
m m m m m --÷--
2
32
3(2)(3)(3)
1
3(3)
13(3)m m m m m m m m m m --=
⋅
-+-=
+=+ m 是方程2
310x
x +-=的根。

2
310m m ∴+-=，
即2
31m
m +=，
∴原式＝1
3。

点拨：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入。

比例性质在分式求值中的应用
有些分式求值题，若按常规方法求解可能比较麻烦甚至无法求解，然而若能转换思路，从整体上考虑问题，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理，往往可以化繁为简，变难为易，轻松解决问题。

例题 已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b c ++≠。

若a b c a b c a b c c b a +--+-++==，则()()()
a b b c c a abc
+++等于（ ） A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
解析：本题可以把已知连等式中的每一个比值式为一个整体，通过换元法间接求解。

答案：设
a b c a b c a b c
k c b a
+--+-++===，又0a b c ++≠， ,
a b c a b c a b c
k a b c
a b c
k
a b c
+-+-+-++∴
=++++=++
即k ＝1。

∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，a ＋c ＝2b 。

∴原式＝
2228c a b
abc
⋅⋅=，故选A 。

（答题时间：45分钟）
一、选择题
*1. 若x ＝－1，y ＝2，则2
2
21
864x
x y
x y
-
--的值等于（ ）
A. 117-
B. 117
C. 116
D. 115
**2. 已知a 是方程2
10x x +-=的一个根，则
2
2
2
1
1a a a
-
--的值为（ ）
A.
12-+
B. 12
-± C. －1
D. 1
**3. 已知
1112a b -=，则ab a b
-的值是（ ） A.
12
B. 1
2
-
C. 2
D. －2
*4. 设m>n>0，2
2
4,m n mn +=则2
2
m n
mn
-＝（ ）
A.
D. 3
二、填空题
5. 若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则2
()
y x xy
--等于 。

**6. 已知a 与b 互为相反数，且|2|2,0a b b +=>，则代数式
221
a ab
a a
b b -++-的值是__________。

**7. （宝坻区二模）由于a 、b 、c 均为实数，且abc ＝1，则111
111a a b b b c c c a ++
+++++
+
的值为___________。

三、解答题
**8.（自贡中考）先化简211()1122
a
a a a -÷-+-，然后从1
、－1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值。

**9. 已知x ＝2013，y ＝2014，求代数式2
2()x y xy y
x x x
--÷-的值。

**10. 先化简，再求值：
2
2
14
(1)
144
x
x x x
-
-÷
-++
，其中
1
1
1
3
()
x-
=+。

**11.（曲靖中考）化简：
22
22
22
()
1211
x x x x x
x x x x
+-
-÷
--++
并解答：
（1）当x＝1
（2）原代数式的值能等于－1吗？为什么？
*12. （重庆中考）先化简，再求值：
222
2
6951
(2)
22
a a
b b b
a b
a a
b a b a
-+
÷---
--
，其中a b
、满足
4
2
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩。

1. D 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 、y 的值代入进行计算即可。

原式＝
28281
8888888()()()()()()x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y
+---==
+-+-+-+， 当x ＝－1，y ＝2时，原式＝
11
11615
=-+，故选D 。

2. D 解析：先化简
2
2
211
a a a
-
--，由a 是2
10x x +-=的一个根，得2
10a
a +-=，即2
1a a +=，
再整体代入即可，故选D 。

3. D 解析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数，
11b a
a b ab
--=
12=
，则2ab
b a
=-，∴
2ab a b =--，故选D 。

4. A 解析：先根据2
2
4m n mn +=可得出22222
16()m n m n +=，由m>n>0可知，
22
0m n mn
->，故可得
出22m n mn -=222()m n -化为222()m n +
22
4m n -＝2
2
12m n
，22
m n mn
-∴
=A 。

5.
22
2
4b
a b
- 解析：直接把x 、y 的值代入即可.把x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，代入得：
2
2
2
224()()()()y x a b a b b xy a b a b a b
-+-+-=-=-+--
6. 0 解析：∵a 与b 互为相反数，0a b ∴+=，即a b =-， 又|2|2a b +=，即22a b +=或22,0a b b +=->，
2,2b a ∴==-，
则
222(2)2(2)
014421
a a
b a ab b -⨯--⨯-==++--+-。

故答案为：0
7. 1 解析：由于a 、b 、c 均为实数，且abc ＝1，则1
ac b
= ∴原式＝
11
111
abc a ab abc b bc c b
++
++++++
1111
bc b
b b
c b bc b bc =
++
++++++ 1
1
bc b b bc ++=
++
＝1。

8. 解：2
11(
)1122
a
a a a -÷-+- 112(1)(1)
()11a a a a a
+-=-⨯
-+ 2(1)2(1)
a a a a
+-=
-
2222
a a a +-+=
4a
=
， 由于1a ≠±
，所以当a =
= 9. 解：先对分式进行化简，再代入求值。

2
2()x y xy y
x x x --÷- 22
2()x y x xy y x x --+=÷
2
1
()x y x x x y
x y -=
⋅=--， 把x ＝2013，y ＝2014，代入得：－１
10. 解：2
2
2142(2)2
(1)11(2)(2)1
44x x x x x x x x x x x --++-÷=⋅=--+--++， 因为11143()x -=
+=，所以代入原分式等于6
23
= 11. 解：（1）原式＝22(1)(1)1
[
](1)(1)(1)x x x x x x x x x
+-+-⋅+--
2(1)1
11x x x x ++==-- 11
x x +=
-，
当1x =+
1=
（2）若原式的值为－1，即
1
11
x x +=--， 去分母得：x ＋1＝－x ＋1， 解得：x ＝0，
代入原式检验，分母为0，不合题意， 则原式的值不可能为－1。

12. 解：原式＝
222(3)91
(2)2a b b a a a b a b a --÷--- 2(3)21
(2)(3)(3)a b a b a a b b a b a a
--⨯---+
31
(3)b a a b a a
-=
-+
2
3b a
=-
+，
4
2
a b a b +=⎧⎨
-=⎩， 3
1a b =⎧∴⎨=⎩
， ∴原式＝21
3133
-=-⨯+。