重心坐标的一般计算公式

1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
间接（二次）投影法
2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
合力的大小为：FR ( FX )2 ( FY )2 ( FZ )2
方向余弦
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k )
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
M ABF 0 M AE F 0

F6

a

a 2

P

0
F6

P 2
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF F 0
a F6 a 2 P F1
ab 0
i 1
i 1
n
n
M oy M 0 (F )i y M y (Fi )
i 1
i 1
n
n
M oz M 0 (F )i z M z (Fi )
i 1
i 1
—有效推进力 —有效升力 —侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩 —俯仰力矩
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移
FB

P
AF AB
FC
AD AB
1.5 0.4 1.0
0.5 0.5 1.0
0.35kN
Fzi 0 : FA FB FC P 0 （3）
FA P FB FC 1.5 0.35 0.5 0.65kN
例4－3
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300 ，
物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的 合力。
物体每一微小部分地球引力 ：构成一汇交力系，
PiPi P
汇交点为地球中心。近似为一空间平行力系。
重心：物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点C 。(P Pi )
空间平行力系的中心——几何点 重心C —— 唯一性 二、重心位置的确定
1. 一般计算公式 设合力P的作用点位置坐标为：xC、yC、zC ，由合力矩定理得：
即：
FR'

0

M o 0
n
n
则 有 ： Fxi 0, M x (Fi ) 0
i 1
i 1
n
n
Fyi 0,
M y (Fi ) 0
i 1
i 1
n
n
Fzi 0,
M z (Fi ) 0
i 1
i 1
例4－1已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径D=20mm，压力角 α=200
例4－4 已知：F 2000N, F2 2F1, 30, 60, 各尺寸如图
求： F1, F2 及A、B处约束力 解：研究对象，曲轴 受力：F , F1, F2 , FAx, FAz , FBx, FBz
列平衡方程
Fz 0 F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0 Fy 0 0 0
力偶矩
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。 力偶矩
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
M
(
F1
,
F1)
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图， 列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0 结果： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN

rBA

F1
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变。
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3 =
=
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。
则有：
xc
xiPi
P
ximi g
Mg
xi mi
M
xc
ximi yc
M
yi mi
M
zc
zi mi
M
物体质心坐标的一般计算公式。
可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。
重心与质心的区别
Fz 0 F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
M y F 0
F

R

D 2

F2
（2）合力偶
当
时，最后结果为一个合力偶。此时与简化
中心无关。
（3）力螺旋
当FR 0, Mo 0, FR
M
时
o
力螺旋中心轴过简化中心
当FR

0，M

0，FR，M成角，且

k
2
时
力螺旋中心轴距简化中心为
（4）平衡
当
时，空间力系为平衡力系
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。
MO——称为原力系对O点的主矩
主矩与简化点O位置有关
建立直角坐标系Oxyz，主矢F’R在各坐轴 上的投影分别为：
n
FR' x Fxi i 1
n
FR'y Fyi i 1
n
FR' z Fzi i 1
主矩MO在各坐标轴上的投影分别为：
n
n
M ox M 0 (F )i x M x (Fi )
求： 力P大小及A、B处的反力
解：分析：
传动轴AB匀速转动时，
可以认为处于平衡状态。
以AB轴及其上的 齿轮和皮带轮所组成 的系统为研究对象。
Py P cos 200 ,
Pz P sin 200
解： 以AB轴及其上的
齿轮和皮带轮所组成的 系统为研究对象。
Py P cos 200 , Pz P sin 200
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作 用点的坐标 x, y, z 求：力F对 x, y, z轴的矩
Fz y Fy z
Fx z Fz x
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M Mi
则得: M M i
为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
cos M ix
M
cos Miy M
M ( M xi )2 ( M yi )2 ( M zi )2
cos M iz
a2 b2
MFGF 0
Fb

b 2

P

F2b

0
MBC F 0

F2

b

b 2

P

F3

Hale Waihona Puke cos45
b

0
F1 0 F2 1.5P
F3 2 2P
例4-6
已知：P=1000N ,各杆重不计。
求：三根杆所受力。 解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图建坐标系如图。
M x (F ) 0,
M z (F ) 0, Fy 0, M y (F ) 0, Fz 0,

Py

D 2

(T1
T2 )
D1 2

0
P 71N,
Py 150 FBy 350 0
FAy 38.1N,
Py FBy FAy 0 Pz 150 FBz (T1
Fz FR
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即可由上式得：
称为空间汇交力系的平衡方程。
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
又 则
力对O点的矩在三个坐标轴的投影：
M y (P) M y (Pi )
Pxc xiPi
xc
xi Pi
P
, yc
yi Pi
P
, zc
zi Pi
P
重心坐标的一般计算公式，P为物体的总重量。
设：Pi mi g, P Mg 其中 mi , M 分别
为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。
Fy z Fx y
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式：
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
§4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
M rAB F
由
FOB sin 45 FOC sin 45 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
FOA sin 45 P 0
解得 FOA 1414N（压） FOB FOC 707N（拉）
§4 －6 重心 ·平行力系中心
一、重心的概念
若力系中 各力的作用线 在空间任意分 布，则该力系 称为空间任意 力系，简称空 间力系。
本章研究的主要内容
空间力系
分解 空间力偶系
简化
空间汇交力系 导出平衡方程。
应用: 重心、平行力系中心
§4–1空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多变形法则对空间 汇交力系是否适用？
对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？
力线平移
合成 汇交力系
MO
合成 力偶系
结论： 空间 一般力系 向一点O 简化
•主矢与主矩
一个力 FR 作用于简化中心O
一个力偶M
FR F1 F2 Fn F1 F2 Fn Fi ——原力系的主矢 主矢与简化点O位置无关
M M1 M2 Mn MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi ) MO
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零，即
有 Mix 0 Miy 0 Miz 0
简写： M x 0,M y 0, M z 0
称为空间力偶系的平衡方程。
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
•简化过程： 将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, Mo 0 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。
当 FR

0, Mo

0,
FR

M
时，
o
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力 对同一点（或轴）之矩的矢量（代数）和。

F1


0
M z F 0
F1 sin 30 200 F2 sin 60 200 FBx 400 0
结果：F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-5
解： 三轮小车ABC ——研究对象
受力： P、FA、FB、FC 构成平行力系。
M xi 0 : P EF FC CD 0 （1）
FC

P
EF CD
1.5 0.5 1.5

0.5kN
M yi 0 : FB AB P AF FC AD 0 （2）
T2 ) 500
0
FBy

28.6 N,
FAz FBz T1 T2 Pz 0
FAz 142 N, FBz 418 N
例4－2 三轮小车ABC静止于光滑水平面上， 如图所示。已知：AD = BD = 0.5m，CD = 1.5m。若有铅垂载荷P = 1.5kN，作用于车上 E点，EF = DG = 0.5m，DF = EG = 0.1m。试 求地面作用于A、B、C三轮的反力。