2020-2021学年湖南省衡阳一中高三(上)月考数学试卷(四)(附答案详解)

2020-2021学年湖南省衡阳一中高三（上）月考数学试卷
（四）
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）
1. 若a =(9
4)1
2，b =3log 83，c =(2
3
)1
3，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A. c <b <a
B. a <b <c
C. b <a <c
D. c <a <b
2. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位．．
向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 上的投影为( ) A. 1
3
B. −2√6
3 C. √63 D. 2√23
3. 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等
比数列，则a b 1+a b 2+⋯+a b 10=( )
A. 1033
B. 1034
C. 2057
D. 2058
4. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，现给出下列命题：
①若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β； ②若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β； ③若m ⊥α，m//β，则α⊥β； ④若m//n ，m ⊂α，则n//α． 其中正确命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 已知四棱锥M −ABCD ，
MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD +∠BAD =180°，MA =2，BC =2√6，∠ABM =30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. 20π
B. 22π
C. 40π
D. 44π
6. 已知f(x)是定义在R 上的函数，满足f(x)+f(−x)=0，f(x −1)=f(x +1)当x ∈
(0,1)时，f(x)=−x 2+x ，则函数f(x)的最小值为( )
A. 1
4
B. −1
4
C. −1
2
D. 1
2
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）
7. 设函数f(x)={
|lnx|,x >0
e x (x +1),x ≤0
，若函数g(x)=f(x)−b 有三个零点，则实数b 可
取的值可能是( )
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 2
8. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(sinx,−√3)，n ⃗ =(cosx,cos 2x)，函数f(x)=2m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +√3+1，下列
命题，说法正确的选项是( )
A. f(π
6−x)=2−f(x)
B. f(π
6−x)的图象关于x =π
4对称 C. 若0<x 1<x 2<π
2，则f(x 1)<f(x 2)
D. 若x 1，x 2，x 3∈[π3,π2]，则f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)
三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）
9. 三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数
列，则这三个数为______．
10. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的
半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为______．
四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）
11. 已知函数f(x)=1
x 2+1.求：f(1
2015)+f(1
2014)+⋯+f(1
2)+f(1)+f(2)+⋯+
f(2015)．
12. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =
2,CD =6,cosB =
√3
3． (1)求△ACD 的面积；
(2)若BC =4√3，求AB 的长．
13. 设数列{a n }，其前n 项和S n =−3n 2，又{b n }为单调递增的等比数列，
b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3．
(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (Ⅱ)若c n =b n
(b n −2)(b n
−1)
，求数列{c n }的前n 项和T n ，并求证：2
3≤T n <1．
14. 已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4
的正方形，
△PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；
(Ⅱ)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；
(Ⅲ)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π
6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查利用指数函数和对数函数的性质判断大小，属于基础题． 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解即可． 【解答】
解：∵a =(9
4
)1
2=3
2
，
b =3log 83=log 23>log 2√8=3
2，
c =(2
3)1
3<(2
3)0=1，
∴a ，b ，c 的大小关系是c <a <b ． 故选：D ．
2.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题． 由已知向量等式求得a ⃗ ⋅b ⃗ ，进一步求出a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )，|a ⃗ +b ⃗ |的值，代入投影表达式计算． 【解答】
由a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，知|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，
再由|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，得(a ⃗ +b ⃗ )2=2(a ⃗ −b ⃗ )2，
即a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2
=2a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +2b ⃗ 2
， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =13，
则|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2
=√1+2
3+1=
2√6
3
， a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ 2
+a ⃗ ⋅b ⃗ =1+13=43，
∴a ⃗ 在a ⃗ +
b ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅(a ⃗ +b
⃗ )|a ⃗ +b
⃗ |=
4
32√63
=
√6
3
， 故选C ．
3.【答案】A
【解析】解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+(n−1)×1=n+1，
∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴b n=1×2n−1，
依题意有：a b
1+a b
2
+⋯+a b
10
=1+2+22+23+⋯+29+10=1033，
故选A．
首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的
等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b
1+a b
2
+⋯+a b
10
=1+
2+22+23+⋯+29+10进行求和．
本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是要求出数列{a n}和{b n}的通项公式，熟练掌握等比数列求和公式．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，考查学生的空间想象能力；熟练运用定理是关键．
利用线面平行、面面平行、面面垂直和线面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．
【解答】
解：对于①，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，根据面面平行的判定定理，如果直线m，n不相交，那么α与β不一定平行；故①错误；
对于②，若α⊥β，m⊂α，则m与β位置关系不确定；故②错误；
对于③，若m⊥α，m//β，根据线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可得α⊥β；故③正确；
对于④，若m//n，m⊂α，则n//α或者n⊂α；故④错误．
故选B．
5.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于确定底面四点共圆，并利用合适的方法求出外接圆的半径，考查计算能力，属于中等题．
先由题中条件得知A 、B 、C 、D 四点共圆，利用锐角三角函数计算出AB ，再由勾股定理得出四边形ABCD 的外接圆直径AC ，再利用公式2R =√MA 2+AC 2可得出球的直径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【解答】
解：由于∠BCD +∠BAD =180°，则A 、B 、C 、D 四点共圆， 由于MA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，MA ⊥AB ，
在Rt △ABM 中，∵∠ABM =30°，MA =2，所以，AB =√3MA =2√3， ∵AB ⊥BC ，所以，四边形ABCD 的外接圆直径为AC =√AB 2+BC 2=6， 因此，四棱锥M −ABCD 的外接球直径为2R =√MA 2+AC 2=2√10， 所以，该球的表面积为4πR 2=π×(2R)2=40π． 故选：C ．
6.【答案】B
【解析】解：由f(x −1)=f(x +1)可得f(x)是周期为2的周期函数， 所以只需要求出一个周期内的最值即可， 由f(x)+f(−x)=0， 可得f(x)为奇函数， 所以考虑区间(−1,1)，
在x ∈(0,1)时，f(x)=−(x −1
2)2+1
4， 所以f(x)max =f(1
2)=1
4， 由于f(x)为奇函数，
所以在x ∈(−1,0)时，f(x)min =f(−1
2)=−f(1
2)=−1
4， 所以f(−1
2)=−1
4，
即为f(x)在(−1,1)上的最小值，从而也是f(x)在R 上的最小值， 故选：B ．
由f(x −1)=f(x +1)可得f(x)是周期为2的周期函数，得只需要求出一个周期内的最值即可，由f(x)+f(−x)=0，可得f(x)为奇函数，考虑区间(−1,1)最小值即可．
本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
7.【答案】BC
【解析】解：函数g(x)=f(x)−b有三个零点，则函数g(x)=f(x)−b=0，即f(x)=b 有三个根，
当x≤0时，f(x)=e x(x+1)，则f′(x)=e x(x+1)+e x=e x(x+2)，
由f′(x)<0得x+2<0，即x<−2，此时f(x)为减
函数，
由f′(x)>0得x+2>0，即−2<x<0，此时f(x)
为增函数，
即当x=−2时，f(x)取得极小值f(−2)=−1
e2
，
作出f(x)的图象如图：
要使f(x)=b有三个根，
则0<b≤1，
故选：BC．
根据函数零点的定义转化为f(x)=b有三个根，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键．
8.【答案】BD
【解析】解：函数f(x)=2m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+√3+1=2sin(2x−π
3
)+1.，
对于A，x=0时，f(π
6−x)=2−f(x)⇒f(π
6
)=2−f(0)显然不成立，所以A不正确；
对于B，f(π
6−x)=2sin(−2x)+1，x=π
4
时，对应函数取得最小值，故图象关于x=π
4
对称，所以B正确；
对于C，x∈(0,π
2)时，2x−π
3
∈(−π
3
,2π
3
)，所以f(x)在(0,π
2
)不单调，故C错；
对于D，x∈[π
3,π
2
]时，f(x)∈[√3+1,3]，而2(√3+1)>3，
∴x1，x2，x3∈[π
3,π
2
]，则f(x1)+f(x2)>f(x3).故D正确；
故选：BD．
可得函数f(x)=2m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +√3+1=2sin(2x −π
3)+1.， A ，x 取=0验证即可，
B ，f(π
6−x)=2sin(−2x)+1，验证当x =π
4时，对应函数是否取得最小值即可判定； C ，x ∈(0,π
2)时，f(x)在(0,π
2)不单调，即可判定；
D ，x ∈[π3,π2]时，f(x)∈[√3+1,3]，而2(√3+1)>3，即可判定； 本题考查了三角函数得性质，属于中档题．
9.【答案】4，8，16或16，8，4
【解析】解：可设这三个数为a
q ，a ，aq ，则a
q ⋅a ⋅aq =512， 所以a 3=512，解得a =8，
第一个数与第三个数各减2，得到新的等差数列为8
 q −2，8，8q −2， 所以16=(8
 q −2)+(8q −2)，即2q +2
q =5， 所以2q 2−5q +2=0，解得q =2或q =1
2， 当q =2时，这三个数为4，8，16， 当q =1
2时，这三个数为16，8，4． 故答案为：4，8，16或16，8，4．
由题意可设这三个数为a
q ，a ，aq ，利用等比数列的性质解得a 的值，第一个数与第三个数各减2，可得新的等差数列为8
 q −2，8，8q −2，利用等差数列的性质可得2q 2−5q +2=0，解方程得到q 的值，再求出这三个数即可．
本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的性质，考查了方程思想和分类讨论思想，属于基础题．
10.【答案】32π
27
【解析】解：设小圆柱体底面半径为cosθ，则高为1+sinθ，θ∈(0,π
2).
小圆柱体积V =π⋅(cosθ)2(1+sinθ)，
设sinθ=t ，t ∈(0,1)，则V =π(−t 3−t 2+t +1)，
V′=π(−3t +1)(t +1)，t =1
3时，小圆柱体积的最大值为32π
27， 故答案为：32π
27．
设小圆柱体底面半径为cosθ，则高为1+sinθ，θ∈(0,π
2)小圆柱体积V =π⋅(cosθ)2(1+sinθ)，设sinθ=t ，t ∈(0,1)，则V =π(−t 3−t 2+t +1)，利用导数性质能求出小圆柱体积的最大值．
本题考查圆柱体积的最大值的求法，考查空间想象能力，利用导数判断函数最值、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】解：根据题意，函数f(x)=1
x 2+1．
则f(1x )=1
(1x
)2+1=x 2
1+x 2，
则f(x)+f(1
x )=1，
故f(1
2015)+f(1
2014)+⋯+f(1
2)+f(1)+f(2)+⋯+f(2015)=f(1
2015)+f(2015)+f(
12014
)+f(2014)+⋯…+f(12
)+f(2)+f(1)=2014+12
=
40292
，
故答案为：40292
．
【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(1x )的值，进而可得f(x)+f(1
x )=1，据此计算可得答案．
本题考查函数值的计算，注意分析f(x)+f(1
x )的值，属于基础题．
12.【答案】解：(1)∵cosB =√33,0<B <π,可求：sinB =√6
3
．
∴sinD =sin2B =2sinBcosB =
2√2
3
． ∴S △ACD =1
2⋅AD ⋅CD ⋅sinD =4√2．
(2)∵AD =2，CD =6，cosD =2cos 2B −1=−13，
∴在△ACD 中，由余弦定理知，AC =√AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cosD =
√4+36−2×2×6×(−13)=4√3， ∵在△ABC 中，cosB =
AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =√33
， ∴解得：AB =8．
【解析】(1)利用已知条件求出D 角的正弦函数值，然后求△ACD 的面积；
(2)利用余弦定理求出AC ，通过BC =4√3，利用余弦定理求解AB 的长．
本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
13.【答案】解：(Ⅰ)∵数列{a n }，其前n 项和S n =−3n 2，
∴a 1=−3，
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(−3n 2+3(n −1)2=−6n +3,
当n =1时，上式也成立，
∴a n =−6n +3，
∵{b n }为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3，
∴{(b 1q)3=512−3+b 1=−15+b 1q 2
， 解得b 1=4，q =2或b 1=−16，q =−12(舍)，
∴b n =2n+1．
即：a n =−6n +3,b n =2n+1；
(Ⅱ)证明：c n =2n+1(2n+1−2)(2n+1−1)=2n (2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1，
∴T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n
=(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n −1−12n+1−1)，
⇒T n =1−12n+1−1，
因为{T n }是递增数列，所以23≤T n <1． 【解析】(Ⅰ)由已知得a 1=−3，当n ≥2时，通过a n =S n −S n−1，求解a n ；由b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3，求出首项与公比，即可求解b n ．
(Ⅱ)化简c n =b n (b
n −2)(b n −1)，由此利用裂项求和法求解数列的和，利用数列的单调性证明
结合即可．
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列与不等式综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用，是中档题．
14.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为△PAD 是
正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD ．
又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，
所以PO ⊥CD ，AD ∩CD =D ，AD ，CD ⊂
平面ABCD ，
所以PO ⊥面ABCD ；
(Ⅱ)如图，以O 点为原点分别以OA 、
OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直
角坐标系．
则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(−2,4,0),D(−2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2√3)，
E(−1,2,√3),F(−1,0,√3)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0),EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)，
设平面EFG 的法向量为m
⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0
，得{−2y =0,x +2y −√3z =0, 令z =1，则 m ⃗⃗⃗ =(√3,0,1)，
又平面ABCD 的法向量n
⃗ =(0,0,1)， 设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，
所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1
2
． 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3；
(Ⅲ)假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，
设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1]，由GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,−4,2√3(1−λ))．
所以sin π6=|cos <GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=√32√4λ2−6λ+7，
整理得2λ2−3λ+2=0，无解，
所以，不存在这样的点M ．
【解析】(I)因为PO ⊥AD ，又CD ⊥平面PAD ，得到PO ⊥CD ，进而证明结论； (II)以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标
系，平面EFG 的法向量，又平面ABCD 的法向量n
⃗ =(0,0,1)，利用夹角公式求出即可； (III)假设线段PA 上存在点M ，设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA
⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1]，由直线GM 与平面EFG 所成角为π
6，得到关于λ的方程，解方程判断即可．
考查线面垂直的判定，向量法求二面角和线面所成的角的余弦值，考查运算能力，中档题．。