2020年四川省绵阳市开元中学高三校区高三数学理月考试题含解析

2020年四川省绵阳市开元中学高三校区高三数学理月
考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知正的边长是，那么的直观图的面积是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 设命题p：?x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）
A．?x＞0，x﹣lnx≤0B．?x＞0，x﹣lnx＜0
C．?x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．?x0＞0，x0﹣lnx0≤0
参考答案：
D
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“?x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是?x＞0，x﹣lnx≤0．
故选：D．
3. 已知，若函数满足，则称为区间
上的一组“等积分”函数，给出四组函数：
①；②；
③；
④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在．
其中为区间上的“等积分”函数的组数是
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C 对于①，，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得，而，所以①
是一组“等积分”函数；对于②，，而
，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故，而
，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对
称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分，所以④是一组“等积分”函数，故选C
4. 函数的定义域为( )
A．B．C．(1，)
D．∪(1，)
参考答案：
A
略
5. 在中，为三角形所在平面内一点，且，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
设直线AD,BC交于点E,并设,由E,B,C三点共线得，,, ,设,则,又,,,所以选C. 6. 平面向量，，若，则等于
A． B． C．
D．
参考答案：
A
试题分析：根据向量共线的条件，可知，所以.
考点：向量共线的坐标表示.
7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B =30°，△ABC 的面积为，则b =
A．B． C. D．
参考答案：
B
成等差数列，．平方得．又的面积为，且，
故由，得，．
由余弦定理，
解得．又∵为边长，∴．故B正确.
8. 已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y 的取值范围是（）
A．[－2，－1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[1，2]
参考答案：
答案：C
9. 已知复数满足，则
A．B．C．D．
参考答案：
A
10. 在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C)
43 (D)37
参考答案：
B
解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．
⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组；
⑵ 面中心为中点：4×6=24组；
⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如下图（图左）所示，则该单位职工的月收入的平均数大约
是
元。

参考答案：
2900
12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，则，，，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则，
____________成等比数列.
参考答案：
由于等差数列的特征是差，等比数列的特征是比，因此运用类比推理的思维方法可得：，，成等比数列。

13. （5分）计算 2lg﹣lg5= ．
参考答案：
1
【考点】：对数的运算性质．
【专题】：函数的性质及应用．
【分析】：直接利用对数的运算法则化简求解即可．
解：2lg﹣lg5
=lg50﹣lg5
=lg10
=1．
故答案为：1．
【点评】：本题考查对数的运算法则，考查计算能力．
14. 在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则A=.
参考答案：
答案：
解析：由正弦定理得，所以A=
15. 设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x 轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为．
参考答案：
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】求得B和C点坐标，根据直线的斜率公式可得k1×k2=﹣1，即可求得=1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），
当x=c时，代入双曲线方程，解得：y=±，
设B（c，），C（c，﹣），
则直线A1B的斜率k1==，
直线A2C的斜率k2==﹣，
由A1B⊥A2C，则k1×k2=﹣1，即×=1，
则=1，
双曲线的离心率e===，
故答案为：．
16. 从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________.
参考答案：
从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为，左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，经过两次这样的调换后，甲在乙左边包含的基本事件个数
，经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：，故答案为.
17. 与双曲线具有相同的渐近线，且经过点的双曲线方程是
_______．
参考答案：
【分析】
与双曲线有相同的渐近线的所求双曲线的方程设为，代入已知点的坐标，解方程可得所求双曲线方程．
【详解】解：设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线的方程为
，代入点，解得，则所求双曲线的方程为
，故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等比数列各项都是正数，，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：
参考答案：
略
19. 某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动，准备了5张标有1，2，3，4，5的外表完全相同的卡片，规定通过游戏来决定抽奖机会，每个获得抽奖机会的同学，一次从中任意抽取2张卡片，两个卡片中的数字之和为5时获一等奖，两个卡片中的数字之和能被3整除时获二等奖，其余情况均没有奖．
（1）共有几个一等奖？几个二等奖？
（2）求从中任意抽取2张，获得一等奖的概率；
（3）一名同学获得两次抽奖机会，求①获得一个一等奖和一个二等奖的概率：②两次中至少一次获奖的概率．
参考答案：
解：（1）从5张卡片中任取两张，共有10种情况，分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），一等奖2个为（1，4），（2，3），二等奖4个为（1，2），
（1，5），（2，4），（4，5）．
（2）从中任意抽取2张，获得一等奖的概率P=；
（3）一名同学获得两次抽奖机会，
①获得一个一等奖和一个二等奖的概率；
②两次均没获奖的概率．
两次中至少一次获奖的概率为．
本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了互斥事件的概率和对立事件的概
一次同时投掷两枚相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字）
（I）设随机变量表示一次掷得的点数和，求的分布列；
（II）若连续投掷10次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数，求参考答案：
略
21. （14分）定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有
f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求证：f(x)为奇函数；
（2）若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案：
（1）f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ①
令x=y=0,代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=-x,代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0＝f(x)+f(-x).
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数.
（2）f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)知f(x)是奇函数.所以有f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),
即k·3x<-3x+9x+2,
32x-(1+k)·3x+2>0对任意x∈R成立.
令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.
令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴.
当<0即k<-1时，g(0)=2>0,符合题意；
当=0即k=-1时，g(t)=t2+2,
对任意t>0,g(t)>0恒成立；
当>0时，对任意t>0，g(t)>0恒成立,
解得-1<k<-1+,
综上所述当k<-1+时，
f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立
【解析】略
22. （本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面,
,,点是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
参考答案：
（1）证明：平面，
,,
（2）取的中点,连结，则∥,平面,平面.
取的中点,连结,则∥，,
连结, 则是二面角的平面角，
又
二面角大小为
略。