湖北省黄石市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题

2018—2019学年下学期2017级期中考试
文数试卷
考试时间：2019年4月23日
一、单选题（共12小题，每小题5分）。

i ．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）
A ．任意一个有理数,它的平方是有理数
B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数,它的平方是有理数
D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数
ii ．设,a b R ∈，则“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
iii ．已知函数()ln x f x e x =⋅，'()f x 为()f x 的导函数，则f ′（1）的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．1
e
D ．e
iv ．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数 的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则4个剩余分数的方差为（ ） A ．6
B ．1
C ．
32
D ．4
v ．已知函数42
1()42
f x x x =-
+，则当()f x 取得极大值时，x 的值应为（ ） A ．12
-
B ．12
C ．0
D ．1
2
±
vi ．直线0x y +=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(1x y +=上，则ABP △面积的取值范围是（ ）
A ．
B ．[2,4]
C ．[1,2]
D ．[1,3]
vii ．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，若
|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A.
14 B. C. 12
D.
2
viii ． 已知过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点且倾斜角为45︒的直线仅与双曲
线的右支有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A )+∞
B )+∞
C ．]2,1(
D ．)2,1(
ix ．已知a x x g xe x f x
++-==2
)1()(,)(，若R x x ∈∃21,，使得)()(12x g x f ≤成立，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．[,)e -+∞
B ．(,]e -∞-
C ．1[,)
e -+∞ D ．1
(,]e
-∞-
x ．如右图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形
且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的体积是（ ） A ．
2
3
B ．
43
C ．83
D ．2
xi ．已知函数()x f x ax e =-，当e a +≤≤11时，则有（ ）
A ．x x f ≤)(
B ．()f x x ≥
C ．()f x x <
D ．()f x x >
xii ．已知函数3
2(),3
x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数
的图象均相切，则m =（ ） A. 23
3
-
或13- B. 3-或7- C. 73-或7- D. 73-或
13-
二、填空题
xiii ．复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z = ． xiv ．已知
2＋2
3
＝2
23
，3＋38
＝338
，4＋415
＝44
15
，…，若6＋a t
＝6
a t
，(a ，t 为互质的正整数)，由以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________. xv ．设曲线1
,*n y x
n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，
则1299a a a ++
+的值为___________．
xvi ．已知21,F F 是椭圆14
22
=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的右顶点和上顶点，点
P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为 ．
三、解答题
xvii ．已知R m ∈,命题p ：对任意[]1,0∈x ，不等式m m x 3122
-≥-恒成立；命题q ：曲
线x
y e mx =- 在任意一点处的切线斜率均大于2-． (Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；
(Ⅱ）若命题p q ∧是真命题，求实数m 的取值范围．
xviii ．为了调查喜欢数学是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢数学”
这个问题，在某学校分别随机调研了50名女生和50名男生，根据调研结果得到如图所示的等高条形图． （Ⅰ）完成下列22⨯列联表：
(Ⅱ）能否有超过99%的把握认为“喜欢数学与性别有关”. 附：
(参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
xix ．现将一根长为180 cm 的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽
之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
xx ．在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，//AB CD ，
44CD AD AB ===，且AC PA ⊥，
M 为线段CP 上一点．
（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面PAM ； (Ⅱ）若14PM PC =
且1
2
AP AD =，求证：MB //平面PAD ， 并求四棱锥M ABCD -的体积．
xxi ．已知双曲线1T ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，若抛物线22:2(0)
T y px p =>
的焦点到双曲线1T 的渐近线的距离为
4
．已知点(2,0)E 为抛物线2T 内一定点，过E 作
两条直线交抛物线2T 于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．
（Ⅰ）求抛物线2T 的方程；
（Ⅱ）若2AB CD k k +=，证明：直线MN 过定点．
xxii ．已知函数322
()7(,)f x x ax bx a a a b R =++--∈，且1x =时()f x 有极大值10. （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若'()f x 为()f x 的导函数，不等式
1
'()(ln 1)523
f x k x x x >--+（k 为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.（注：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61≈≈≈）
高二年级期中考试文数答案
i ．B
ii ．B 【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此是必要条件，故选B 。

iii ．D 解：由函数的解析式可得：()11e ln e e ln x x x f x x x x x ⎛
⎫=⨯+⨯='+ ⎪⎝
⎭，
则()111e ln1e 1f ⎛
⎫=⨯+= ⎪⎝
⎭'．即()1f '的值为e ．
iv ．C
v ．C vi ．D vii ．B
viii ．A 解：
1b
e a
≥⇒ix ．C 解：R x x ∈∃21,，使得)()(12x g x f ≤成立，则min max ()()f x g x ≤，∵min 1()(1)f x f e =-=-，max ()(1)g x g a =-=，∴1a e
≥-
x ．B 解：如图，此三视图还原为一个三棱锥P ABD -。

xi ．A 解：当11a e ≤≤+时，01a e ≤-≤，则(1)x x e ex a x ax e x ≥≥-⇒-≤ xii ．D 解：直线2y x a =+与2()45g x x x =-+相切，由0∆=解得4a =-；
直线2y x a =+与3
2(),3
x f x x x m m R =+-+∈相切，可得切点(1,2)-或(3,10)--
xiii ．i 2+2 解：55(2)
()(2)5222(2)(2)
i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=
⇔=+=+--+ xiv ．41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为
n ＋n
n 2－1
＝n n
n 2
－1
，所以当n ＝6时6a =，35t =，41a t +=. xv ．2- 解：曲线1
,*n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，
∴1
n n
x n =
+， ∴lg lg lg(1)n x n n =-+，∴1299a a a +++lg1lg1002=-=-
xvi ．11
5
-
解：22123PF PF x y ⋅=+-，考虑22x y +的几何意义即可得212||3PF PF OP ⋅=-，点P 在线段AB 上，则2min 4||5OP =，∴()
()212min min 11
||35
PF PF OP ⋅=-=-
xvii ．（1）若p 为真，则m ∈⎣⎦
；
（2）若q 为真，则2m ≤；由题意知，p q ∧是真命题， ∴m ⎤
∈⎥⎣⎦
xviii ．(1)由等高条形图知喜欢数学的女生有500.735⨯=人，
喜欢数学的男生
有
500.525⨯=人
------------------2分
22⨯列联表：
分
(2)∵2K 的观测值25
4.167 6.6356
k =
≈< ------------------10分
∴不能在犯错误的前提不超过0.010，即有99%的把握认为“喜欢数学与性别有关”。

-------12分
xix ．解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为
()18012
453
(c m )015
4
x h x x -=
=-∴<<
. ----------2分
故长方体的体积为2
()2(453)V x x x =-，而()18(V x x x
'=- -----------4分
令'()0V x =，解得x =0（舍去）或10x =，因此x =1. -----------6分
当0＜x ＜10时，'()0V x >；当1015x <<时，'()0V x <，
-----------8分
故在x =10处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。

-----------10分
从而最大体积()(10)3000V x V ==（cm 3），此时长方体的长为20cm ，高为15cm. 答：当长方体的长为20cm 时，宽为10cm ，高为15cm 时，体积最大，最大体积为3000cm 3。

-----------12分
xx ．
xxi ．解：（Ⅰ）抛物线的焦点 (,0)2
p
，双曲线的渐近线为x a
b
y ±=， -------------------2分
不妨取x a b y =，即0=-ay bx ，∴焦点到渐近线的距离
为d ==，
-------------4分
∵
c
a b a
=，
∴1d p =
=
= ------------------------------------------6分
（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为1x t y m =+，代入2
2y x =中，得21220y t y m --=，
设
1122(,),(,)A x y B x y ，则有
121
2y y t +=，从而
121
1
2
()2(2)2x x t y y m t t m
+=
++=+． 则2
11(,)M t m t +． ------------------------------------------8
分
设CD 所在直线的方程为2x t y m =+，同理可得2
22(,)N t m t +．
1222
1212()1()()MN t t k t t t t -=
=-+，MN 所在直线的方程为211121
[()]()
y t x t m t t -=⋅-++， 即1212()y t t t t x m +-=-． ------------------------------------------10
分
又1211
2AB CD k k t t +=
+=，即12122t t t t +=，代入上式，得1212()2
t t y t t x m ++-=-， 即 121()()2
t t y x m +-=-．∵2m =，∴1(2,)2
是此方程的一组解，
所以直线MN 恒过定点1
(2,)2
． ------------------------------------------12分
xxii ．解：（Ⅰ）由2
'()32f x x ax b =++，因为在1x =时()f x 有极大值10，
所以2
3201710a b a b a a ++=⎧⎨++--=⎩
，从而得2a =-或6a =-，--------------------3分， ①当2a =-时，1b =，此时2'()341f x x x =-+，当1
(,1)3
x ∈时，'()0f x <，当(1,)x ∈+∞时，
'()0f x >，∴在1x =时()f x 有极小值，不合题意，舍去；-------------------4分
②当6a =-时，9b =，此时2'()3(43)f x x x =-+，符合题意。

∴所求的32()696f x x x x =-++ ------------------6分
（Ⅱ）由（1）知2
'()3(43)f x x x =-+，所以等价于
1
'()(ln 1)523
f x k x x x >--+等价于 21(ln 1)x x k x x ++>-，即1
1ln 0k x k x x
++
+->， 记1()1ln k x x k x x ϕ+=++-，则22
1(1)(1)
'()1k k x x k x x x x ϕ++--=--=
，------------------8分
由'()0x ϕ>，得1x k >+，所以()x ϕ在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增， 所以()(1)3ln(1)x k k k k ϕϕ≥+=+-+，------------------9分
()0x ϕ>对任意正实数x 恒成立，等价于3ln(1)0k k k +-+>，即3
1ln(1)0k k
+-+>，
----10分 记3
()1ln(1)m k k k =+
-+因为()m k 在(0,)+∞上单调递减，又7(4)ln 504
m =->，8
(5)ln 605
m =-<，∵k Z ∈，∴k=1,2,3,4， 故k 的最大值为4. ------------------12分。