2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷解析版

2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分) 1．（2分）在比例尺为1：n 的某市地图上，A ，B 两地相距5cm ，则A 、B 之间的实际距离为（ ） A ．
B ．
C ．5ncm
D ．25n 2cm
2．（2分）如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2分）有三张正面分别写有数字1，2，﹣3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，抽取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．（2分）若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为（ ） A ．20cm
B ．18cm
C ．16cm
D ．12cm
5．（2分）一元二次方程（x +6）2
＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x +6＝4，则另一个一元一次方程是（ ） A ．x ﹣6＝﹣4
B ．x ﹣6＝4
C ．x +6＝4
D ．x +6＝﹣4
6．（2分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE 与BC 不平行，不平行，那么下列条件中，那么下列条件中，那么下列条件中，不能判断△不能判断△ADE ∽△ACB 的是（ ）
A ．∠ADE ＝∠C
B ．∠AED ＝∠B
C ．
＝
D ．
＝
7．（2分）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，
另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝0
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，∠ABC ＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＜0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
9．（2分）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（ ）
A．10个 B．12 个 C．15 个 D．18个
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交点都在点（﹣3，0）的右边，下列结论：
①b2＞4ac，②abc＞0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
12．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．
13．（3分）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单
位得到点Q．若点Q也在该函数的图象上，则n＝ ．
14．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 ． 15．（3分）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面
积为 cm 2．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD 的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为 ．
三、(17题6分，18题、19题各8分，共22分)
17．（6分）若＝，求的值．
18．（8分）解方程：x2﹣5x+1＝0．
19．（8分）如图，
分）如图，点点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE＝AF，分别以点E，F为圆心，
为圆心，以以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．
（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
（2）连接EF，若AE＝8厘米，∠A＝60°，求线段EF的长．
四、(20、21题各8分，共16分）
20．（8分）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求：“关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．
21．（8分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）． （1）求反比例函数的表达式；
（2）一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点M，连接OB，求△OBM的面积；
（3）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，请直接写出点P的坐标．
五、（本题0分）
22．（10分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD垂足为点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接NF．
（1）判断线段MN与线段BM的位置关系与数量关系，说明理由；
（2）如果CD＝5，求NF的长．
六、（本题10分）
23．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y（件）的取值范围．
七、（本题12分）
绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AE、BE、CD．
24．（12分）△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB
（1）如图①，点D与点A在直线BC的两侧，α＝60°时，的值是 ；直线AE与直线CD相交所成的锐角的度数是 度；
（2）如图②，点D与点A在直线BC两侧，α＝90°时，求的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角∠AMC 的度数；
（3）当α＝90°，点D在直线AB的上方，S△ABD＝S△ABC，请直接写出当点C、D、E在同一直线上时，的值．
八、(本题12分)
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与
点O在直线AC两侧．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；
（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．
2019-2020学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分) 1．【解答】解：设A、B之间的实际距离为x，
则1：n＝5：x，
解得x＝5n，
故选：C．
2．【解答】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形， 故选：B．
3．【解答】解：根据题意画图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有5种，
则记录的两个数字乘积是正数的概率是；
故选：D．
4．【解答】解：∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故选：A．
5．【解答】解：（x+6）2＝16，
两边直接开平方得：x+6＝±4，
则：x+6＝4，x+6＝﹣4，
故选：D．
6．【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；
∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；
∴添加，△ADE∽△ACB，故D正确；
故选：C．
7．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）＝18，
故选：C．
8．【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB ＝1，
∴∠BAC＝∠BAO＝45°，
∴OA＝OB＝，AC＝，
∴点C的坐标为（﹣，﹣），
∵点C在函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣×（﹣）＝1，
故选：A．
9．【解答】解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，
∴有80次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：4，
3÷＝12（个）．
故选：B．
10．【解答】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则b2＞4ac，故符合题意；
②由图可知，抛物线对称轴在y轴左侧，则a、b同号，即ab＞0．又抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以
abc＞0，故符合题意；
③由图可知，对称轴x＝﹣＝﹣1，则b＝2a．
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故不符合题意；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，
∴抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故符合题意；
综上所述，正确的结论是：①②④．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
12．【解答】解：如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．
故答案为：P．
13．【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
故答案为：3．
14．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
15．【解答】解：设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，
∴x：（78﹣x）＝4.52：32，
解得x＝54．
故答案为：54
16．【解答】解：当OE＝DE时，当△OED是等腰三角形，如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD
＝BC＝5，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝，
∵O是BD中点，
∴OD＝OB＝OA＝，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OE＝DE，
∴∠EOD＝∠ODE，
∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴＝，∴DO2＝DE•DA，
∴设AE＝x，
∴DE＝5﹣x，
∴（）2＝5（5﹣x），
∴x＝，
即：AE＝；
如图2，当DE＝OD＝时，当△OED是等腰三角形，
∴AE＝5﹣；
当OD＝OE＝时，当E与点A重合，不合题意舍去，
综上所述，当△OED是等腰三角形时，AE的长为或5﹣；
故答案为：或5﹣．
三、(17题6分，18题、19题各8分，共22分)
17．【解答】解：x＝2k，y＝3k，
＝＝﹣5；
故答案为：﹣5．
18．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，△＝b2﹣4ac＝25﹣4＝21， ∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
19．【解答】解：（1）菱形．
理由：∵根据题意得：AE＝AF＝ED＝DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF，
∵AE＝AF，∠A＝60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF＝AE＝8厘米．
四、(20、21题各8分，共16分）
20．【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中满足△＝16﹣4ac≥0的结果数有6， 则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率＝． 21．【解答】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1 ∴B（﹣1，﹣4）
将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由一次函数y＝x﹣3可知：M（3，0），
∴OM＝3，
∵B（﹣1，﹣4），
∴△OBM的面积：＝6'
（3）解得或，
∴A（4，1）
如图：
设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）
∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3
解得：m＝5或﹣2或1或2
∵点P不与点A重合，且A（4，1）
∴m≠4
又∵m＞0
∴m＝5或1或2
∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．
五、（本题0分）
22．【解答】证明：（1）MN＝BM，
理由如下：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，
∵BN平分∠ABE，
∴∠EBN＝∠ABN，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝（∠EAB+∠EBA）＝45°，且AM⊥BC， ∴∠MBN＝45°＝∠MNB，
∴MN＝BM；
（2）连接FM，
∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM＝AC，
∵AC＝BD，
∴FM＝BD，即，
由（1）知△BMN是等腰直角三角形，
∴MN＝BM＝BC，即，
∴，
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB＝90°，
∵FM∥AC，
∴∠ACB＝∠FMB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD，且，
∴△MFN∽△BDC，
∴，且CD＝5，
∴FN＝．
六、（本题10分）
23．【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：， 解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2
+1250， ∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：40≤x≤50，
∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
七、（本题12分）
24．【解答】解：（1）如图1，延长AE，CD交于点H，
∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE，
∴DE＝BD，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，且BE＝BD，AB＝BC，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠DCB＝∠BAE，
∴＝1，
∵∠BAC+∠ACB＝120°，
∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，
∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°
∴∠CAE+ACH＝120°，
∴∠AHB＝60°，
故答案为：1，60．
（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC，∠ABC＝45°，
∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴DE＝BD，∠BDE＝90°，
∴BE＝BD，∠DBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBD，且＝，
∴△ABE∽△CBD，
∴＝，∠BAE＝∠BCD，
∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，
∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，
∴∠AMC＝45°；
（3）若点D，点A在直线BC两侧，如图3，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，
∵S△ABD＝S△ABC，
∴点D在直线GH上，
∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，
∵点G，点H分别是AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∴∠DHB＝∠ABC＝45°，
∵点C、E、D三点共线，
∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，
∴DH＝CH＝BH，
∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，
∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，
∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝CE＝BD，
∴CD＝CE+DE＝（+1）BD，
∴＝＝2﹣；
若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，
∵S△ABD＝S△ABC，
∴点D在直线GH上，
∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，
∵点G，点H分别是AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∴∠DHC＝∠ABC＝45°，
∵点C、E、D三点共线，
∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，
∴DH＝CH＝BH，
∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，
∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，
∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，
∴BE＝CE＝BD，
∴CD＝CE﹣DE＝（﹣1）BD，
∴＝2+，
综上所述：的值为2﹣或2+．
八、(本题12分)
25．【解答】解：（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，
故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；
（2）当CD∥x轴时，则∠COA＝60°，
则OC＝OA tan60，故点C（0，），
即＝4a，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+；
（3）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH 于点G，
∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，则点E（，2a），AE＝CE＝ED，
∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF，
∴△CFE∽△EGD，∴，其中EF＝，CF＝2a，
解得：GE＝2a，DG＝，故点D（，2a+），
BD2＝（﹣4）2+（2a+）2＝16（a﹣）2+， 故当a＝时，BD最小，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+．。