幂级数laurent级数Fourier级数103

z0为 f(z)的本,性 z 为 奇 f(z)的 点可去
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况 或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式 必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。
二.留数
设z 0为 f (z) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0zz0

内 ，f (z) 的Laurent 展式为: f(z) Cn(zz0)n n
C1Rse[f(z),z0]
注 1 （ .： 3）中 m1取 ,即得 2）（ ；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算。这是因为表达式
f ( z ) ( z z 0 ) m ( C m C m 1 ( z z 0 ) C 1 ( z z 0 ) m 1 C 0 ( z z 0 ) )
42 2
z2 2 2
3[1(z2)]2 1 [1(z2)]2
4
z2
1 1 z2 4
R s [fe ( z ) 2 ,] C 1 1 .
将 f(z)在 0z2 内展 La成 u级 re数 nt
f(z)z12(3z 42)z12[32(14 z)] 2
(2)f (z)(zz2(1z)22s1i)n2z
解 奇:z点 0 ,z 1 ,z 1
limf(z)z0为极点，
z0
f(z)13 1!zz2((zz211))22 z0为 1级极点
z 1为2级极点
z 1为可去奇点
(3)f
(z)

1 z2(ez 1)
称 为孤立 ,f(z奇 )在点 无） 穷 处远 的点 性
设 f(z)在无z 穷 的 远 去 点 R 心 z 邻 内 域 解
Laurent 展式为:

f (z) Cnzn n
t 1
(t)f(1)在 t0 的z去0心 t1 邻 内域 解
t
R

Laurent 展式为: (t) Cntn
法3 将 f(z)在 0z22 内展 La成 u 级 re数 nt
f(z) 3(z2)4 3
4
[(z2)2]2(z2) [z(2)2]2 [z(2)2]2(z2)
4 3[1z12]2z 12[1z12]2
2
2
3[1z2(z2)2]2 1 [1z2(z2)2]2

1 z2
[34(12 zz
0zz0 zz0
zl izm 0 f(z)C0
重新 f(z 定 0)C 义 0,则 f(z)在 z0解析，且

f(z) C n(zz0)n, zz0 n0
（2） z 0为
f
(z)
的(
m
级)极点：若

Cn(z z0)n
中负幂项只有
n
有限项(m项)

0zz0, f(z) C n(zz0)n
在 z0解析(且 z0)0， m为一正,则 整称 z数 0
为 f(z)的 m级零点。
性质1 若 f(z)在 z0 解 ,则 析 z0 为 f(z)的 m 级 零
f( n ) ( z 0 ) 0( n 0 , 1 , ,m 1 ),f( m ) ( z 0 ) 0 .
性质2 z0为 f(z)的 m 级极 z点 0为 f1 (z)的 m 级零
n m
C m (zz0) m C 1(zz0) 1 C 0 C 1(zz0)
f(z)(zz0)mg(z),其中
g(z)CmCm1(zz0)Cm2(zz0)2

Cn(zz0)n nm
在zz0 内解,析
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1)f(z)z2(si1 n)1
解
奇点 :z0,zk
z1 (k1,2,).
k
lk i mzk 0 z 0为非孤立奇点
limf
zzk
(z)

zk(k11,2,)为极点，
f(1 zk)0,(f1 (z))(szi2n z) zk 0 zk为 1级极
(4)f (z)zcos1 z
解 奇点 :z0
f(z)zco1s z
z[12 1!z12 4 1!z14 (( 21 n))n!z12n ]
z0为f (z)的本性奇点
以上讨论了当 z 0 为有限奇点时，孤立奇点的分类。
现讨论若 f (z) 在无穷远点的去心邻域内解析（这时
z 2 dz
z 2 dz )
2 i L1 z 2
L2
z2


(
3
z z

2
2
z 2

(3z 2 ) ) z 2 z0

0
法2 Re[sf(z),2]lim(z2)f(z) z2
lim3z21
z z2
2
或Res[
f
(z),2]

3z 2 [z2(z 2)]
Q (z0)0,Q (z0)0,则 Resf([z),z0]Q P((zz00)) (5 )Re f() sz ,[] Re f(1 zs )z 1 [2,0 ]
证明
(3)若z0为f(z)的m级极,则点 在z0的去心邻域内
f ( z ) C m ( z z 0 ) m C 1 ( z z 0 ) 1 C 0 C 1 ( z z 0 )
L为0 zz0 内包含 z0的任一条简单闭曲
对上式两边积分L 得f(z)dz2iC 1
称C1

1
2
i
L f (z)dz为f (z)在z0的留数，记
Res[ f (z),z0],即
Res[
f
(z),
z0]

1
2
i
L f (z)dzC1
无穷远点处的留数
设 f(z)在无z 穷 的 远 去 点 R 心 z 邻 内 域 L为Rz 内任一条逆时简 针单 方闭 向曲 的 则f(z)在处的留数定义为
zz0
limf(z)不存在且不 为
zz0
z0为本性 奇 数 A点 (有限或 ),存 无在 穷趋
z0的点 zn列 ,使ln 得 i m f(zn)A
定义2 若 f(z0)0,则z称 0为 f(z)的零点。
若 f(z)能表示 f(z)成 (zz0)m(z),其中 (z)

1 z2
[32(1 z 2
z2 4

z3 8
)]

1 z2
11 z z 24
R s [fe (z )0 ] , C 1 1 .
将 f(z)在 2z内 展 La成 u 级 re数 nt
f(z)z12(3z 42)z12[3z(14 2)] z
Cm 0
( z z 0 ) m f( z ) C m C 1 ( z z 0 ) m 1 C 0 ( z z 0 ) m , 于是
(m11)!zl iz0m ddm m z11[z(z0)mf(z)]
(m11)!zl iz0m (m1)C !1m 2C0(zz0)(m1) 3C1(zz0)2
根据Laurent级数的形式分类：
设z 0为 f (z) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0zz0

内 ，f (z) 的Laurent 展式为: f(z) Cn(zz0)n n

（1）z 0为 f (z) 的可去奇点：若 Cn(z z0)n中无负幂项 n
n 0 C n(zz0)n fC (0 z)
第3节 解析函数的孤立奇点与留数
留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数 揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类
定义1 若f (z) 在z 0 不解析，但在z 0 的某一去心邻域 0zz0 内解析，则称 z 0是 f (z) 的孤立奇点。
奇点非孤孤立立奇奇点点
孤立奇点可按以下两种方式分类：
解 z 0为z2的2级零点 ,zk 2ki(k 0,1,)为
ez 1的1级零点 z 0为 1 z2(ez 1)的3级 f (z)
零点, zk
(k
1,)为 f
1 (z)

z2(ez
1)的1级零点
z0为 f(z)的 3级极 , 点
zk 2ki(k1, )为 f(z)的 1级极点
z 为本性奇点 f(z) Cnz（ n Rz )含无穷多个 n limf(z)不存在且不 为 z
例如
sin z111z2 z3 z2 3! 5!
z0为 f(z)的 2级极 ,z 点 为 f(z)的本性
s
11 1
in z
z
3!z3

limf(z)
zz0

（3）z 0为 f (z) 的本性奇点： 若 Cn(z z0)n 中负幂项有
n
无穷多项
limf (z)不存在也 不为
zz0
根据 zz0时f(z)的极 限分类：
可去奇点limf (z)存在且有界

极点
zz0
limf (z)
本性奇点
Rs[ef(z) ,]2 1iLf(z)d zC 1
其C 中 1为 f(z)在 Rz 内L 的 au展 ren式 t

Cnzn中 z1的系数
n
留数计算法：
(1)若z0为f(z)的可去,奇 则点 R[efs(z),z0]0
(2)若 z0为 f(z)的 1级极 ,则 点
z2
3z 2 2z(z 2) z2 z2 1 Re[sf (z),0] 1 lim[z2 f (z)]
(21)!z0
lim 4 1 z0 (z 2)2
R f( e ) z ] , s R [ f( 1 z e ) z 1 2 s ,0 ] [ R 1 3 e 2 2 2 ,s 0 z ] z 0 [
3 z 2 dz
2 i L z 2 ( z 2 )
1
3 z 2 dz
2 i L z 2 (z 2)
1
3z 2
3z 2

(
dz
dz )
2 i L1 z 2 ( z 2 )
L2 z 2 ( z 2 )
3z 2
3z 2
1 (
的系数 Cm,Cm1,中可能有一个或几个为零而已，
这不影响证明结果。
例2 求下列函数的奇点并计算留数：
3z2 (1)f (z)z2(z2) 解 z0为 2级极 ,z 点 2为 1级极 ,z 点 为可去
法1
Res[ f (z),2] 1
2 i
L z23(zz22)dz
m1 R s [fe (z)z 0 ,] z l i z0 (m z z 0 )f(z)
(3)若 z0为 f(z)的 m级极 ,则 点
R s[fe (z)z,0](m 1 1 )z l !iz0d m d m m 1 1 z(z z0)m f(z)
(4)设 f(z)Q P((zz)),P(z)及 Q (z)在 z0解析P(， z0)0 且 ,
3z 2
1
2 i
L
z2 z2
dz
3z 2 z2
z2
1
Re[sf (z),0] 1
3z2 dz
2 i L z2(z2)
3z2

1
2
i
L
z2 z2
dz
1 (3z2) (21)! z2
z0
1
Res [ f ( z ), ] 1
n
规定t： 0为 当 (t)的可去 ,m级 奇极 点 ,本 点 性奇
称 z为 f(z)的可去 ,m级 奇极 点 ,本 点 性奇
z 为可去奇点 f(z) Cnz（ n Rz )不含正 n limf (z)存在且有界 z
z 为极点 f(z) Cnz（ n Rz )只含有限个 n limf(z) z