高中数学(入门答疑+思维启迪+状元随笔)1.1.3 集合的基本运算第2课时同步课堂讲义课件 新人教A
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第四页，共33页。
补集 1．全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ___所__有__(s_u_ǒ_y_ǒ_u，)元那素么就称这个集合为全集，通常 记作__∪_____.
第五页，共33页。
2．补集
第六页，共33页。
全集与补集的关系 (1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题 中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集 而言．如我们在整数范围内研究问题，则 Z 为全 集，而当问题扩展到实数集时，则 R 为全集． (2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的 集合在同一个全集中的补集也不同． (3)符号∁UA 包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
第十一页，共33页。
补集的简单(jiǎndān)运算
(1)设 U＝{x|－5≤x<－2 或 2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2 －2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________， ∁UB＝________； (2)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|－3≤x≤2}，则(∁UA)∩B＝________，A∩∁UB ＝________.
第二页，共33页。
[问题 1] 在上述各组集合中，集合 U，A，B 三者 之间有哪些关系？ [提示] (1)A⊆U，B⊆U (2)集合 B(A)就是集合 U 中除去集合 A(B)之外． [问题 2] 你会用 Venn 图表示这些集合的关系 吗？ [提示]
第三页，共33页。
1．了解全集的含义及其符号表示．(易错点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定 子集的补集．(重点、难点(nádiǎn)) 3．熟练掌握集合的交、并、补运算．(重点)
第十页，共33页。
4．已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∁UB＝{1,4,6}，求集合 B. 解析： 方法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 方法二：借助 Venn 图，如图所示，由图可知 B＝ {2,3,5,7}．
第十六页，共33页。
1．(1)设全集 S＝{1,2,3,4}，且 A＝{x∈S|x2－5x＋ m＝0}，若∁SA＝{2,3}，则 m＝________. (2)设全集 U＝R，集合 A＝{x|x<2 或 x>3}，集合 B ＝{x|x<－2 或 x≥4}，则∁RA＝________，∁RB＝ ________. (3)设 U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<1 或 x>3}， 则 a＝________，b＝________.
第二十七页，共33页。
第二十八页，共33页。
(1)如何求不等式解集的补集？ ①将不等式的解集在数轴上标出；
②取数轴上剩余部分即为补集．
(2)求不等式解集的补集时需注意什么问题？ ①实点变虚点、虚点变实点．如 A＝{x|－1≤x＜5}， 则∁RA＝{x|x＜－1，或 x≥5}． ②通过改变原不等式的不等号方向取补集时，要防
第二十五页，共33页。
(2)∵U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}， 由题意，利用 Venn 图如图所示
∴集合 A＝{3,5,11,13}， B＝{7,11,13,19}．
第二十六页，共33页。
补集思想的应用
设全集(quánjí)U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝ {x|－2≤x≤1}，若M ∁UP，求实数a的取值范围． [思路点拨] 先求出集合P，利用真子集时应讨论 (tǎolùn)M＝∅，M≠∅两种情况，此为本题的易错点 ，是解题的关键．
第三十三页，共33页。
第十二页，共33页。
[思路点拨] (1)先确定集合 U、集合 A 的元素， 再依据补集定义求解． (2)利用数轴，分别表示出全集 U 及集合 A，B， 先求出∁UA 及∁UB，然后求解．
第十三页，共33页。
(1)方法一：在集合 U 中， ∵x∈Z，则 x 的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 方法二：可用 Venn 图表示
＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )
A．∅
B．{4}
C．{1,5}
D．{2,5}
解析： ∵∁UA＝{2,4}，∁UB＝{1,3}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝∅，故选 A.
答案(dáàn)：
A
第九页，共33页。
3．全集 U＝{x|0<x<10}，A＝{x|2<x<5}，则∁UA ＝________. 解析： 数轴法和 Venn 图(图示法)． 答案： {x|0<x≤2 或 5≤x<10}
第三十二页，共33页。
【错因】 本题解答错误在于忽略了集合 A 的元 素|2a－1|是由 a 确立的，事实上，当 a＝2 时，|2a －1|＝3，A＝{2,3}，符合题意，而当 a＝－4 时， A＝{9,2}，不是 U 的子集． 【正解】 因为∁UA＝{5}，则 5∈U 且 5∉A，且|2a －1|＝3. 解得 a＝2，即 a 的取值是 2.也可以采用错解中的 步骤，最后加上错因中的验证一步.
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
第十四页，共33页。
(2)如图所示，
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3 或 2<x≤4}． (∁UA)∪B＝{x|x≤2 或 3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．
第2课时(kèshí) 补集及综合 应用
第一页，共33页。
观察下列各组集合： (1)U ＝ {1,2,3,4 ， … ， 10} ， A ＝ {1,3,5,7,9} ， B ＝ {2,4,6,8,10}． (2)U＝{x|0<x<3}，A＝{x|0<x<1}，B＝{x|1≤x<3}． (3)U＝{高一年级的同学}，A＝{高一年级参加军训 的同学}，B＝{高一年级没有参加军训的同学}．
＝{x|－2＜x
∴A∩B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|x＜3}．
第二十二页，共33页。
(2)由(1)知 A∩B＝{x|－2＜x＜2}，如图所示． ∴∁U(A∩B)＝{x|x≥2 或 x≤－2}．
第二十三页，共33页。
求集合交、并、补运算(yùn suàn) 的方法
第二十四页，共33页。
2．(1)设全集 U＝R，A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|3x－7>1 －x}，求(∁UA)∪B，(∁UA)∩(∁UB)． (2)设全集 U＝{x|x 是小于等于 20 的素数}，A∩(∁UB) ＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,19}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}， 求集合 A，B. 解析： (1)由 3x－7>1－x 得 x>2， ∴B＝{x|x>2}． ∁UA＝{x|x<1 或 x≥3}， (∁UA)∪B＝{x|x<1 或 x>2}， ∁UB＝{x|x≤2}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<1 或 x≥3}∩{x|x≤2}＝{x|x<1}．
答案： (1){－5，－4,3,4} {－5，－4,5} (2){x|x≤2 或 3≤x≤4} {x|2<x<3}
第十五页，共33页。
在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而 利用 A∪∁UA＝U 求全集 U 是利用定义解题的常 规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集 定义及补集的性质来解题．
第十七页，共33页。
解析： (1)∵S＝{1,2,3,4}，∁SA＝{2,3}，∴A＝{1,4}， 即 1,4 是方程 x2－5x＋m＝0 的两根，由根与系数 的关系可得：m＝1×4＝4. (2)如图所示
∁RA＝{x|2≤x≤3}
∁RB＝{x|－2≤x<4}．
第十八页，共33页。
(3)∵A＝{x|a≤x≤b}， ∴∁UA＝{x|x<a 或 x>b}， 又∁UA＝{x|x<1 或 x>3}，∴a＝1，b＝3. 答案： (1)4 (2){x|2≤x≤3} {x|－2≤x<4} (3)1 3
第十九页，共33页。
集合(jíhé)交、并、补的综合运算
已知全集 U＝R，集合 A＝x33－x＋x＞6＞0，0 合 B＝{m|3＞2m－1}， 求：(1)A∩B，A∪B； (2)∁U(A∩B)．
，集
第二十页，共33页。
[思路(sīlù)点拨]
第二十一页，共33页。
解析： (1)∵A＝x33－x＋x＞6＞0，0 ＜3}， B＝{m|3＞2m－1}＝{m|m＜2}． 用数轴表示集合 A，B，如图．
第七页，共33页。
1．设 U＝R，M＝{x|x>2 或 x<0}，则∁UM＝( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|0<x<2}
C．{x|x<0 或 x>2} D．{x|x≤0 或 x≥2}
解析： 数轴表示为
∴∁UM＝{x|0≤x≤2}． 答案(dáàn)： A
第八页，共33页。
2．(2012·济宁高一检测)设全集 U＝{1,2,3,4,5}，A
止漏解．如
A＝x1x＜0
，∁RA≠x1x≥0
＝{x|x
＞0}，应先求出 A＝{x|x＜0}，再求∁RA＝{x|x≥0}.
第二十九页，共33页。
3．若集合 A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素， 求实数 a 的取值范围．
解析： 假设集合 A 中含有 2 个元素，即 ax2＋3x＋2 ＝0 有两个不相等的实数根，
而aΔ≠＝09－8a>0 ，
解得 a<98且 a≠0.
则 a 的取值范围为aa<98
且a≠0.
第三十页，共33页。
在全集 U＝R 中，集合a|a<89且a≠0的补集为
a|a≥89或a＝0
.
∴满足题意的实数 a 的取值范围是
aa≥98
或a＝0.
第三十一页，共33页。
◎设全集 U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， ∁UA＝A＝{5}，所以 5∈U 且 5∉A， 所以 a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，解得 a＝2 或 a＝－4，即实数 a 的值是 2 或－4.
补集 1．全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ___所__有__(s_u_ǒ_y_ǒ_u，)元那素么就称这个集合为全集，通常 记作__∪_____.
第五页，共33页。
2．补集
第六页，共33页。
全集与补集的关系 (1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题 中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集 而言．如我们在整数范围内研究问题，则 Z 为全 集，而当问题扩展到实数集时，则 R 为全集． (2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的 集合在同一个全集中的补集也不同． (3)符号∁UA 包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
第十一页，共33页。
补集的简单(jiǎndān)运算
(1)设 U＝{x|－5≤x<－2 或 2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2 －2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________， ∁UB＝________； (2)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|－3≤x≤2}，则(∁UA)∩B＝________，A∩∁UB ＝________.
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[问题 1] 在上述各组集合中，集合 U，A，B 三者 之间有哪些关系？ [提示] (1)A⊆U，B⊆U (2)集合 B(A)就是集合 U 中除去集合 A(B)之外． [问题 2] 你会用 Venn 图表示这些集合的关系 吗？ [提示]
第三页，共33页。
1．了解全集的含义及其符号表示．(易错点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定 子集的补集．(重点、难点(nádiǎn)) 3．熟练掌握集合的交、并、补运算．(重点)
第十页，共33页。
4．已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∁UB＝{1,4,6}，求集合 B. 解析： 方法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 方法二：借助 Venn 图，如图所示，由图可知 B＝ {2,3,5,7}．
第十六页，共33页。
1．(1)设全集 S＝{1,2,3,4}，且 A＝{x∈S|x2－5x＋ m＝0}，若∁SA＝{2,3}，则 m＝________. (2)设全集 U＝R，集合 A＝{x|x<2 或 x>3}，集合 B ＝{x|x<－2 或 x≥4}，则∁RA＝________，∁RB＝ ________. (3)设 U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<1 或 x>3}， 则 a＝________，b＝________.
第二十七页，共33页。
第二十八页，共33页。
(1)如何求不等式解集的补集？ ①将不等式的解集在数轴上标出；
②取数轴上剩余部分即为补集．
(2)求不等式解集的补集时需注意什么问题？ ①实点变虚点、虚点变实点．如 A＝{x|－1≤x＜5}， 则∁RA＝{x|x＜－1，或 x≥5}． ②通过改变原不等式的不等号方向取补集时，要防
第二十五页，共33页。
(2)∵U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}， 由题意，利用 Venn 图如图所示
∴集合 A＝{3,5,11,13}， B＝{7,11,13,19}．
第二十六页，共33页。
补集思想的应用
设全集(quánjí)U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝ {x|－2≤x≤1}，若M ∁UP，求实数a的取值范围． [思路点拨] 先求出集合P，利用真子集时应讨论 (tǎolùn)M＝∅，M≠∅两种情况，此为本题的易错点 ，是解题的关键．
第三十三页，共33页。
第十二页，共33页。
[思路点拨] (1)先确定集合 U、集合 A 的元素， 再依据补集定义求解． (2)利用数轴，分别表示出全集 U 及集合 A，B， 先求出∁UA 及∁UB，然后求解．
第十三页，共33页。
(1)方法一：在集合 U 中， ∵x∈Z，则 x 的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 方法二：可用 Venn 图表示
＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )
A．∅
B．{4}
C．{1,5}
D．{2,5}
解析： ∵∁UA＝{2,4}，∁UB＝{1,3}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝∅，故选 A.
答案(dáàn)：
A
第九页，共33页。
3．全集 U＝{x|0<x<10}，A＝{x|2<x<5}，则∁UA ＝________. 解析： 数轴法和 Venn 图(图示法)． 答案： {x|0<x≤2 或 5≤x<10}
第三十二页，共33页。
【错因】 本题解答错误在于忽略了集合 A 的元 素|2a－1|是由 a 确立的，事实上，当 a＝2 时，|2a －1|＝3，A＝{2,3}，符合题意，而当 a＝－4 时， A＝{9,2}，不是 U 的子集． 【正解】 因为∁UA＝{5}，则 5∈U 且 5∉A，且|2a －1|＝3. 解得 a＝2，即 a 的取值是 2.也可以采用错解中的 步骤，最后加上错因中的验证一步.
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
第十四页，共33页。
(2)如图所示，
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3 或 2<x≤4}． (∁UA)∪B＝{x|x≤2 或 3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．
第2课时(kèshí) 补集及综合 应用
第一页，共33页。
观察下列各组集合： (1)U ＝ {1,2,3,4 ， … ， 10} ， A ＝ {1,3,5,7,9} ， B ＝ {2,4,6,8,10}． (2)U＝{x|0<x<3}，A＝{x|0<x<1}，B＝{x|1≤x<3}． (3)U＝{高一年级的同学}，A＝{高一年级参加军训 的同学}，B＝{高一年级没有参加军训的同学}．
＝{x|－2＜x
∴A∩B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|x＜3}．
第二十二页，共33页。
(2)由(1)知 A∩B＝{x|－2＜x＜2}，如图所示． ∴∁U(A∩B)＝{x|x≥2 或 x≤－2}．
第二十三页，共33页。
求集合交、并、补运算(yùn suàn) 的方法
第二十四页，共33页。
2．(1)设全集 U＝R，A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|3x－7>1 －x}，求(∁UA)∪B，(∁UA)∩(∁UB)． (2)设全集 U＝{x|x 是小于等于 20 的素数}，A∩(∁UB) ＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,19}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}， 求集合 A，B. 解析： (1)由 3x－7>1－x 得 x>2， ∴B＝{x|x>2}． ∁UA＝{x|x<1 或 x≥3}， (∁UA)∪B＝{x|x<1 或 x>2}， ∁UB＝{x|x≤2}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<1 或 x≥3}∩{x|x≤2}＝{x|x<1}．
答案： (1){－5，－4,3,4} {－5，－4,5} (2){x|x≤2 或 3≤x≤4} {x|2<x<3}
第十五页，共33页。
在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而 利用 A∪∁UA＝U 求全集 U 是利用定义解题的常 规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集 定义及补集的性质来解题．
第十七页，共33页。
解析： (1)∵S＝{1,2,3,4}，∁SA＝{2,3}，∴A＝{1,4}， 即 1,4 是方程 x2－5x＋m＝0 的两根，由根与系数 的关系可得：m＝1×4＝4. (2)如图所示
∁RA＝{x|2≤x≤3}
∁RB＝{x|－2≤x<4}．
第十八页，共33页。
(3)∵A＝{x|a≤x≤b}， ∴∁UA＝{x|x<a 或 x>b}， 又∁UA＝{x|x<1 或 x>3}，∴a＝1，b＝3. 答案： (1)4 (2){x|2≤x≤3} {x|－2≤x<4} (3)1 3
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集合(jíhé)交、并、补的综合运算
已知全集 U＝R，集合 A＝x33－x＋x＞6＞0，0 合 B＝{m|3＞2m－1}， 求：(1)A∩B，A∪B； (2)∁U(A∩B)．
，集
第二十页，共33页。
[思路(sīlù)点拨]
第二十一页，共33页。
解析： (1)∵A＝x33－x＋x＞6＞0，0 ＜3}， B＝{m|3＞2m－1}＝{m|m＜2}． 用数轴表示集合 A，B，如图．
第七页，共33页。
1．设 U＝R，M＝{x|x>2 或 x<0}，则∁UM＝( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|0<x<2}
C．{x|x<0 或 x>2} D．{x|x≤0 或 x≥2}
解析： 数轴表示为
∴∁UM＝{x|0≤x≤2}． 答案(dáàn)： A
第八页，共33页。
2．(2012·济宁高一检测)设全集 U＝{1,2,3,4,5}，A
止漏解．如
A＝x1x＜0
，∁RA≠x1x≥0
＝{x|x
＞0}，应先求出 A＝{x|x＜0}，再求∁RA＝{x|x≥0}.
第二十九页，共33页。
3．若集合 A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素， 求实数 a 的取值范围．
解析： 假设集合 A 中含有 2 个元素，即 ax2＋3x＋2 ＝0 有两个不相等的实数根，
而aΔ≠＝09－8a>0 ，
解得 a<98且 a≠0.
则 a 的取值范围为aa<98
且a≠0.
第三十页，共33页。
在全集 U＝R 中，集合a|a<89且a≠0的补集为
a|a≥89或a＝0
.
∴满足题意的实数 a 的取值范围是
aa≥98
或a＝0.
第三十一页，共33页。
◎设全集 U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， ∁UA＝A＝{5}，所以 5∈U 且 5∉A， 所以 a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，解得 a＝2 或 a＝－4，即实数 a 的值是 2 或－4.