《电磁场与电磁波》课后习题解答(第二章)
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0
H ( x, z ) ey i 2
1 i0
2
Fra Baidu bibliotek
E
2
ey Ex Ez i0 x z
i z
(15 ) ) cos(15 x)e 2 0 0
2 2 9 2
(2)
比较（1）式何（2）式，有
4 107 (15 ) ) 0 0 (6 10 ) 400 2 9 36 10
c 2汛 B =
J ¶E ¶E 及位移电流密度 J d = e0 + e0 ¶ t ¶t
¶E = e0c 2汛 B ¶t
2
得到 J d = e0
= e0 c (- ex =-
抖 B B + ez ) 抖 z x
其中 e0 =
1 ? 10- 9 F/m 36p
1 创 10- 9 (3创 108 )2 33创 10- 12 10创 sin (3 109 t - 10 z) ex A/m2 36p
z ) c
H 1 1 E z E ez ey E0 cos (t ) t 0 0 z 0 c c
两边对 t 积分，若不考虑静态场，则有 H ey
z E0 sin (t ) 0 c c
因此
H ez
H z E ex 0 cos (t ) 0 z c z
E0 z cos( ) sin(t k x x) 0 d d kE z ez x 0 sin( ) cos(t k x x) ( A / m) 0 d
ey
（2）z=0 处导体表面的电流密度为
J s ez H
z 0
E0 sin(t k x x) 0 d
【习题 2.3】
证明： 电偶极距 pe
= qR 其方向为从负电荷指向正电荷。
在电场中旋转一个电偶极距，所需要的能量为
-qE R=-E (qR)=-E pe = - pe E
得证。
【习题 2.4】
解：根据 2.1 题的结论可求出 H . cl
的电偶极矩
Pe 1.6 1019 1.3 1010 2.11029 c m
- 5
= - 26.26创 10 （2） E =
sin (3 109 t - 10 z) ex
A/m2
1 e0
J dt = 蝌
d
1 e0
- 26.26创 10- 5 sin(3 109 t - 10 z )ex dt
= 9.9创 10- 3 cos(3 109 t - 10 z)ex + C
t = 0 ， z = 1.1m 时， E = 0 可以得到 C = 0
2
所以
400 2 225 2 41.56(rad / m)
所以，相应的磁场强度为：
E ( x, z, t ) ex 496 cos(15 x) sin(6 109 t 41.56 z ) ey 565.5sin(15 x) cos(6 109 t 41.56 z )V / m
第二章习题解答
【习题 2.1】
解：电偶极矩pe =qR. 其中R =1.3´ 10- 10 m q = e = 1.6? 10- 19 C 可得电偶极矩pe的大小pe = 2.08醋 10- 29 m C 其方向为从负电荷指向正电荷，即从氯离子指向氢离子。
【习题 2.2】解 1
解：由例 2.2 得，电偶极子所产生的电场为
得证。
【习题 2.6】
解： （1）在无源的自由空间， J 0 ,若 E ex E0 sin t 则有 H
D E 0 ex 0 cos t t t
而
H 1 1 E (ex 0 sin t ) 0 t 0 0
前一式表明磁场 H 随时间变化，而后一式则得出磁场 H 不随时间变化，两者是矛盾的。所 以电场 E ex E0 sin t 不满足麦克斯韦方程组。 （2）若 E ex E0 sin （t－ 因为
2
由上题得 ( pe qR0 2.11029 cm) 因此，当 0 或 时
E 有最大值， E
qR0 2 qR0 3.7 105 V 3 3 M 4 0 R 4 0 R 2
（2） E
q R 1 ( ) 1.4 107 V 2 M R R 4 0
( A / m)
z=d 处导体表面的电流密度为
J s (ez ) H
【习题 2.14】
z d
ey
E0 sin(t k x x) 0 d
9 2 6 R 2 )( Pe R) 2 Pe 4 R R 3 2 ( Pe R)2 Pe 2 R (
2
其中 P e R qR0 R qR0 R cos ， （ 是 R0 和 R 之间的夹角） 易见，当 cos 1 ，即 0 时， m 可取最大值
2
m2 max
【习题 2.12】
（1）解：将 E 表示为复数形式:
E (r , z ) er
100 i 0.5 z e r
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
H ( x, z ) e
1 i0
E
1 i0
e
Er z
0.398 i 0.5 z e ( A / m) r
H (r , z, t ) e 5 4 r
所以
E = 9.9创 10- 3 cos(3 109 t - 10 z )ex
\ t = 1ms ， z = 9km 处的电场的强度为
E = 9.9创 10- 3 cos(3 109 创 1 10- 3 - 10创 9 103 )ex
= 7.40? 10- 3 ex V/m＝ = 7.40ex mV/m
( A / m2 )
所以，在 0
z 1 中的位移电流
1 0
id J d ds J d er 2 rdz 0.55sin(108 t 0.25)
s
( A)
【习题 2.13】
解： （1）将 E 表示为复数形式:
E ( x, z ) ey E0 sin(
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
距离自由电子处的电场
1.6 1019 E V m1 1.4 107 V m1 2 12 10 2 4 0 R 4 3.14 8.9 10 (100 10 ) e
故 距离电偶极子处的电场最大值为 3.7 10 V m
5 1
距离自由电子处的电场为 1.4 10 V m
因为最大能量为 P e E P e E cos 取 cos 1 则 P e E P e E 则 E 取得最大值时，可求出最大能量
5 又 2.2 题所求出结果，得 E max 3.7 10 v
m
所以最大能量 P e E max 2.110
29
3.7 105 7.8 1024 J
【习题 2.5】
证明：由麦克斯韦方程 H J
D J Jd t
两边取散度得 ( H ) ( J J d ) 0 （旋度的散度恒等于 0） 将上式对任意体积 V 积分，并利用散度定理，即得
s
( J J d )dV
s
( J J d )dS 0
d
z )e ikx x
H ( x, z )
1 i0
E
1 i0
(ex
E y z
ez
E y x
)
0
E0
[ex i
d
cos(
z
d
) ez k x sin(
z
d
)]e ik x x ( A / m)
而磁场的瞬时表达式为
H ( x, z, t ) ex
r a
而磁场的瞬时表达式为
cos(108 t 0.5 z )
( A / m)
（2）内导体表面的电流密度
Js n H
0
r a
er H
ez 397.9cos(108 t 0.5z )
( A / m)
（3） J d
E 5 er sin(108 t 0.5z ) t 18 r
则 m =2 Pe
3 2 2 R Pe Pe 2 4 Pe 2 R2
代入②式得
E
max
4 0 R3
mmax
Pe 2 0 R3
将习题 2.1 中的结论
Pe =2.08 1029 c m 代入得
E
max
2.08 1029 V m1 3.7 105V m1 2 3.14 8.9 1012 (100 1010 )3
E
3( Pe R) R Pe 3] 4 0 R5 R 1 [
( R0 R)
……………………①
其中 P e qR0
，R0 方向从负电荷指向正电
荷， R 是从电偶极子指向电场中任一点的矢 量，起点在正负电荷连线的中点。 （如图） 本题
R0 1.3 1010 m
满足
R 100 1010 m
( P41 )
由向量减法的三角形法则及余弦定理得：
E
1 4 0
3qR0 cos 3qR0 3qR0 cos 3qR0 cos 3 2 3 R R3 R3 R
2
2
=
2 qR0 3 3 cos 1 4 0 R
在直流电路中， J=0
【习题 2.11】
解：将 H 表示为复数形式:
H ( x, z ) ey i 2cos(15 x)ei z
由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得：
（1）
H y H y 1 E ( x, z ) H ez ex i 0 i 0 z x 1 ex 2 cos(15 x) ez i30 sin(15 x) e i z i 1
．
R0 R
1
将①式整理： E
3 ( Pe R) R Pe ] 4 0 R R 2
3
[
令
m k ( Pe R) R P
E m 4 0 R3
（k
3 ） R2
则
…………………………②
欲求 E 的最大值，求出 m 最大值即可．
m2 [k ( Pe R) R Pe ]2 k 2 ( Pe R)2 R2 Pe 2 2k ( Pe R)( Pe R) (k 2 R2 2k )( Pe R)2 Pe 2
【习题 2.9】
解答： H J 表明，电流是磁场的旋度源，所以，通电导体周围存在磁场； 表明，电荷是电场的散度源，所以，电荷周围存在电场；
V D
【习题 2.10】 解： J= 是电流连续性原理 的微分形式；其积分形式为 t q J dS = t I 即电荷守恒定律
J d 8.854 1012
1 117.1 3.22cos[117.1 (3.22t Z )] 50
A / m2
ex 6.68 10 11x cos[117.1 (3.22t Z )]
【习题 2.8】
解： （1）因为在自由空间中，全电流密度 J =0。所以由麦克斯韦第四方程
7
1
【习题 2.2】解 2
解：设矢量 R0 e 的方向从电荷 CL 指向电荷 H
R n 是从由 CL H 构成的电偶极子指向电场中的任一点的矢量，起点在正负电荷连
线的中点，且 R0 〈 〈R. （ e , n 为单位矢量， 是 e , n 的夹角）
（1） E
3qR0 cos qR n 30 e] 3 4 0 R R 1 [
可见，电场 E 和磁场 H 可以满足麦克斯韦方程组中的两个旋度方程。很容易证明他们也满 足两个散度方程。
【习题 2.7】
解: 由传导电流的电流密度 J c 与电场强度 E 关系
J c = E 知:
J E c
而
D E Jd 0 t t
即
J c ex E sin[117.1 (3.22t Z )] 50
H ( x, z ) ey i 2
1 i0
2
Fra Baidu bibliotek
E
2
ey Ex Ez i0 x z
i z
(15 ) ) cos(15 x)e 2 0 0
2 2 9 2
(2)
比较（1）式何（2）式，有
4 107 (15 ) ) 0 0 (6 10 ) 400 2 9 36 10
c 2汛 B =
J ¶E ¶E 及位移电流密度 J d = e0 + e0 ¶ t ¶t
¶E = e0c 2汛 B ¶t
2
得到 J d = e0
= e0 c (- ex =-
抖 B B + ez ) 抖 z x
其中 e0 =
1 ? 10- 9 F/m 36p
1 创 10- 9 (3创 108 )2 33创 10- 12 10创 sin (3 109 t - 10 z) ex A/m2 36p
z ) c
H 1 1 E z E ez ey E0 cos (t ) t 0 0 z 0 c c
两边对 t 积分，若不考虑静态场，则有 H ey
z E0 sin (t ) 0 c c
因此
H ez
H z E ex 0 cos (t ) 0 z c z
E0 z cos( ) sin(t k x x) 0 d d kE z ez x 0 sin( ) cos(t k x x) ( A / m) 0 d
ey
（2）z=0 处导体表面的电流密度为
J s ez H
z 0
E0 sin(t k x x) 0 d
【习题 2.3】
证明： 电偶极距 pe
= qR 其方向为从负电荷指向正电荷。
在电场中旋转一个电偶极距，所需要的能量为
-qE R=-E (qR)=-E pe = - pe E
得证。
【习题 2.4】
解：根据 2.1 题的结论可求出 H . cl
的电偶极矩
Pe 1.6 1019 1.3 1010 2.11029 c m
- 5
= - 26.26创 10 （2） E =
sin (3 109 t - 10 z) ex
A/m2
1 e0
J dt = 蝌
d
1 e0
- 26.26创 10- 5 sin(3 109 t - 10 z )ex dt
= 9.9创 10- 3 cos(3 109 t - 10 z)ex + C
t = 0 ， z = 1.1m 时， E = 0 可以得到 C = 0
2
所以
400 2 225 2 41.56(rad / m)
所以，相应的磁场强度为：
E ( x, z, t ) ex 496 cos(15 x) sin(6 109 t 41.56 z ) ey 565.5sin(15 x) cos(6 109 t 41.56 z )V / m
第二章习题解答
【习题 2.1】
解：电偶极矩pe =qR. 其中R =1.3´ 10- 10 m q = e = 1.6? 10- 19 C 可得电偶极矩pe的大小pe = 2.08醋 10- 29 m C 其方向为从负电荷指向正电荷，即从氯离子指向氢离子。
【习题 2.2】解 1
解：由例 2.2 得，电偶极子所产生的电场为
得证。
【习题 2.6】
解： （1）在无源的自由空间， J 0 ,若 E ex E0 sin t 则有 H
D E 0 ex 0 cos t t t
而
H 1 1 E (ex 0 sin t ) 0 t 0 0
前一式表明磁场 H 随时间变化，而后一式则得出磁场 H 不随时间变化，两者是矛盾的。所 以电场 E ex E0 sin t 不满足麦克斯韦方程组。 （2）若 E ex E0 sin （t－ 因为
2
由上题得 ( pe qR0 2.11029 cm) 因此，当 0 或 时
E 有最大值， E
qR0 2 qR0 3.7 105 V 3 3 M 4 0 R 4 0 R 2
（2） E
q R 1 ( ) 1.4 107 V 2 M R R 4 0
( A / m)
z=d 处导体表面的电流密度为
J s (ez ) H
【习题 2.14】
z d
ey
E0 sin(t k x x) 0 d
9 2 6 R 2 )( Pe R) 2 Pe 4 R R 3 2 ( Pe R)2 Pe 2 R (
2
其中 P e R qR0 R qR0 R cos ， （ 是 R0 和 R 之间的夹角） 易见，当 cos 1 ，即 0 时， m 可取最大值
2
m2 max
【习题 2.12】
（1）解：将 E 表示为复数形式:
E (r , z ) er
100 i 0.5 z e r
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
H ( x, z ) e
1 i0
E
1 i0
e
Er z
0.398 i 0.5 z e ( A / m) r
H (r , z, t ) e 5 4 r
所以
E = 9.9创 10- 3 cos(3 109 t - 10 z )ex
\ t = 1ms ， z = 9km 处的电场的强度为
E = 9.9创 10- 3 cos(3 109 创 1 10- 3 - 10创 9 103 )ex
= 7.40? 10- 3 ex V/m＝ = 7.40ex mV/m
( A / m2 )
所以，在 0
z 1 中的位移电流
1 0
id J d ds J d er 2 rdz 0.55sin(108 t 0.25)
s
( A)
【习题 2.13】
解： （1）将 E 表示为复数形式:
E ( x, z ) ey E0 sin(
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
距离自由电子处的电场
1.6 1019 E V m1 1.4 107 V m1 2 12 10 2 4 0 R 4 3.14 8.9 10 (100 10 ) e
故 距离电偶极子处的电场最大值为 3.7 10 V m
5 1
距离自由电子处的电场为 1.4 10 V m
因为最大能量为 P e E P e E cos 取 cos 1 则 P e E P e E 则 E 取得最大值时，可求出最大能量
5 又 2.2 题所求出结果，得 E max 3.7 10 v
m
所以最大能量 P e E max 2.110
29
3.7 105 7.8 1024 J
【习题 2.5】
证明：由麦克斯韦方程 H J
D J Jd t
两边取散度得 ( H ) ( J J d ) 0 （旋度的散度恒等于 0） 将上式对任意体积 V 积分，并利用散度定理，即得
s
( J J d )dV
s
( J J d )dS 0
d
z )e ikx x
H ( x, z )
1 i0
E
1 i0
(ex
E y z
ez
E y x
)
0
E0
[ex i
d
cos(
z
d
) ez k x sin(
z
d
)]e ik x x ( A / m)
而磁场的瞬时表达式为
H ( x, z, t ) ex
r a
而磁场的瞬时表达式为
cos(108 t 0.5 z )
( A / m)
（2）内导体表面的电流密度
Js n H
0
r a
er H
ez 397.9cos(108 t 0.5z )
( A / m)
（3） J d
E 5 er sin(108 t 0.5z ) t 18 r
则 m =2 Pe
3 2 2 R Pe Pe 2 4 Pe 2 R2
代入②式得
E
max
4 0 R3
mmax
Pe 2 0 R3
将习题 2.1 中的结论
Pe =2.08 1029 c m 代入得
E
max
2.08 1029 V m1 3.7 105V m1 2 3.14 8.9 1012 (100 1010 )3
E
3( Pe R) R Pe 3] 4 0 R5 R 1 [
( R0 R)
……………………①
其中 P e qR0
，R0 方向从负电荷指向正电
荷， R 是从电偶极子指向电场中任一点的矢 量，起点在正负电荷连线的中点。 （如图） 本题
R0 1.3 1010 m
满足
R 100 1010 m
( P41 )
由向量减法的三角形法则及余弦定理得：
E
1 4 0
3qR0 cos 3qR0 3qR0 cos 3qR0 cos 3 2 3 R R3 R3 R
2
2
=
2 qR0 3 3 cos 1 4 0 R
在直流电路中， J=0
【习题 2.11】
解：将 H 表示为复数形式:
H ( x, z ) ey i 2cos(15 x)ei z
由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得：
（1）
H y H y 1 E ( x, z ) H ez ex i 0 i 0 z x 1 ex 2 cos(15 x) ez i30 sin(15 x) e i z i 1
．
R0 R
1
将①式整理： E
3 ( Pe R) R Pe ] 4 0 R R 2
3
[
令
m k ( Pe R) R P
E m 4 0 R3
（k
3 ） R2
则
…………………………②
欲求 E 的最大值，求出 m 最大值即可．
m2 [k ( Pe R) R Pe ]2 k 2 ( Pe R)2 R2 Pe 2 2k ( Pe R)( Pe R) (k 2 R2 2k )( Pe R)2 Pe 2
【习题 2.9】
解答： H J 表明，电流是磁场的旋度源，所以，通电导体周围存在磁场； 表明，电荷是电场的散度源，所以，电荷周围存在电场；
V D
【习题 2.10】 解： J= 是电流连续性原理 的微分形式；其积分形式为 t q J dS = t I 即电荷守恒定律
J d 8.854 1012
1 117.1 3.22cos[117.1 (3.22t Z )] 50
A / m2
ex 6.68 10 11x cos[117.1 (3.22t Z )]
【习题 2.8】
解： （1）因为在自由空间中，全电流密度 J =0。所以由麦克斯韦第四方程
7
1
【习题 2.2】解 2
解：设矢量 R0 e 的方向从电荷 CL 指向电荷 H
R n 是从由 CL H 构成的电偶极子指向电场中的任一点的矢量，起点在正负电荷连
线的中点，且 R0 〈 〈R. （ e , n 为单位矢量， 是 e , n 的夹角）
（1） E
3qR0 cos qR n 30 e] 3 4 0 R R 1 [
可见，电场 E 和磁场 H 可以满足麦克斯韦方程组中的两个旋度方程。很容易证明他们也满 足两个散度方程。
【习题 2.7】
解: 由传导电流的电流密度 J c 与电场强度 E 关系
J c = E 知:
J E c
而
D E Jd 0 t t
即
J c ex E sin[117.1 (3.22t Z )] 50