湖北省阳新县英才高中 2010-2011学年度高一(下)第一次月考试卷数学(文科)

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姓名
考号
班级绝密★启用前
湖北省阳新县英才高中2010-2011学年度高一（下）第一次月
考试卷数学（文科）
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
★祝考试顺利★
一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.0
cos15
-的值为（）
B.
2.化简22
cos()sin()
44
ππ
αα
---得到（）
A. cos2α
- B. sin2α
- C. cos2α D. sin2α
3.对于等式sin3sin2sin
x x x
=+，下列说法中正确的是（）
A．对于任意x R
∈，等式都成立 B. 对于任意x R
∈，等式都不成立
C．存在无穷多个x R
∈使等式成立 D.等式只对有限个x R
∈成立
4.在ABC
∆中，00
45,60,1
B C c
===，则最短边的边长等于（）
A.
1
2
B.
2
C.
2
D.
3
5. 在ABC
∆中，
cos cos cos
a b c
A B C
==，则ABC
∆一定是（）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
6. 在ABC
∆中，0
80,100,30
a b A
===，则B的解的个数是（）
A.2个
B.1个
C.0个D不确定的
7.已知{}{}
,
n n
a b都是等比数列，那么（）
A.{},{}
n n n n
a b a b
+⋅都一定是等比数列
B. {}
n n
a b
+一定是等比数列，但{}
n n
a b⋅不一定是等比数列
C. {}
n n
a b
+不一定是等比数列，但{}
n n
a b⋅一定是等比数列
D. {},{}
n n n n
a b a b
+⋅都不一定是等比数列
8.等差数列{}n a的前m项和30，前2m项的和为100，则它的前3m的和为（）
A.130
B.170
C.210
D.260
9.在三角形ABC中，BC
BC,2
=边上的高为3，则BAC
∠的范围为（）
A.（0，
6
π
] B.(0,
4
π
] C. (0,
3
π
] D. (0,2
π
]
10.设S n为数列{}n a的前n项之和，若不等式
2
22
1
2
n
n
s
a a
n
λ
+≥对任何等差数列{}n a及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 ( )
A．0 B.
1
5
C.
1
2
D．1
二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11. 数列{}n a 中，115,3n n a a a +==+，那么这个数列的通项公式是 .
12.化简00sin(30)sin(30)
cos ααα
++-得__________.
13.已知13sin 5cos 9αβ+=，13cos 5sin 15αβ+=，那么sin()αβ+的值为 .
14. 在ABC ∆中，
已知0
150,30b c B ===，则边长a = . 15.“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{}n a ，则数到2 008时对应的指头是 ，数列{a n }的通项公式n a ＝ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).
湖北省阳新县 英才高中2010-2011学年度高一（下）第一次月考试
卷数学（文科）答题卷
一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11______________ 12___ ______ 13___ ______ 14____________________ 15___________________
三 解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）已知下列数列{}n
a 的前n 项和n n S n 322
+=，求它的通项公式n a .
17（本小题满分12分）已知45
sin ,(0,),cos 513
ααπβ=
∈=-,β是第三象限角,求cos()αβ-的值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
18. （本小题满分12分）求和：
111111111n n S =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个
．
19. （本小题满分12分）如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为
3
π
的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积 .
图1
20.（本小题满分13分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围； （II
）求函数2
()2sin 24f θθθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
π的最大值与最小值．
21.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*
∈N n ，点()n S n ,均
在函数()x
x f 2=的图像上.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记n n a b 2log =，求使
21
101111222866442<+++++n n b b b b b b b b 成立的n 的最大值.
湖北省阳新县英才高中2010-2011学年度高一（下）第一次月考试卷
数学（文科）参考答案
一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.B
2.D
3.C
4.D
5.D
6.A
7.C
8.C
9.C 10.B
二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在题中横线上．
11.32n + 12.1
13.
56
65
14.a =或 15．食指 4n －1 三 解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）
解析：当1=n 时，513122
11=⨯+⨯==S a ，
当2≥n 时，[]
)1(3)1(2)32(2
21-+--+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n .
当1=n 时，15114a ==+⨯，14+=∴n a n . 17. （本小题满分12分）
解析:①当α∈［
2π,π)时,且sin α=5
4,得cos α=53)54(1sin 122
-=--=--a ,
又由cos β=135-,β是第三象限角,得sin β=22
)135(1cos 1---=--β=13
12-.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
6533
)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-.
②当α∈(0,2π)时,且sin α=5
4,得cos α=53)54(1sin 122
=-=-a ,
又由cos β=13
5-,β是第三象限角,得sin β=.1312)135(1cos 122
-=---=--β
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.65
63
)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯
18. （本小题满分12分）
解析：∵a n ＝19
(10n
－1)，
∴S n ＝1＋11＋111＋…＋
＝19
[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n
－1)] ＝19[(10＋102＋ (10)
)－n ]＝19[10(10n －1)9－n ]＝10n ＋1
－9n －1081. 19. （本小题满分12分）
解析:在Rt△OBC 中,BC=cos α,BC=sin α,
在Rt△OAD 中,OA
DA
=tan60°=3，所以OA=33DA=33BC=33sin α.
所以AB=OB-OA=cos α3
3
-sin α.
设矩形ABCD 的面积为S ，则S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α3
3-sin 2
α
=21sin2α+63cos2α-63=3
1(23sin2α+21
cos2α)-63
=
3
1sin(2α+
6
π
)由于0<α<
3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π
时，S 最大=3
1-63=63.
因此,当α=
6
π
时,矩形ABCD 的面积最大，最大面积为63.
20. （本小题满分13分）
解析：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由
1
sin 32
bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得cos 01sin θ
θ≤
≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴．
（Ⅱ）2
π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭π1cos 222θθ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
(1sin 2)2θθ=+
πsin 2212sin 213θθθ⎛
⎫=+=-+ ⎪⎝
⎭．
ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭∴≤≤．
即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π
4
θ=时，min ()2f θ=．
21.（本小题满分14分） 解析：（Ⅰ）由题意得 2n
n S = ，则
112(2)
n n S n --=≥
所以
111222(2)
n n n n n n a S S n ---=-=-=≥
又112a S == 所以
1
1
22n n n a n -=⎧=⎨≥⎩2 （Ⅱ）因为
211log 12n n n b a n n =⎧==⎨
-≥⎩ 所以222
11111
()
(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+则 1111
++++
244668
222
111111(1)2335212111(1)221n n b b b b b b b b n n n +=-+-++--+=-+ 所以1110(1)22121n -<
+得10n < 所以使24
466822*********n n b b b b b b b b +++++<成立的n 的最大值为9.。