2020届全国百师联盟新高考原创精准预测考试(十六)理科数学

2020届全国百师联盟新高考原创精准预测考试（十六）
理科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷(选择题)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合{}{}{}31|,4,3,2,5,3,2,1,1<≤∈==-=x R x C B A ，则=B C A )( ( )
}4,3,2,1{.}
3,2,1{.}3,2{.}2{.D C B A -
2、已知为虚数单位，满足2
)1()1(i i z +=-,则复数所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3、已知等差数列
的前n 项和为,且
,,则
( )
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30
4、函数则
⎰
-2
2
)(dx x f 的值为( )
A.
B. 2-π
C.
D. 8
5、已知命题p ：函数)6
tan(π
+
-=x y 在定义域上为减函数,命题q ：在
中,若︒>30A ,
则，则下列命题为真命题的是
A.
B.
C.
D.
6、已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =.若
)3(),2(),1.5log (8.02g c g b g a ==-=，
则c b a ,,的大小关系为 （ ）
c b a A <<、 a b c B <<、 c a b C <<、 a c b D <<、
7、若实数x ,y 满足
,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )
A. B. C. D.
8、在边长为1的正方形ABCD 中,M 为BC 的中点,点E 在线段AB 上运动,则
的取值范围
是 A.
B.
C.
D.
9、已知三棱锥ABC D -的外接球的表面积为π128，24,4===AC BC AB ，则三棱锥
ABC D -
体积的最大值为（ ）
3
6
16232.
3
616.
3
6
810.
32
27
.
+++D C B A
）（的范围是
，则中，若在锐角、b c
B C ABC 210=∆
)
3,1(.)
2,2(.)
3,2(.)
2,0(.D C B A
11、已知P 为双曲线C ：
上一点,,为双曲线C 的左、右焦点,若
,且直线
与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为( ) A.
B.
C.
D.
12、已知函数),1
()(2为自然对数的底数e e x e
ax x x f ≤≤-=与x
e x g =)(的图像上存在关于直线x y =对称的点，则实数a 的取值范围是 （ ）
],1
[.]
1
,1[.]
1
,1[.]
1
,1[.e e
e D e e e e C e e B e e A -+--+
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、设52,0,0=+>>y x y x ，则
xy
y x )
12)(1(++的最小值为 .
14、已知，则
的值为________．
15、定义在R 上的函数满足当
时,⎩⎨
⎧<≤--<≤-+-=3
1;
1
3;
)2()(2x x x x x f ，则
)2019()2018()3()2()1(f f f f f ++⋯+++= ．
16、已知定义在R 上的单调递增奇函数，若当11≤≤-x 时，0)12()(2
<++-+m f m x mx f 恒成立，
则实数m 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（12分）数列
满足
,
,
．
（1）证明：数列是等差数列；（2）设,求数列的前n 项和．
18、（12分）如图所示,在四棱锥中,底面四边形ABCD是边长为的正方形,,,点E为PA中点,AC与BD交于点O．Ⅰ
求证：平面ABCD；Ⅱ求二面角的余弦值．
19、（12分）如图,在梯形ABCD中,已知
,,,,,
求：的长；的面积．
20、2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了大年初三上午
这一时
间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段记作区间
,
记作,
记作
,
记作
例如：10点04分,记作时
刻64．
（1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据
用该组区间的中点值代表；
（2）为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在之间通过的车辆数为X ,求X 的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布
,其中可用这600辆车在
之间通过该收费点的时刻
的平均值近似代替,
可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表,已
知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在22:10~46:9之间通过的车辆数结果保留到整数．
参考数据：若,则；
；．
21、（12分）已知函数
．
Ⅰ讨论
的单调性；
Ⅱ
若
有两个零点,求a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分.(本题10分) 22、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(2
,
1为参数t t y t x ⎩⎨
⎧+=-=.在以原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θ
ρ2
cos 213+=.
（1）直接写出直线l 、曲线C 的平面直角坐标方程；
（2）设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围。

23、已知函数|2||12|)(--+=x x x f ，不等式2)(≤x f 的解集为M.（1）求M ； （2）记集合M 的最大元素为m ，若正数c b a ,,满足m abc =，求证：c
b a
c b a 1
11++≤
++.
数学（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题
13、 34 14、9
7
15、338 16、)212,(+--∞ 三、解答题 17、Ⅰ证明：
,
,
,
数列
是以1为首项,以1为公差的等差数列；Ⅱ解：由Ⅰ知,,
,
,
,
,
得
,
．
18、证明：底面四边形ABCD 是边长为
的正方
形,,
,
在
中,
,
,
同理可得,
而,且BC、平面ABCD,
平面ABCD,
在中,由题意知O、E分别为AC、PA中点,
则,而平面ABCD,
平面ABCD．Ⅱ由知：平面ABCD,故可建立空间直角坐标系,如图所示, 0,,1,,,0,,
0,,1,,,
设、b,分别为平面PAB和平面PAD的一个法向量,
则,,
,,
不妨设,则2,,,
,
由图知二面角为钝二面角,
二面角的的余弦值为．
19、解：,
,．
．
在中,由正弦定理得,即,
解得．
,
,
,．
在中,由余弦定理得,
即,解得或舍．
．
20、解：（1）这600辆车在9：：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
,即10点04分．
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中,
在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数,
即,所以X的可能取值为0,1,2,3,4．
所以, ,
, ,
,
所以X的分布列为
所以．
由可得,
,
所以,
估计在9：：22这一时间段内通过的车辆数,也就是82
46≤
<T通过的车辆数,
由,得
6827
.0
)
18 64
18 64
(
=
+
≤
<
-T
P
所以,估计在9：：22这一时间段内通过的车辆数为)
(
683
6827
.0
1000辆
≈
⨯
21、解：Ⅰ由,
可得．
当时,由,可得；由,可得,
即有在递减,在递增如右上图；
当时如右下图,
若,则恒成立,即有在R上递增；
若时,由,可得或,
由,可得,
即有在,递增,在递减；
若,由,可得或,
由,可得,
即有在,递增,在递减．Ⅱ
由Ⅰ可得当时,
在递减；在递增, 且,,； 当时或找到一个使得对于恒成立, 此时
有两个零点；
当
时,,所以只有一个零点；
当
时, 若
时,在递减,在,递增, 又
,所以不存在两个零点； 当
时,在,单调增,在单调减, 只有等于0才有两个零点
,
函数
在R 上至多存在一个零点,不合题意； 当 时,在R 上递增,所以至多有一个零点,不符题意．
综上可得,
有两个零点时,a 的取值范围为．
22、解、（1）.133
33
cos 2cos 213
cos 213030
3,32,12
222222222=+=+∴=++=∴+==+-∴=+--=-∴⎩
⎨⎧==-=y x y x C y x l y x y x t t y t x 即的直角坐标方程为曲线即，的直角坐标方程是直线即为参数）（θρρθρθ
ρ
]2
25,22[2
2d -1)3cos(2
25d ,1)3cos(2|3)32cos(|2|
3sin 3-cos |)
(,sin 3cos 2的取值范围是取得最小值时，当；取得最大值时当的距离上的点到直线则曲线为参数的参数方程为曲线）（d d l C y x C ∴=+=+∴++=+=⎩⎨⎧==παπαπ
ααααα
α
23、}
15|{12
121523221322123212|2||12|)(1≤≤-=≤≤--<≤-⇒⎩⎨⎧≤+>⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤---<≤--+=x x M x x x x x x x x x x x f 所以集合或或或可化为由零点分段法）（
a bc
abc bc b c c ab
abc ab b a c b a abc m M 2212112212110
,0,0,11
12==≥+==≥+>>>=∴= 其中中最大元素为）可知集合证明：由（）（ b ac
abc ac c a 221211==≥+ 三式相加得)111
(22c b a c b a ++
≤++）（， 所以c b a c b a 111++≤
++得证。