线性代数汇总整编课程教案

皖西学院教案2014- 2015学年第2学期
课程名称线性代数
授课专业班级14级合班
授课教师汪轶
职称讲师
教学单位金数学院
教研室高数
学期授课计划说明
单元教案
分教案
,
n 为标准序。

在任一排列中，若某两个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为一个,
n 的一个任意排列记作个元素比i p 大，就说元素排列的逆序数，记作+++t 2 ,
n
的逆序数为
(1-++n 奇排列，而逆序数,)
n 排成∑-=t a 1)1(中a 称为, n q 为1,, n 的一个排列，, n q 的逆序数．
, n q 的逆序数的奇偶性决定．特别规定，一阶行列式在行列式D 中，将素称为主对角元。

而21
22
12nn n n nn a a a a =，
11
12122
21122n n nn nn
a a a a a a a a =．
分教案
1212221
2
n n n n nn
a a a a a
11222212n n n
n
nn
a a a a a ．
行列式与它的转置行列式相等，即T D D =. )det(ij a 的转置行列式记作
112111222212n n n
n
nn
b b b b b b b b b ，
,)
n ．由定义知
∑-=-n p p p t np p p t n n a a a b b b 21212121)1()1
推出：T =-=
∑D a a
a
D n p p t
n 2
2)1(．
可知，行列式中行与列具有对等的地位，对行成立的性质，对列也成111
11
11
(1)i
n n
t i in q iq nq n nn
a a a a a a a a =-∑，则
11
11
1
()
i n n iq nq i in n nn
a ka a ka ka a a =． 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面行（列）乘以k ，记为k r i ⨯（k c i ⨯）；
，记为k r i ÷（或k c ÷）。

1111211112
11212
1212
n n n in in i i in i i in nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a
b a a a b b b a a a a a a a +=+
11121122
1
2
n
i i i in in n n nn
a a
b a b a b a a a +++()
i i n iq iq nq a b a +
11(1)i
n t q iq nq a a a -∑＋1
1(1)i n t q iq nq a b a -∑
111211112
11212
12
12
n n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a a
b b b a a a a a a +． 5 把行列式某一行（列）的各元素k 倍加到另一行的对应元素上去，行
列式的值不变．
12
12
121122
j i i in i i in
j j jn
j i j i jn in
a a a a r kr
i a a a a ka a ka a ka +=+++．
行列式性质2、3、5涉及到行列式的三种运算：换行（列）、倍乘、倍加，即
k ⨯，j i r kr +和j i c c ↔，k c i ⨯，j i c kc +。

二、运用性质计算行列式
11
111111111
1k
k kk k n n nk
n nn a O
a a c c
b b
c c b b ，
11
11
k k kk
a a a ， 11
121n
n nn
b b D b b =
，
j kr +，把1D 化为下三角形行列式：
11
11
1
kk k kk
p p p p p =，
，把2D 化为下三角形行列式：
11
11
1
nn n nn
q q q q q =，
行作运算j i kr r +，再对后n 列作运算c 11
1111111
1
k kk k n nk
n nn
p p p c c c c q q 11111112()() kk nn kk nn p q q p p q q D D ==．
b
a b c d
d
§6 行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式
11
12121
22
212
n n n n nn
a a a a a a a 中任取一个元素列，剩下来的1-n 阶行列式称为元素ij a ()
,1i j
ij M +=-
212221
2
0n n n nn
a a a a ，时的情况，由例1.6的结论，即有B ，故得 1111A a B =．D 的第i 行除ij a 外的其余元素都为零：11
1110
0j n ij n nj
nn
a a a a a a
行依次与上面的1-i 行逐行对换，再将第11-+-j 次对调，将ij a 调到了第
11
1211
21
2n i i in n n nn
a a a a a a a 11
12
1121
2
0000
00n
i i in n n nn
a a a a a a a a ++
+++
+++
+
111211
120
0n i n n nn a a a a a a 11
1212
12
0n i n n nn
a a a a a a a +1112112
n in n n nn
a a a a a +， ∑==
+++n
ik ik
in in i i i A a
A a A a A 1
2211 ),,2,1(n i =。

(212
1
1
1112
1n n n i j n n n n
x x x x ≥>≥---=表示全体同类因子的乘积． 行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和in jn a A +2i j ni nj A a A +
+,0jk D i A ⎧=⎨⎩当， 当,0D i i 当， 当
分教案
1211222
221122n n n n n n nn n n a x a x a x a x a x b ++++
+= nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 21
22221
112
11
=
，
1211222211220
n n n n n n nn n a x a x x a x a x ++++
+= 齐次线性方程组。

利用克莱默法则容易得到下面的定理：若齐次方程组（2）的系数行列式0≠D ，则它只有零解。

单元教案
分教案
, ; 1, 2,
, )m j n =排成m 行、⎪⎪⎪⎪
⎪⎫
n n a a
21
,;1,2,,
）时，则称矩阵
=
m j n
矩阵的运算
)
T
,
x满
n
是对称矩阵，且HH
的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）
分教案
1Pc P +Λ
), n λ), k n λ
10)k k c c c E =Λ++Λ+()(1 n f f λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= O ，证明A +可交换得：)E E =，
) ,;1,2,,
r j t
=
　．
0 0 0 1⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
，
1010
1201
1041
1120
-
B
⎛⎫
⎪
-
⎪
=
⎪
⎪
-
⎝⎭
，求
121222212n n T m m mn m a a a a a a a α
α⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， ()1112
12122
21212
,,,. n n n m m mn a a a a a a a a a a a a ⎫⎪⎪
=⎪⎪⎭
111
222 T T T T T T n m m m αλααλαλαλα⎛⎫⎛⎫⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭
．
n λ⎪⎪⎪⎭
1222222 n n n n m mn n a x b a x a x a x b +=+++=
⎪⎫n ⎪⎪⎫ ⎛=x X 1，)2, n n x a b x ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
． 四、克拉默法则的证明
单元教案
分教案
r
B；如果矩阵。