甘肃省庄浪二中2010届高三适应性考试数学试题

庄浪二中2010届高三适应性模拟考试
数 学 试 卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+
如果事件A 、B 相互独立，那么
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k
n n P P C k P --=)1()(
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数31i
i
++等于
A ．12i +
B ．12i -
C ．2i +
D ．2i -
2. 已知向量||1,||||1a b a b -===，则2
()a b +的值为
A. 2
B. C. 3
D. 3. 函数)01(31
2
<≤-=-x y x
的反函数是
A ．)3
1
(log 13≥+=x x y . B ． )3
1(log 13≥+-=x x y .
C ． )131(log 13≤<+=x x y .
D ． )13
1(log 13≤<+-=x x y .
4．以抛物线x y 202
=的焦点为圆心，且与双曲线19
162
2=-y x 的两渐近线都相切的圆的方程为 A ．09102
2
=+-+x y x
B ．016102
2=+-+x y x
C ． 036202
2
=+-+x y x D ．064202
2
=+-+x y x
5.已知数列{n a }满足*331
l o g 1l o g ()n n a a n +
+=∈N ，且2469a a a ++=，则
球的表面积公式 24S R π=球
球的体积公式
3
43
V R π=球
其中R 表示球的半径
15793
log ()a a a ++的值是
A ．5-
B ．15-
C ．5
D ． 15
6. 在上海世博会期间，某商店销售11种纪念品，10元1件的8种，5元一件的3种。

小张用50元买纪念品（每种至多买一件，50元刚好用完），则不同的买法的种数是
A. 210种
B. 256种
C. 266种
D. 286种
7. 若直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆08242
2
=---+y x y x 的周长，则
b
a 2
1+的最小值为
A ．1
B ． 3+
C ．5
D ． 24
8．在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为1的菱形，⊥︒=∠PA ABC ,60底面ABCD ，
PA=1，则异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为
A ．
4
2
B ．
4
14 C ．
2
2 D ．
3
2
9.已知函数()3sin 22f x x x =+的最大值为A ，则使()f x A =成立的一个角x 与A 的值分别为
A.
,312
π
B.
,6
π C.
12
π
D.
,36π
10. 球面上三点A 、B 、C ，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的4
1
，若经过这三点
的小圆的面积为2π，则球的体积为
A.
B.
C.
D.
11. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角为
θ，则(0,]2
π
θ∈的概率是
A ．
512
B ．
12
C ．
712 D ．
56
12．设函数R x x x x f ∈+=,)(3
，若当2
0π
θ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒立，
则m 的范围是
A ．)1,0(
B ．)0,(-∞
C ．)1,(-∞
D ．)2
1,(-∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

13．在二项式n x )31(-的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，2
x
项的系数是 .（用数字作答）
14．曲线3
21y x x =-+在0x =处的切线与直线210mx y m -+-=的交点位于第一象限，则实数m 的取值范围是 .
15．设焦点在x 轴上的双曲线22
221x y a b
-=的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点
为F ，且0FA FB ⋅=，则双曲线的离心率e = ．
16．若等比数列{}n a 中，131,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++=…___________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
已知A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边c b 、、a 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =
，
)cos ,(cos A B n = ，且.2sin C n m =⋅
（Ⅰ）求角C 的大小；
（II ）若B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，且18=⋅，求边c 的长. 18．（本小题满分12分）
已知三棱柱
ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，090BAC ∠=，
,1,21===AC AA AB N M ,分别是BC B A ,1的中点．
（Ⅰ）证明： 11//A ACC MN 平面；
（II ）求二面角B AN M --的大小。

19．（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，
否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为
,5
2,53,54
且
各轮问题能否正确回答互不影响。

（I ）求该选手被淘汰的概率；
（II ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望。

20．（本题满分12分）
已知数列}{n a 的首项21=a ，其前n 项和为n S ，当2≥n 时，满足,21-=-n n
n S a
又n
n
n a b 2=
（I ）证明：数列}{n b 是等差数列； （II ）求数列}{n S 的前n 项和.n T
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）设()4,0P -，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，当线段MN 的中点
落在正方形内（包括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.
22．（本小题满分12分） 已知函数(1)
()ln .1
a x f x x x -=-
+ （I ）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围； （II ）设,,,:.ln ln 2
m n m n
m n m n m n +
-+∈≠<-R 且求证
参考解答及评分标准
一、选择题：本题考查基础知识和基础运算。

每小题5分，满分60分.
1. D
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. B
8. A
9.B 10. D 11. C 12. D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

13．135； 14．)1,5
2
(；15．2；16．3)14(23)14(2---n n 或 三、解答题：本题考查推理证明能力和综合应用知识解决问题的能力。

满分共70分。

17． 解：（I ）)sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅
…………2分
,0,,ππ<<-=+∆C C B A A B C
中 ,s i n )s i n (C B A =+∴ C n m s i n =⋅∴
…………3分
又.3
,21cos ,sin 2sin ,2sin π==
=∴=⋅C C C C C n m
…………5分
（II ）由B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，得,sin sin sin 2B A C +=
由正弦定理得.2b a c +=
…………6分
,18=⋅CB CA
.36,18cos ==∴ab C ab 即
…………8分 由余弦定理,3)(cos 22
2
2
2
ab b a C ab b a c -+=-+=
…………9分 .6,363422=∴⨯-=∴c c c
…………10分
18． 解法一：依条件可知AB 、AC ，AA 1两两垂直，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系
.A x y z -则A （0，0，0），B （0，2，0），
C(-1,0,0),)2,0,0(1A ,)0,1,2
1
(),2,1,0(),2,0,1(),2,2,0(11--N M C B ……2分 （I ）证明：
1
(,0,2),(0,2,0)2
MN AB =--=是平面ACCA 1的一个法向量，
且1
002200,2
MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=所以MN AB ⊥ ……5分 又
11MN ACC A ⊄平面， 11//MN ACC A ∴平面 ………………6分
（II ）设(,,)n x y z =是平面AMN 的法向量，
因为1(0,1,2),(,1,0)2
AM AN ==-，
由0,0,
AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得⎩⎨⎧=+=+-0
202
1z y y x
解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)n =- ………………9分 由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m = ………………10分
cos ,||||21m n m n n m ⋅<>=
==-
所以二面角B AN M --的大小为21
21
arccos
………………12分 解法二：（I ）证明：设AC 的中点为D ，连结DN ，A 1D ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1
//
2
DN AB ………………2分 11111111
,//,
2
//,A M A B A B AB A M DN A DNM =
∴∴又
四边形是平行四边形 ∴A 1D//MN ………4分
11111,A D ACC A MN ACC A ⊂⊄平面平面11//MN ACC A ∴平面 ………………
6分
（II ）如图，设AB 的中点为H ，连结MH ，
∴MH//BB 1
∵BB 1⊥底面ABC ， ∵BB 1⊥AC ，BB 1⊥AB ， ∴MH ⊥AC ，AH ⊥AB ∴AB ∩AC=A
∴MH ⊥底面ABC ………………7分
在平面ABC 内，过点H 做HG ⊥AN ，垂足为G 连结MG ，AN ⊥HG ，AN ⊥MH ，HG ∩MH=H ∴AN ⊥平面MHG ，则AN ⊥MG
∴∠MGH 是二面角M —AN —B 的平面角 ………………9分
∵MH=BB 1=2，
由△AGH ∽△BAC ，得
HG =
所以
MG =
=
所以cos HG MGH MG ∠=
= 所以二面角B AN M --的大小为21
21
arccos
………………12分 19．解：（I ）记“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件),3,2,1(=i A i 则
,5
2
)(,53)(,54)(321===
A P A P A P …………1分
∴该选手被淘汰的概率
)()()()()()()(321211322211A P A P A P A P A P A P A A A A A A P P ++=++=
…………5分 .125
101535354525451=⨯⨯+⨯+=
…………6分
（II ）ξ的可能值为1，2，3，
,5
1
)()1(1===A P P ξ
,2585254)()()()2(2121=⨯=
===A P A P A A P P ξ .25
12
5354)()()()3(2121=⨯====A P A P A A P P ξ
…………9分
ξ∴的分布列为
…………10分 .25
57251232582511=⨯+⨯+⨯
=∴ξE …………12分
20．解：（I ）由题意知得，
,2,2,2111n n n n n n S a S a n =-=-≥++-时
两式相减得,21n n
n n a a a =--+ 即)2(,221≥+=+n a a n
n n
于是
,2
1
2211+=++n n n n a a 即)2(2
1
1≥=
-+n b b n n ----------------------------------------5分 又.6,22,22112
21=∴===-=a a S a a .21,232
,121222211=-====
b b a b a b 所以数列}{n b 是首项为1，公差为0.5的等差数列.-----------------6分 （II ）由（I ）知，
.2)1(2,2
1
21)1(11-⋅+==+=⨯
-+=n n n n n n b a n n b ---------------8分 又2≥n 时,2)1(2
)1(,211
11----⋅-=⋅+==-n n n n n n n n S S a .2n n n S ⋅=∴-----------------------------------------------9分
,2232221321n n n T ⨯++⨯+⨯+⨯=∴ ,22)1(22212132+⨯+⨯-+⨯+⨯=n n n n n T
.22)1(22211+⋅-=⨯--=∴++n n n n n n T ---------------------------12分
21．解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22
221(0),x y a b a b +=>>
焦距为2c ，
由题设条件知，2
8,,a b c == 所以2
2
1 4.2
b a =
= 故椭圆C 的方程为22
184
x y += .-----------------------------5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，所以可设直线l 的方程为(4)y k x =+.
如图，设点M ，N 的坐标分别为112(,),(x y x 线段MN 的中点为G 00(,)x y ，
由22(4),
18
4y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
2222(12)163280k x k x k +++-=．
由2222
(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->
解得k <<．--------------------7分 因为12,x x 是方程①的两根，所以2
122
1612k x x k
+=-+，于是 1202x x x +==22812k k -+，002
4(4)12k y k x k =+=+ ------------------------------ ---8分 因为2
02
8012k x k =-
≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线12F B ,11F B 方程分别为2,2,y x y x =+=-- 所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为
000022
y x y x ≤+⎧⎨
≥--⎩ 即
2
22
2
22
482,1212482,1212k k k k k k k k ⎧≤-+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即
2
2
22
10,22
10.
k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ ----------------------10分
解得11
22
k -≤≤，此时②也成立．2 故
直
线
l
斜率的取值范围
是
[-----------------------------------------------------12分
22．解：（I ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222
(1)2(22)1.(1)(1)
x ax x a x x x x x +-+-+==++
……3分
因为()(0,)f x +∞在上为单调增函数，所以()0(0,)f x '≥+∞在上恒成立.
22(22)10(0,).(0,),(22)10,
1
22.
1(),(0,).1() 2.
1
,1,() 2.
x a x x x a x a x x g x x x x g x x x x x g x x
+-+≥+∞∈+∞+-+≥-≤+=+∈+∞=+≥===即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值 22 2.2.
a a -≤≤所以所以 所以a 的取值范围是(,2].-∞ …………7分
（II ）不妨设0, 1.m m n n
>>>则,
ln ln 2
11,
2ln m n m n
m n m m n n m n
-+<--+<要证
只需证 即证2(1)ln .1m m n m n n ->
+只需证2(1)ln 0.1m m n m n n -->+ …………10分 2(1)()ln .1
x h x x x -=-+设由（I ）知()(1,)h x +∞在上是单调增函数，又1m
n >，
()(1)0.
2(1)
ln 0.
1m
h h n
m m n m n
n
>=-->+所以即成立所以.ln ln 2m n m n m n -+<- ………12分。