1.1.1任意角的概念

（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ， 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º ， － 540º 等角度.
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 （角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等
【合作探究】
• 探究一：终边相同的角
例1： 120 240 360 (1)

• ；
660 300 360


435 75 360


变式1： -15 360 K

- 1080 -360 -375 或 - 735
【当堂检测】
• • • • • • • • • • • • • 1. 下列命题中正确的是( D ) A．终边在y轴非负半轴上的角是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ· 360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同 2．下列角中终边与330°相同的角是（ B ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 3．与120°角终边相同的角是( A ) A．－600°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ B．－120°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ C．120°＋(2k＋1）· 180°，ｋ∈Ｚ D．660°＋k· 360°，ｋ∈Ｚ 4．角α＝45°＋ｋ· 180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 (A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
1弧度
的与 一半 个径 比长 值无 关
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 对值：
︱ α︱ =
l r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。
2、弧度与角度的换算
若l=2 π r，
B
O
A
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零角即零度角（0º ）．此时零角的始边与
终边重合。 角的记法：角α或可以简记成∠α，或简
记为： α. 如∠α=-1500
， α=00， α=6600 等等……
角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.

•
变式3：
•
• • • • • • • • • ∴应填{α|n·180°＋30°＜α＜n· 180°＋150°，n∈Z}． •
解：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为 30°＜α＜150°与210°＜α＜330°， ∴所有满足题意的角α为 {α|k·360°＋30°＜α＜k· 360°＋150°，k∈Z}∪ {α|k·360°＋210°＜α＜k· 360°＋330°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k· 180°＋150°，k∈Z}∪ {α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)180°＋150°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°＜α＜n· 180°＋150°，n∈Z}．
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3，
r
l = －3弧度 即∠AOB=－ r
O
B
r
A
-3弧度
l=3r
由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。
B
B O
l=R
A
l=r 1弧度 A r R

45 180 k , k z
135 180 k , k z
探究二：区域角的表示
• 例3:
120 360 k , k z

45 ,315

45 360 k 120 360 k , k z
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
l=2 π r
O
r
A(B)
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1° = 180
π 弧度 还可得
π —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 π
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
例1：角度与弧度互化：

2 72 72 rad (rad ) 180 5

3 3 180 rad 108 5 5

变式1：角度与弧度互化：
2 3 45 ,120 ,135 4 3 4
2 120 3

2 l R 45 30 3 1 1 S lR 30 45 675 2 2
【当堂检测】
• • • • 1.C 2.A 3.D 4.D
小结：
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外， 为以后学习三角函数打下基础。
例2： 1200 120 360 3第二象限 55 305 360 （- 1 ）第四象限
1563 123 360 4第二象限
— 1590 210 360 (5)第三象限
变式2：
180 k , k z
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)
个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
例4．A 变式4：一、三、四; 一、二
象限角的集合表示. • 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端
点旋转而成的。 初中学过的角的范围是：0º 至 360º 。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 如图：一条射线由原来的 位置OA，绕着它的端点O按逆 时针方向旋转到另一位置OB， 就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边，旋转终止的射线 OB叫做角α的终边，射线的端 点O叫做角α的顶点．
1、弧度制
• 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
设弧AB的长为l， l 若l=r，则∠AOB= =1 弧度
B l=r
1弧度
r
O
r
A
若l=2r，
若l=2 π r，
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度
则∠AOB=
B
2弧度Βιβλιοθήκη O rAO
r
A(B)
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，
就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向和旋转量 （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式：
l r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r 2 2 （其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数 ) l



3
60 ,


2
90

；
；
例2：用弧度制证明下列有关扇形的 公式
nR 角度制下弧长公式： l , 把角度n化成 180 弧度： n

180

l R
n 1 2 2 s R 转化成弧度：s R 360 2 1 或者s lR 2
变式2：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360º ， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合： ⑷注意以下四点： {β| β=α+k·360º ， k∈Z} ① k∈Z， 即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和。 K > 0，表示逆时针旋转， K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角；
③ k· 360º 与之间是“+”号，如k· 360º －30º ,应 看成(－30º )+ k· 360º ； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º 的整数倍.
【自主探究】
1、下列说法中正确的是( D ) A．120°角与420°角的终边相同 B．若α是锐角，则2α是第二象限的角 C．－240°角与480°角都是第三象限的角 D．60°角与－420°角的终边关于x轴对称 2、 C 3、 一、二、四、一、四、三