1.1.1任意角的概念

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(3)旋转量:
当旋转超过一周时,旋转量即超过360º , 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º , - 540º 等角度.
3.象限角
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合 于x轴的非负半轴,这样一来,角的终边落在第 几象限,我们就说这个角是第几象限的角。 (角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为:轴线角) 例如:30、390、330是第一象限角, 300、 60是第四象限角, 585、1300是第三象限角, 135 、2000是第二象限角等
【合作探究】
• 探究一:终边相同的角
例1: 120 240 360 (1)

• ;
660 300 360


435 75 360


变式1: -15 360 K

- 1080 -360 -375 或 - 735
【当堂检测】
• • • • • • • • • • • • • 1. 下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k· 360°(k∈Z),则α与β终边相同 2.下列角中终边与330°相同的角是( B ) Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 3.与120°角终边相同的角是( A ) A.-600°+k· 360°,k∈Z B.-120°+k· 360°,k∈Z C.120°+(2k+1)· 180°,k∈Z D.660°+k· 360°,k∈Z 4.角α=45°+k· 180°,k∈Z的终边落在 (A ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
1弧度
的与 一半 个径 比长 值无 关
一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:
︱ α︱ =
l r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。
2、弧度与角度的换算
若l=2 π r,
B
O
A
特别地,当一条射线没有作任何旋转时,
我们也认为这时形成了一个角,并把这个角
叫做零角即零度角(0º ).此时零角的始边与
终边重合。 角的记法:角α或可以简记成∠α,或简
记为: α. 如∠α=-1500
, α=00, α=6600 等等……
角的概念扩展的意义: 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如:=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例:体操动作:旋转2周(360×2=720) 3周(360×3=1080) ③ 还有零角, 一条射线,没有旋转.


变式3:

• • • • • • • • • ∴应填{α|n·180°+30°<α<n· 180°+150°,n∈Z}. •
解:在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角为 30°<α<150°与210°<α<330°, ∴所有满足题意的角α为 {α|k·360°+30°<α<k· 360°+150°,k∈Z}∪ {α|k·360°+210°<α<k· 360°+330°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°<α<2k· 180°+150°,k∈Z}∪ {α|(2k+1)180°+30°<α<(2k+1)180°+150°,k∈Z} ={α|n·180°+30°<α<n· 180°+150°,n∈Z}.
若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,
r
l = -3弧度 即∠AOB=- r
O
B
r
A
-3弧度
l=3r
由弧度的定义可知:
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。
B
B O
l=R
A
l=r 1弧度 A r R

45 180 k , k z
135 180 k , k z
探究二:区域角的表示
• 例3:
120 360 k , k z

45 ,315

45 360 k 120 360 k , k z
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
l=2 π r
O
r
A(B)
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1° = 180
π 弧度 还可得
π —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 π
180 1弧度 =(——)°≈ 57.30°= 57°18′
4、用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角

负实数
角的集合
实数集R
例1:角度与弧度互化:

2 72 72 rad (rad ) 180 5

3 3 180 rad 108 5 5

变式1:角度与弧度互化:
2 3 45 ,120 ,135 4 3 4
2 120 3

2 l R 45 30 3 1 1 S lR 30 45 675 2 2
【当堂检测】
• • • • 1.C 2.A 3.D 4.D
小结:
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外, 为以后学习三角函数打下基础。
例2: 1200 120 360 3第二象限 55 305 360 (- 1 )第四象限
1563 123 360 4第二象限
— 1590 210 360 (5)第三象限
变式2:
180 k , k z
4.终边相同的角
⑴ 观察:390,330角,它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究:终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)
个周角的和:
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=-1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
例4.A 变式4:一、三、四; 一、二
象限角的集合表示. • 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}; • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360,kZ}; • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360,kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360,kZ}
1.1.1 任意角的概念
1、角的概念
初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 角也可以看成是由一条射线绕着它的端
点旋转而成的。 初中学过的角的范围是:0º 至 360º 。
2.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 如图:一条射线由原来的 位置OA,绕着它的端点O按逆 时针方向旋转到另一位置OB, 就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做 角α的始边,旋转终止的射线 OB叫做角α的终边,射线的端 点O叫做角α的顶点.
1、弧度制
• 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= =1 弧度
B l=r
1弧度
r
O
r
A
若l=2r,
若l=2 π r,
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度
则∠AOB=
B
2弧度Βιβλιοθήκη O rAO
r
A(B)
角的概念推广以后,它包括任意大小的正
角、负角和零角.
要注意,正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量,它的正负规定源于实际的需要,就 好象与正数、负数的规定一样,零角无正负,
就好象数零无正负一样.
用旋转来描述角,需要注意三个要素:
旋转中心、旋转方向和旋转量 (1)旋转中心:作为角的顶点. (2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根 据以往的经验,我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示,那么许多问题就可以解 决了;
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式:
l r
1 1 2 扇形面积公式: S lr r 2 2 (其中 为圆心角 所对的弧长, 为圆心角的弧度数 ) l



3
60 ,


2
90



例2:用弧度制证明下列有关扇形的 公式
nR 角度制下弧长公式: l , 把角度n化成 180 弧度: n

180

l R
n 1 2 2 s R 转化成弧度:s R 360 2 1 或者s lR 2
变式2:扇形半径为45,圆心角为120°,用弧度制求弧长、面积.
1770=305×360 (k=-5)
⑶ 结论: 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· 360º , k∈Z} 即:任何一个与角终边相同的角,都可 以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合: ⑷注意以下四点: {β| β=α+k·360º , k∈Z} ① k∈Z, 即:任何一个与角终边相同的角,都 可以表示成角与整数个周角的和。 K > 0,表示逆时针旋转, K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角;
③ k· 360º 与之间是“+”号,如k· 360º -30º ,应 看成(-30º )+ k· 360º ; ④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360º 的整数倍.
【自主探究】
1、下列说法中正确的是( D ) A.120°角与420°角的终边相同 B.若α是锐角,则2α是第二象限的角 C.-240°角与480°角都是第三象限的角 D.60°角与-420°角的终边关于x轴对称 2、 C 3、 一、二、四、一、四、三
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