六枝特区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

六枝特区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足
的x 的范围为（
）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，1）∪（1，2）
C ．（，1）∪（2，+∞）
D ．（0，）∪（2，+∞
）　
2． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（－），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）
12x ＋112
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－）
12
C ．（－，＋∞）
D ．（－，0）
1212
3． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
4． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的
长度为（
）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
5． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（ ）2
1
A ．
B ．
C ．或
D ．或21-1-21-106． 已知函数f （x ）＝（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝{a x －1，x ≤1
log a 1
x ＋1，x ＞1
)
（ ）
A ．－
B ．－141
2C ．－ D ．－345
4
7． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到
A ，
B 两点的距离之和表示为
x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（
）
8． 若函数则函数
21,1,
()ln ,1,
x x
f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数为1
()2
y f x x
=+（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9． 复数
在复平面内所对应的点位于（ ）121i
i
-+A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O
上，且点C 位于第一象限，点B
的坐标为（，﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（
）
A ．B
．C ．
﹣D ．﹣
　11．已知向量，，，若为实数，，则（ ）
(1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = λ()//a b c λ+
λ=A ．
B ．
C ．1
D ．2
1
4
1
2
12．已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
二、填空题
13．如图，△
ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．
14．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的
▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
15．设满足约束条件，则的最大值是____________．　
,y x 2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
3z x y =+
16．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
17．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取19.0100人，则应在高三年级中抽取的人数等于
.
三、解答题
18．已知在等比数列{a n }中，a 1=1，且a 2是a 1和a 3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足b 1+2b 2+3b 3+…+nb n =a n （n ∈N *），求{b n }的通项公式b n ．
19．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数，其中，是()()
2x f x x ax a e =++a R ∈e 自然对数的底数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；1a =()y f x =0x =（2）求函数的单调减区间；
()f x （3）若在恒成立，求的取值范围.
()4f x ≤[]4,0-a 20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点为圆上一点，为圆的切线，为圆的直径，.
C O CP CE 3CP =
（1）若交圆于点，，求的长；PE O F 16
5
EF =
CE （2）若连接并延长交圆于两点，于，求的长.
OP O ,A B CD OP ⊥D CD
21．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为
，以原点为圆心
，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k （k ≠0）的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，求证：直线l 过定点，并求出斜率k 的取值范围．
22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，
()f x 其导函数的图象过点．()'f x ()12，
（1）求函数的解析式；
()f x （2）设函数，其中m 为常数，求函数的最小值．
()()()'g x f x f x m =+-()g x 23．（本题满分15分）
若数列满足：
（为常数， ），则称为调和数列，已知数列为调和数{}n x 111
n n
d x x +-=d *n N ∈{}n x {}n a 列，且，.
11a =12345
11111
15a a a a a ++++=（1）求数列的通项；
{}n a n a （2）数列的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的取值集合；若不存
2{}n
n
a n n S n 2015n S ≥n 在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
六枝特区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：当x ＞0时，由xf ′（x ）＜0，得f ′（x ）＜0，即此时函数单调递减，∵函数f （x ）是偶函数，∴不等式等价为f （||）＜，
即|
|＞，即
＞或
＜﹣，
解得0＜x ＜或x ＞2，
故x 的取值范围是（0，）∪（2，+∞）故选：D
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．　
2． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（－）得
12x ＋112
f （－x ）＝（e x －e －x ）（－）12－x
＋112
＝（e x －e －x ）（＋）
－12x ＋11
2
＝（e －x －e x ）（－）＝f （x ），
12x ＋112
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－，
12
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－}，故选C.
12
3． 【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D 选项中的命题是错误的
故选D
4． 【答案】 B
【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，
即AD •
≥1，
因为2=AD+≥2
=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B ．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．　
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，
⎩⎨⎧=x y x lg 20
0>≤x x 0≤x 212=x
1-=x 0>x 21lg =x 解得，所以输入的是或，故选D.
10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]6． 【答案】
【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2.若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．∴b ＞1，即有log 2＝－3，∴＝，∴b ＝7.
1b ＋11b ＋118
∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－，故选C.
34
7． 【答案】
【解析】选B.取AP 的中点M ，则PA ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin ，
x 2
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos ，
x 2
∴y ＝f （x ）＝PA ＋PB ＝2sin ＋2cos ＝2sin （＋），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
x 2x 22x 2π4
故选B.8． 【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几0)(=x f 个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图],[b a 0)()(<b f a f 象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
9． 【答案】C 【解析】
10．【答案】 A
【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos （
﹣α）=
，﹣sin （
﹣α）=﹣
，
∴sin （
﹣α）=
．∴cos α=cos[
﹣（
﹣α）]=cos
cos （
﹣α）+sin
sin （
﹣α）
=+
=，
∴sin α=sin[﹣（﹣α）]=sin
cos （
﹣α）﹣cos
sin （
﹣α）
=﹣=．
∴cos 2
﹣sin cos
﹣=（2cos 2﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α
=
﹣
=
，
故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．　
11．【答案】B 【解析】
试题分析：因为，，所以，又因为，所以
(1,2)a = (1,0)b = ()()1,2a b λλ+=+ ()//a b c λ+
，故选B. ()1
4160,2
λλ+-==
考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
12．【答案】C ．【解析】解：∵2a =3b =m ，∴a=log 2m ，b=log 3m ，∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab=a+b ，∵ab ≠0，
∴+=2，
∴=log m 2， =log m 3，∴log m 2+log m 3=log m 6=2，解得m=．
故选 C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．　
二、填空题
13．【答案】　4　
【解析】解：由PA ⊥平面ABC ，则△PAC ，△PAB 是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°所以BC ⊥AC ，从而易得BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以△PCB 也是直角三角形，
所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC ，△PAB ，△ABC ，△PCB ．
故答案为：4
【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．
14．【答案】必要而不充分
【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
15．【答案】
73【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最大值为.12,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
73
考点：线性规划．
16．【答案】
【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2=c2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，
所以=，
解得a2=36，b2=108，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．　
17．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：
2a2=a1+a3﹣1，∴，
∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，
∴；
（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．
n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①
b 1+2b 2+3b 3+…+（n ﹣1）b n ﹣1=a n ﹣1②
①﹣②得：．
，∴．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．
19．【答案】（1）（2）当时，无单调减区间；当时，的单调减区间
210x y -+=2a =()f x 2a <()f x 是；当时，的单调减区间是.（3）()2,a --2a >()f x (),2a --244,4e ⎡⎤-⎣⎦
【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极
()4f x ≤值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为，()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦当时，，所以无单调减区间.2a =()()2
'20x f x x e =+≥()f x 当即时，列表如下：
2a ->-2a <所以的单调减区间是.
()f x ()2,a --当即时，，列表如下：2a -<-2a >()()()'2x
f x x x a e =++
所以的单调减区间是.
()f x (),2a --综上，当时，无单调减区间；
2a =()f x 当时，的单调减区间是；
2a <()f x ()2,a --当时，的单调减区间是.
2a >()f x (),2a --（3）.()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦
当时，由（2）可得，为上单调增函数，
2a =()f x R 所以在区间上的最大值，符合题意.
()f x []4,0-()024f =≤当时，由（2）可得，要使在区间上恒成立，2a <()4f x ≤[]4,0-只需，，解得.()04f a =≤()()2244f a e
--=-≤2442e a -≤<当时，可得，.24a <≤()4a a f a e
-=≤()04f a =≤设，则，列表如下：()a a g a e =()1'a a g a e
-=
所以，可得恒成立，所以.()()max 114g a g e ⎡⎤==
<⎣⎦4a a e
≤24a <≤当时，可得，无解.4a >()04f a =≤综上，的取值范围是.
a 244,4e ⎡⎤-⎣⎦
20．【答案】（1）；（2）.4CE =CD =
【解析】试题分析：（1）由切线的性质可知∽，由相似三角形性质知,可得；
ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =4CE =（2）由切割线定理可得，求出,再由,求出的值. 12
(4)CP BP BP =+,BP OP CD OP OC CP ⋅=⋅CD 试题解析：
（1）因为是圆的切线，是圆的直径，所以，，所以∽,CP O CE O CP CE ⊥090CFE ∠=ECP ∆EFC ∆
设，，又因为∽，所以，
CE x =EP =ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =
所以，解得.2x =4x =
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），椭圆的离心率为，即有=，即a=c ，b==c ，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x 2+y 2=b 2，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b ，即有a=，
则椭圆C 的方程为
+y 2=1；（Ⅱ）证明：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），F 1（﹣1，0），
由∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，可得直线QF 1和RF 1关于x 轴对称，即有+=0，即+=0，
即有x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1=0，①
设直线PQ ：y=kx+t ，代入椭圆方程，可得
（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2﹣2=0，
判别式△=16k 2t 2﹣4（1+2k 2）（2t 2﹣2）＞0，
即为t 2﹣2k 2＜1②
x 1+x 2=，x 1x 2=，③
y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，
代入①可得，（k+t ）（x 1+x 2）+2t+2kx 1x 2=0，
将③代入，化简可得t=2k ，
则直线l 的方程为y=kx+2k ，即y=k （x+2）．
即有直线l 恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k 代入②，可得2k 2＜1，
解得﹣＜k ＜0或0＜k ＜．
则直线l 的斜率k 的取值范围是（﹣
，0）∪（0，）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
22．【答案】（1）；（2）()2f x x =1
m -【解析】（2）
据题意，，即()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-()2222{ 22
m x x m x g x m x x m x -+<
=+-≥，，，，①若，即，当时，，故在上12m <-2m <-2m x <()()22211g x x x m x m =-+=-+-()g x 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，单调递减；当时，，故在上单调递减，在2m x ≥()()22211g x x x m x m =+-=+--()g x 12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，上单调递增，故的最小值为．()1-+∞，()g x ()11g m -=--②若，即，当时，，故在上单调递减；112m -≤≤22m -≤≤2m x <()()211g x x m =-+-()g x 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，
当时，，故在上单调递增，故的最小值为2m x ≥()()211g x x m =+--()g x 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，()g x ．224
m m g ⎛⎫= ⎪⎝⎭③若，即，当时，，故在上单调递12m >2m >2
m x <()()22211g x x x m x m =-+=-+-()g x ()1-∞，减，在上单调递增；当时，，故在上12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2m x ≥()()22211g x x x m x m =+-=+--()g x 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，故的最小值为．
()g x ()11g m =-综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，2m <-()g x 1m --22m -≤≤()g x 2
4m 2m >的最小值为．
()g x 1m -23．【答案】（1），（2）详见解析. 1n a n
=当
时，…………13分
8n =911872222015S =⨯+>>∴存在正整数，使得的取值集合为，…………15分
n 2015n S ≥{}*|8,n n n N ≥∈。