组合数公式
组合数计算方法
组合数计算方法
组合数是离散数学中的一个重要概念，表示从n个不同元素中选取r个元素的不同组合数目。
组合数的计算方法有多种，下面列举其中几种常用的方法。
1. 排列组合法
排列组合法是最基础的计算组合数的方法之一。
它的思路是先求出n 个元素中选取r个元素的排列数，然后除以r!，即排列数的重复次数，得到组合数。
具体计算公式为C(n,r) = A(n,r) / r!，其中A(n,r)表示n个元素中选取r个元素的排列数。
2. 递推法
递推法是一种高效的计算组合数的方法。
它的思路是利用组合数的递推关系式，通过计算前一项的组合数来得到后一项的组合数。
具体递推公式为：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，其中C(n,r)表示n 个元素中选取r个元素的组合数。
3. 公式法
除了排列组合法和递推法，还有一些公式可以用来计算组合数。
其中最常用的是二项式定理，它表示(a+b)^n的展开式中，a^r*b^(n-r)的系数就是C(n,r)。
具体计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)。
总之，组合数的计算方法有很多种，我们可以根据不同的情况选择不同的方法来计算。
同时，对于一些特殊的组合问题，还需要结合实际情况进行具体分析，并利用组合数计算方法来解决。
组合数常用公式
组合数常用公式
【原创版】
目录
一、组合数概念介绍
二、组合数公式推导
三、组合数公式应用举例
四、组合数在实际问题中的应用
正文
一、组合数概念介绍
组合数是离散数学中的一个重要概念，用于表示从 n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式的数量。
组合数用符号 C(n,m) 表示，其中 n 表示元素总数，m 表示选取元素的个数。
例如，从 5 个数中选取 3 个
数的组合数为 C(5,3)=10，表示从 5 个数中选取 3 个数的不同组合方
式有 10 种。
二、组合数公式推导
组合数的计算公式为：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 1*2*3*...*n。
推导过程如下：
假设有 n 个元素，我们要从中选取 m 个元素，我们可以先选择第 1 个元素，有 n 种选择方法；然后选择第 2 个元素，由于已经选择了一个，所以还剩下 n-1 种选择方法；以此类推，直到选择第 m 个元素，还剩下n-m+1 种选择方法。
因此，总共有 n*(n-1)*...*(n-m+1) 种选择方法。
而 n! 表示 n 的阶乘，即 1*2*3*...*n，因此，n!/(m!(n-m)!) 即为从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合方式的数量。
三、组合数公式应用举例
例如，有 5 个数，要求从这 5 个数中选取 2 个数，根据组合数公式，C(5,2)=5!/[2!(5-2)!]=10，表示从 5 个数中选取 2 个数的不同组合方式有 10 种。
如何计算出所有组合
如何计算出所有组合计算所有可能的组合是一种数学问题，可以使用不同的方法来解决。
下面将介绍几种常用的计算组合的方法以及其应用场景。
1.排列组合法排列组合法是一种基本方法，用于计算给定集合中的所有可能的组合。
对于给定的n个元素，可以使用排列组合法计算它们的组合数。
(a)计算组合数：组合数是n个元素中选取r个元素的排列数，可以根据以下公式计算：C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)。
例如，C(4,2)=4!/(2!*2!)=6 (b)列举所有组合：可以使用递归方法列举给定集合中的所有组合。
具体步骤如下：-选择第一个元素，并将其与剩下的n-1个元素的所有组合进行组合。
-重复上述步骤，直到选择了r个元素，则每次得到一个组合。
2.二进制法二进制法是一种简单且高效的方法，适用于计算二进制组合。
对于给定的n个元素，可以使用二进制法列举它们的所有组合。
具体步骤如下：-将n个元素用二进制表示成长度为n的二进制串，例如n=4，则有0000~1111-对于每个二进制串，将其对应位置上为1的元素加入组合中。
例如，对于n=4个元素，可以使用二进制法得到以下组合：0000000100100011...111011113.递归法递归法是一种常用的方法，适用于计算元素个数较少的组合。
对于给定的n个元素，可以使用递归法列举它们的所有组合。
具体步骤如下：-选择第一个元素，并将其与剩下的n-1个元素的所有组合进行组合。
-重复上述步骤，直到选择了r个元素，则每次得到一个组合。
例如，对于n=4个元素，可以使用递归法得到以下组合：(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)4.位图法位图法是一种高效的方法，适用于计算元素个数较多的组合。
对于给定的n个元素，可以使用位图法列举它们的所有组合。
具体步骤如下：-创建一个长度为n的二进制位图，所有位都设为0。
-遍历所有的组合：-将一些设为1，表示该元素在组合中。
组合数常用公式
组合数常用公式【原创版】目录一、组合数概念介绍二、组合数常用公式1.阶乘公式2.阶乘与组合数的关系3.组合数公式推导4.组合数公式应用实例正文一、组合数概念介绍组合数是一种数学概念，用来表示从一定数量的元素中选取一定数量元素的不同组合方式。
组合数通常用 C(n, m) 表示，其中 n 表示元素总数，m 表示选取元素的数量。
例如，从 5 个元素中选取 2 个元素的不同组合数可以表示为 C(5, 2)。
二、组合数常用公式1.阶乘公式阶乘是指从 1 乘到给定正整数的所有正整数的乘积。
例如，5 的阶乘表示为 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1。
阶乘公式为：! = n × (n - 1) × (n - 2) ×...× 3 × 2 × 12.阶乘与组合数的关系组合数可以表示为阶乘的比值。
例如，从 5 个元素中选取 2 个元素的不同组合数 C(5, 2) 可以表示为：C(5, 2) = 5! / (2! × (5 - 2)!)3.组合数公式推导我们可以通过阶乘公式推导组合数公式。
首先，我们考虑从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合数。
我们可以将这个问题转化为从 n 个元素中选取 n-m 个元素的不同组合数，即：C(n, m) = C(n, n - m)然后，我们利用阶乘公式计算组合数：C(n, m) = n! / [(n - m)! × m!]4.组合数公式应用实例假设我们有一个班级，共有 5 名学生。
现在我们需要从这 5 名学生中选取 2 名学生参加一个活动。
我们可以使用组合数公式计算不同的选法：C(5, 2) = 5! / [(5 - 2)! × 2!]= 10因此，从 5 名学生中选取 2 名学生的不同选法共有 10 种。
总结一下，组合数常用公式包括阶乘公式和组合数公式。
组合数展开公式
组合数展开公式组合数展开公式，这可是数学世界里一个相当有趣的家伙！咱先来说说啥是组合数。
比如说，从 5 个不同的苹果里选 2 个，有几种选法？这就是组合数要解决的问题。
组合数一般用 C(n, m) 来表示，意思是从 n 个元素里选出 m 个元素的组合数。
那组合数展开公式是啥呢？就是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
这里面的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给您举个例子吧，就说从 10 个同学里选 3 个参加比赛，那组合数C(10, 3) 就等于 10! / (3! × 7!) ，算下来就是 120 种选法。
还记得我之前教过的一个班级，当时正在学习组合数展开公式。
有个小同学特别有意思，他总是搞不明白这个阶乘到底是咋回事。
我就给他举了个例子，说假如要把 5 本书放在书架上，有多少种放法？那第一本书有 5 个位置可以放，第二本书就剩 4 个位置，以此类推，最后就是 5! 种放法。
这小家伙听了之后，眼睛突然亮了，好像一下子就开窍了。
组合数展开公式在实际生活中用处可大了。
比如抽奖，从一堆号码里抽出几个中奖号码，这就用到了组合数。
还有安排座位，从一群人里选出几个人坐特定的位置，也能用到。
在解决数学问题的时候，组合数展开公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
比如说，计算有多少种排列方式满足特定条件，或者在概率问题中计算可能性。
学习组合数展开公式，一开始可能会觉得有点头疼，但只要多做几道题，多想想实际生活中的例子，就能慢慢掌握它的精髓。
就像那个一开始迷糊的小同学，最后不也搞明白了嘛！总之，组合数展开公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，多思考，多练习，它就能成为我们解决问题的有力工具。
相信大家都能在数学的海洋里畅游，把这个公式运用得炉火纯青！。
组合排列的公式
组合排列的公式
组合排列的公式是指用来计算组合和排列的数学公式。
1. 组合的公式
组合是指从一组对象中选择一部分对象组成一个集合。
计算组合的公式是：
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
其中，n表示总对象数，k表示选取对象的数量，n!表示n的
阶乘（即n的所有正整数的乘积），k!表示k的阶乘，(n-k)!
表示n-k的阶乘。
C(n, k)表示从n个对象中选取k个对象的组
合数。
2. 排列的公式
排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择一部分对象组成一个集合。
计算排列的公式是：
P(n, k) = n! / (n-k)!
其中，n表示总对象数，k表示选取对象的数量，n!表示n的
阶乘（即n的所有正整数的乘积），(n-k)!表示n-k的阶乘。
P(n, k)表示从n个对象中选取k个对象的排列数。
需要注意的是，组合和排列的计算中都使用了阶乘的计算公式。
计算组合数公式
计算组合数公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：计算组合数公式是组合数学中的一个重要内容，它描述了从一组元素中选择若干个元素的方式。
在数学中，通常用符号C(n, k)表示从n 个元素中选择k个元素的组合数。
组合数公式在组合数学、概率论和统计学中具有广泛的应用，它在很多领域都扮演着重要的角色。
组合数公式的计算方法有多种，其中最常用的方法是利用排列组合的知识来推导。
下面将介绍几种常见的计算组合数公式的方法。
1. 递推关系式递推关系式是一种通过已知的组合数来计算新的组合数的方法。
通常情况下，我们可以利用以下的递推关系式来计算组合数：C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
递推关系式可以帮助我们快速计算任意n和k的组合数。
2. 公式法其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1。
利用这个公式，我们可以直接计算任意n和k的组合数。
3. 杨辉三角杨辉三角是一种用于计算组合数的图形表示方法，它具有很好的可视化效果。
在杨辉三角中，每个数字表示相应位置的组合数。
杨辉三角的规律是每个数等于上一行对应位置的两个数之和。
通过查找杨辉三角中相应的数字，我们可以快速计算任意n和k的组合数。
计算组合数公式是组合数学中的一个基础知识，对于很多数学问题都具有重要的应用价值。
通过递推关系式、公式法和杨辉三角等方法，我们可以快速、准确地计算任意n和k的组合数。
希望通过本文的介绍，读者能对计算组合数公式有一个更加深入的了解。
第二篇示例：组合数公式是组合数学中的一种基本概念，用来表示从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方法数。
组合数公式在数学、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
它不仅可以用于解决实际问题，还可以帮助我们更好地理解抽象问题的规律性。
组合数的计算公式有多种推导方法，其中最常用的是基于二项式定理的组合数公式。
组合数的计算公式
组合数的计算公式组合数是一类有趣的数字，可以帮助我们解决许多有关组合的问题。
它也有着广泛的应用，是重要的数学工具。
组合数的计算公式作为一种重要的算法，可以帮助我们计算组合数。
首先，我们来看看组合数的定义。
组合数表示从一组候选项中选出n个元素的组合数，其中每个元素有k个可用的选择，并且顺序无关。
它可以表示为：C(n,k)=n!/(k! * (n-k!)）。
其次，我们来讨论组合数计算公式的运用。
组合数的计算公式可以用来计算从一组候选项中选取特定数量的组合的个数。
它可以帮助我们解决问题，比如：有多少种从一组N个数字中选出K个数字的方式？此外，组合数计算公式也可以用来解决组合问题。
它可以帮助我们计算从一组N个数中选出K个数字的组合，并且可以用来解决关于特定组合事项的问题，比如：从一篮子苹果中，怎样可以选出3个，不改变它们原有的排列方式？组合数的计算公式也有着广泛的应用。
它可以用来计算不同形式的组合，比如两者的组合，三者的组合，四者的组合或更多。
它可以用来计算复杂的组合情况，如多组权重的组合，或组合问题的复杂重叠情况。
此外，它也可以用于计算组合期权价值，以及组合投资组合的收益率。
最后，组合数计算公式有着多种变体。
可以采用不同的方法来计算不同形式的组合，这些方法包括：加法原理、乘法原理、排列组合原理、哥德巴赫原理等。
除此之外，还可以采用数学归纳法来证明组合的计算公式的有效性。
总之，组合数计算公式是一种重要的算法，可以用来计算组合、解决组合问题，也有着广泛的应用。
它有着多种变体，可以采用不同的方式来计算组合，也可以用数学归纳法来证明其有效性。
综上所述，组合数计算公式具有实际上的价值，可以帮助我们解决复杂组合问题，从而实现更有效的计算结果。
组合的计算公式原理和方法
组合的计算公式原理和方法组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，而不考虑元素的顺序。
在实际生活中，组合的概念被广泛应用于排列组合、概率统计、计算机算法等领域。
本文将从组合的计算公式原理和方法进行详细介绍。
一、组合的定义。
在数学中，组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的选择方式的个数。
一般用C(n,m)表示，即从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。
其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)...1。
m!表示m的阶乘，即m(m-1)(m-2)...1。
n-m表示n与m的差值。
二、组合的计算方法。
1. 递推法。
组合数的计算可以采用递推法，即从已知的组合数推导出新的组合数。
递推法的思路是利用组合数的性质，通过已知的组合数计算出新的组合数。
具体实现方法是利用组合数的性质C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)来计算新的组合数。
2. 数学公式法。
组合数的计算也可以采用数学公式法，即直接使用组合数的计算公式进行计算。
这种方法适用于小规模的组合数计算，可以通过计算阶乘和求解差值来得到组合数的值。
3. 动态规划法。
在计算机算法中，组合数的计算可以采用动态规划法。
动态规划法的思路是将大问题分解成小问题，通过保存已计算的结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
具体实现方法是使用一个二维数组来保存已计算的组合数值，通过填表的方式逐步计算出所有的组合数值。
三、组合的应用。
1. 排列组合。
在排列组合问题中，组合数的计算是一个重要的环节。
排列组合问题涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，而不考虑元素的顺序。
组合数的计算可以帮助解决排列组合问题，从而得到所有可能的选择方式。
2. 概率统计。
在概率统计中，组合数的计算也是一个重要的内容。
概率统计问题涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，计算出发生某种事件的概率。
组合公式计算方法
组合公式计算方法在数学中，组合公式是一种用于计算组合数的公式，它可以帮助我们快速准确地求解组合问题。
组合公式的应用非常广泛，涉及到概率、统计、排列组合等各个领域。
本文将介绍组合公式的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用组合公式。
首先，让我们来了解一下组合数的概念。
在数学中，组合数通常用C(n, m)来表示，表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数目。
计算组合数的公式为：C(n, m) = n! / (m! (n m)!)。
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n (n-1) (n-2) ... 1。
m!和(n-m)!分别表示m和(n-m)的阶乘。
接下来，我们来看一些组合公式的常见计算方法。
1. 直接利用组合公式计算。
对于一些简单的组合问题，可以直接利用组合公式进行计算。
例如，要求解C(5, 2)，我们可以直接套用组合公式进行计算：C(5, 2) = 5! / (2! (5 2)!) = 10。
通过直接套用组合公式，我们可以快速得出C(5, 2)的结果为10。
2. 利用递推公式计算。
在一些情况下，可以利用递推公式来简化组合数的计算。
递推公式的形式为：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)。
利用递推公式，我们可以将原问题转化为规模更小的子问题，从而简化计算过程。
3. 利用组合数的性质计算。
组合数有一些特性和性质，例如C(n, m) = C(n, n-m)，C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)等。
利用这些性质，我们可以在计算过程中简化问题，减少计算量。
4. 利用排列组合的思想计算。
在实际问题中，可以利用排列组合的思想来计算组合数。
例如，如果一个问题可以转化为从n个元素中取出m个元素的排列数，那么我们可以利用排列数的计算方法来求解组合数。
总结一下，组合公式的计算方法包括直接利用组合公式计算、利用递推公式计算、利用组合数的性质计算以及利用排列组合的思想计算。
数学的组合公式
数学的组合公式
【实用版】
目录
1.组合公式的定义与概念
2.组合公式的计算方法
3.组合公式的应用举例
4.组合公式的扩展与高级形式
正文
【1.组合公式的定义与概念】
组合公式，是组合数学中的一种重要公式，用于计算从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
组合数表示的是一种组合方式，即从 n 个元素中取出 m 个元素的方案数。
组合公式可以很好地解决这类问题，为计算组合数提供了一种简便方法。
【2.组合公式的计算方法】
组合公式的计算方法是：C(n,m) = n! / [(n-m)! * m!]。
其中，n! 表示 n 的阶乘，即 1*2*3*...*n。
【3.组合公式的应用举例】
例如，从 6 个苹果中选出 3 个，有几种选法？
根据组合公式，C(6,3) = 6! / [(6-3)! * 3!] = 20。
所以，从 6 个苹果中选出 3 个，共有 20 种选法。
【4.组合公式的扩展与高级形式】
组合公式还有许多扩展和高级形式，如二项式定理、排列组合公式等，可以解决更复杂的问题。
例如，二项式定理：(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 +...+ C(n,n) * a^0 * b^n。
组合排列的计算公式
组合排列的计算公式
组合排列的计算公式如下：
排列数公式（P）：P(n, m) = n! / (n - m)!，其中 n 是总元素数，m 是参与选择的元素个数，! 表示阶乘。
这个公式用于计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数。
组合数公式（C）：C(n, m) = n! / [(n - m)! * m!]，其中 n 是总元素数，m 是参与选择的元素个数，! 表示阶乘。
这个公式用于计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数。
在使用这些公式时，需要注意以下几点：
1、n 和 m 必须都是自然数，且 n ≥ m。
2、阶乘表示从 1 乘到给定的数，例如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
3、排列和组合的区别在于是否考虑元素的顺序。
排列考虑元素的顺序，而组合则不考虑。
通过运用这些公式，我们可以方便地计算出给定情况下排列和组合的个数。
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组合数公式
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组合数公式和变换技巧
组合变换技巧举例
组合数公式和变换技巧
组合变换技巧举例
[编辑本段]
组合数公式和变换技巧
一、组合数定义。
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
二、组合公式。
有时候也表示成：
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)
三、组合性质。
c(n,m)=c(n,n-m);
[编辑本段]
组合变换技巧举例。
有朋友给出了两道题：
1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
这两题都要用到一些技巧。
我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。
先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。
（我不会用求和的符号）
公式1：
C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
证明：方法1、可直接利用组合数的公式证明
方法2、（更重要的思路）
C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定一个。
则选出N个的方法中，包含这一个的有C（M-1，N-1）种，不包含这一个的有C（M-1，N）种。
因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
公式2：
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N）
证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。
则选出N个的方法可分类为：
包含1号的有C（M-1，N-1）种；
不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；。
不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种。
不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）
由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）
公式3：
S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）（P，Q）=N）
证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。
而公式里面的K表示选法中正品数量，
C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。
K 从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）
公式4（一种变换技巧）：
S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
证明：
S（K=0，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）
=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
公式5（公式4的同种）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）
证明：（类似上式）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）
公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。
例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
解：（本题利用公式3、4、5）
有K件次品的概率为：
P（K）=C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
E（X）
=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（14000，149-K）/C（15000，150）=1000*C（14999，149）/C（15000，150）
=10
D（X）
=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（1 5000，150）
=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C （15000，150）
=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，1 50）
-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，148）1000*999*C（998，K）*C（14000，148-K）/C（15000，15 0）
-19*S（K=0，149）*1000*C（999，K）*C（14000，149-K）/C（15000，150）
+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=1000*999*C（14998，148）/C（15000，150）
-19*1000*C（14999，149）/C（15000，150）+100
=138600/14999
=9.240616041
此题推广形式为：
设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《=P），求得到次品数的期望和方差？
E（X）=P*N/M
D（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）
+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2
例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K 次射中了，概率为：
P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
(以下暂时用W表示无穷大）
射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次
因此S（K=R，W）P（K）=1 （这是概率的特点）
即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1
以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。
E（X）
=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)
=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)
令K1=K+1，R1=R+1，则
E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)
利用以上公式得
E（X）=P/R
D（X）
=S（K=R，W）（K-R/P）^2*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）（K*K-2*K*R/P+R*R/P/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R) =S（K=R，W）[K*（K+1）-（K+2*K*R/P）+R*R/P/P]*C（K-1，R-1）*P^R*(1 -P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
-S（K=R，W）（K+2*K*R/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
+S（K=R，W）R*R/P/P*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=（推导过程同求E（X），略）
=R（R+1）/P/P-（2*R+P）*R/P/P+R*R/P/P
=（1-P）*R/P/P
相关课件见：/miaochuan1125。