组合数公式

组合数公式

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组合数公式和变换技巧

组合变换技巧举例

组合数公式和变换技巧

组合变换技巧举例

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组合数公式和变换技巧

一、组合数定义。

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示.

二、组合公式。

有时候也表示成：

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)

三、组合性质。

c(n,m)=c(n,n-m);

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组合变换技巧举例

。有朋友给出了两道题：

1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？

2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。

先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。（我不会用求和的符号）

公式1：

C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）

证明：方法1、可直接利用组合数的公式证明

方法2、（更重要的思路）

C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定一个。则选出N个的方法中，包含这一个的有C（M-1，N-1）种，不包含这一个的有C（M-1，N）种。

因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）

公式2：

S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N）

证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。

则选出N个的方法可分类为：

包含1号的有C（M-1，N-1）种；

不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；

。。。。。。

不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种

。。。。。。

不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）

由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此

S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）

公式3：

S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）（P，Q）=N）

证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，

C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K 从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。

因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）

公式4（一种变换技巧）：

S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）

证明：

S（K=0，N）K*C（M，K）

=S（K=1，N）K*C（M，K）

=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！

=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！

=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）

=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）

公式5（公式4的同种）

S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）

=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）

证明：（类似上式）

S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）

=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！

=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！

=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）

=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）

公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。

例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？

解：（本题利用公式3、4、5）

有K件次品的概率为：

P（K）=C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）

E（X）

=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（14000，149-K）/C（15000，150）=1000*C（14999，149）/C（15000，150）

=10

D（X）

=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（1 5000，150）

=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C （15000，150）

=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，1 50）

-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，148）1000*999*C（998，K）*C（14000，148-K）/C（15000，15 0）

-19*S（K=0，149）*1000*C（999，K）*C（14000，149-K）/C（15000，150）

+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=1000*999*C（14998，148）/C（15000，150）

-19*1000*C（14999，149）/C（15000，150）+100

=138600/14999

=9.240616041

此题推广形式为：

设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《=P），求得到次品数的期望和方差？

E（X）=P*N/M

D（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）

+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2

例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。

解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K 次射中了，概率为：

P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)

(以下暂时用W表示无穷大）

射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次

因此S（K=R，W）P（K）=1 （这是概率的特点）

即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1

以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。

E（X）

=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)

=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)

=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)

=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)

=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)

令K1=K+1，R1=R+1，则

E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)