上海杨浦实验学校 高一数学理月考试卷含解析

上海杨浦实验学校高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若一条直线和一个平面内无数条直线垂直，则直线和平面的位置关系是（）
A．垂直
B．平行
C．相交
D．平行或相交或垂直或在平面内
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用直线与平面的位置关系直接求解．
【解答】解：当一条直线和一个平面平行时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直；
当一条直线和一个平面相交时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直；
当一条直线和一个平面垂直时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直；
当一条直线在一个平面内时，这条直线和这个平面内无数条直线垂直．
故选：D．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
2. 在等差数列{a n}中，，则
A. 32
B. 45
C. 64
D. 96
参考答案：
B
【分析】
利用等差数列的性质列方程，解方程求得的值.
【详解】根据等差数列的性质有，故选B.
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查观察能力，属于基础题.
3. 在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（）
A．、都垂直于平面B．内存在不共线的三点到平面的距离相等
C．是内两条直线，且
D．是两条异面直线，且
参考答案：
D
4. 幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（）
A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（-∞，+∞）D．（-∞，0）
参考答案：
D
本题主要考查的是幂函数的图像与性质。

设幂函数为，因为图像过，所以。

由幂函数的性质：当时，在上是减函数。

又为偶函数，所以在上是增函数。

应选D。

5. 下列函数中，最小值为4的是（）
A． B.
C． D.
参考答案：
C
6. 下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是（）
A．y=2x B．y=﹣x3 C．D．
参考答案：
C
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可．
【解答】解：对于A，不是奇函数；
对于B，不是增函数；
对于C，既是奇函数又是增函数；
对于D，不是增函数；
故选：C．
7. sin（﹣）的值等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
C
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】要求的式子即 sin（﹣4π+），利用诱导公式可得，要求的式子即 sin =sin．
【解答】解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin =sin=，
故选C．
8. 已知集合M={0,1},P= {x|< <9,x Z} ,则M∩P=( )
A.｛-1，0｝
B.{1}
C.{0}
D.{0,1}
参考答案：
C
9. 已知函数f(x)＝，则f(－10)的值是( ).
A．－2 B．-1 C．0 D．2
参考答案：
D
略
10. 幂函数y=x a（α是常数）的图象（）
A．一定经过点（0，0）B．一定经过点（1，1）
C．一定经过点（﹣1，1）D．一定经过点（1，﹣1）
参考答案：
B 【考点】幂函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．
【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．故选B．
【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，求当时，的解析式
__________．
参考答案：
∵是奇函数，
∴．
时，
．
12. 函数f（x）=a x﹣1+4的图象恒过定点P，则P点坐标是．
参考答案：
（1，5）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据指数函数y=a x的图象恒过定点（0，1），即可求出P点的坐标．
【解答】解：函数f（x）=a x﹣1+4，
令x﹣1=0，解得x=1；
当x=1时，f（1）=a0+4=5；
所以函数f（x）的图象恒过定点P（1，5）．
即P点坐标是（1，5）．
故答案为：（1，5）．
【点评】本题考查了指数函数y=a x的图象恒过定点（0，1）的应用问题，是基础题目．
13. （5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm 2
）为 ．
参考答案：
80 cm 2
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．
分析： 由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积． 解答： 由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，
所以S 侧=4××8×5=80cm 2． 故答案为：80cm 2
．
点评： 本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查计算能力，正确判断几何体的特征是解题的关键．
14. 已知，a 与b 的夹角为60，则a+b 在a 方向上的投影为_________. 参考答案：
3
15. 已知点P 在线段AB 上，且|=4||，设=λ，则实数λ
的值为 ．
参考答案：
﹣3
【考点】线段的定比分点．
【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用． 【分析】点P 在线段AB 上，且||=4|
|，
=λ
，可得
=3
，且
与
方向相反，
即可得出．
【解答】解：∵点P 在线段AB 上，且||=4|
|，
=λ
，
∴
=3
，且
与
方向相反，
∴λ=﹣3． 故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于 ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；二倍角的余弦．
【分析】利用向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，得出1×（﹣1）+cosθ×2cosθ=0，化简整理即得．
【解答】解：∵=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，∴
=0，
即1×（﹣1）+cosθ×2cosθ=0， 化简整理得2cos 2θ﹣1=0， 即cos2θ=0 故答案为：0．
17. 若x 、y 满足约束条件 则的最大值为________．
参考答案：
9 【分析】
画出不等式组所表示的平面区域，作出直线x +y =0，平移该直线，当直线过点B (5，4)时，z 取得最大值，从而求得结果.
【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.
作出直线x+y=0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，z max=5+4=9.
所以本题答案为9.
【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，解题的关键是确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分10分）如图所示的四棱锥中，底面为菱形，平面，
为的中点，
求证：（I）平面；
（II）平面⊥平面.
参考答案：
证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OE.
∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO.
∵E为PC的中点，∴EO∥PA。

∵PA平面BDE,EO平面BDE,
∴PA∥平面BDE. ---------------------------------------5分
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵,∴BD⊥平面PAC,
∵BD平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD. --------------- ---------10分
19. 设集合，．（1）求集合；
（2）若不等式的解集为，求，的值．
参考答案：
解：，--------------------------------------2分
. --------------------------------------3分（1）. ---------------------------------------------5分
（2）. ---------------------------------------------6分
因为的解集为，
所以为的两根， -------------------------------8分
故，----------------------------------------------------------------------10分所以，．--------------------------------------------------------------------12分
略
20. 已知集合
，若，，
（1）用列举法表示集合和集合
（2）试求的值。

参考答案：
21. 已知集合M={f(x)|在定义域内存在实数，使得成立}. （1）函数是否属于集合M？说明理由.
（2）证明：函数.
（3）设函数，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）假设，则存在，使得………………2分
即，而此方程的判别式，方程无实数解，
所以，。

………………4分
（2）令，
则，………………………7分
又故，所以在上有实数解，也即存在实数，使得
成立，
所以，。

………………………9分
（3）因为函数，
所以存在实数，使得=+，…………………11分=，所以，，
令,则t>0,所以，，
由t>0得，即a的取值范围是.……………………14分
22. （12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=．
（Ⅰ）证明：CB1⊥BA1；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．
参考答案：
考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；证明题．
分析：（I）连接AB1，根据ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1；
（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1﹣ABA1的体积为．
解答：（I）连接AB1，
∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB1A1，
又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC⊥AB，
∴AC⊥平面ABB1A1，
∵BA1?平面ABB1A1，∴AC⊥BA1，
∵矩形AB B1A1中，AB=AA1，
∴四边形ABB1A1是正方形，
∴AB1⊥BA1，
又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，
∴BA1⊥平面ACB1，
∵CB1?平面ACB1，∴CB1⊥BA1；
（II）∵AB=2，BC=，
∴Rt△ABC中，AC==1
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=AC=1又∵AC∥A1C1，AC⊥平面ABB1A1，
∴A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高．
∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半
∴=AB2=2
三棱锥C1﹣ABA1的体积为V=××A1C1=．
点评：本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题．。