2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1.2 集合间的基本关系 作业

1.2集合间的基本关系
必备知识基础练
知识点一子集、真子集、集合相等
1.下列四个命题：
①空集没有子集；
②空集是任何一个集合的真子集；
③∅＝{0}；
④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
2．下列各式中，正确的个数是()
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅{0}；
⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝()
A．1 B．2
C．3 D．4
知识点二Venn图
4.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()
知识点三集合间的关系判断与应用
5.指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z)，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．
6．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A B ，则实数a 的取值范围是( )
A ．{a |a ≥2}
B ．{a |a ≤1}
C ．{a |a ≥1}
D ．{a |a ≤2}
关键能力综合练
一、选择题
1．集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )
A ．P ＝Q
B ．P Q
C ．P Q
D ．Q ∈P
2．集合A ＝{x |－1≤x <2，x ∈N }的真子集的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．8 D ．16
3．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋13，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k ＋13，k ∈Z ，则( )
A ．M ＝N
B ．M ⊆N
C ．N ⊆M
D ．无法判断
4．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( )
A ．4
B ．－2
C ．4或－2
D ．2
5．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6．(易错题)已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0,1或－1 二、填空题
7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪
y x ＝1，则A ，B
的关系是________．
8．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B⊆A 的实数m的值所组成的集合为________．
9．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝________.若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________.
三、解答题
10．(探究题)已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B⊆A，则实数a的值可能是()
A．－1 B．1
C．－2 D．2
2．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________．
3．(学科素养—数学抽象)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
(2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)．
1．2集合间的基本关系
必备知识基础练
1．解析：因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.
答案：A
2．解析：对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．答案：C
3．解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
答案：B
4．解析：x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示．
答案：B
5．解析：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A 与B之间无包含关系．
(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，集合Q与P都表示偶数集，∴P ＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B.
(5)∵B＝{x|x<5}，故A B.
6．解析：如图所示，A B，
所以a≤1.
答案：B
关键能力综合练
1．解析：由x ＋1≥0得x ≥－1，∴P ＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}，∴Q P .
答案：B 2．解析：A ＝{0,1}，其真子集为∅，{0}，{1}，共有22－1＝3(个)． 答案：A
3．解析：∵M 中：x ＝k 2＋1
3＝⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋13，k ＝2n ，n ∈Z ，n ＋56，k ＝2n ＋1，n ∈Z ，
N 中：x ＝k ＋13＝n ＋1
3，k ＝n ∈Z ，∴N ⊆M . 答案：C
4．解析：∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. 答案：C
5．解析：集合{0,1,2}的子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中含有偶数的子集有{0}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，所以集合A 的个数为6.故选A.
答案：A
6．解析：∵P ＝{x |x 2＝1}＝{1，－1}，Q ＝{x |ax ＝1}，Q ⊆P ，∴当Q 是空集时，有a ＝0显然成立；当Q ＝{1}时，有a ＝1，与题意相符；当Q ＝{－1}时，有a ＝－1，与题意相符．故满足条件的a 的值为0,1，－1.故选D.
答案：D
7．解析：A 中(x ，y )，x ∈R ，y ∈R ，所以A 表示直线y ＝x 上所有点构成的集合．B 中的x ≠0，所以B 表示直线y ＝x 上所有点构成的集合，但除去原点．∴B A .
答案：B A
8．解析：∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，又∵B ⊆A ，当m ＝0时，mx ＋1＝0无解，故B ＝∅，满足条件，若B ≠∅，则B ＝{－3}
或B ＝{2}，即m ＝13或m ＝－1
2，故满足条件的实数m ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，13，－12. 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，13，－12 9．解析：∵解方程x 2＋x ＝0，得x ＝－1或x ＝0, ∴集合A ＝{x ∈R |x 2＋x ＝0}＝{－1,0},
∵集合B 满足{0}B ⊆A, ∴集合B ＝{－1,0}． 答案：{－1,0} {－1,0}
10．解析：①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .
②当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
1a <x <2a .
又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1a ≥－1，
2
a ≤1，∴a ≥2.
③当a <0时，A ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2
a <x <1a .
∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ≥－1，
1
a ≤1，
∴a ≤－2.
综上所述，a 的取值范围为{a |a ≥2或a ≤－2或a ＝0}． 学科素养升级练
1．解析：因为集合A ＝{x |ax ≤2}，B ＝{2，2}，B ⊆A ，
若a ＝－1，A ＝[－2，＋∞)，符合题意，A 正确； 若a ＝1，A ＝(－∞，2]，符合题意，B 正确； 若a ＝－2，A ＝[－1，＋∞)，符合题意，C 正确； 若a ＝2，A ＝(－∞，1]，不符合题意，D 错误． 故选ABC. 答案：ABC
2．解析：因为A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0仅有一根，当a ＝0时，方程化为2x ＝0，A ＝{0}，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4－4a 2＝0，解得a ＝±1，此时A ＝{－1}或{1}，符合题意．综上所述a ＝0或a ＝±1.
答案：0或±1
3．解析：(1)对于任意实数b 都有A ⊆B ，当且仅当集合A 中的元素为1,2.
∵A ＝{a －4，a ＋4}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝1，
解方程组可知无解．
∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)易知，若A ⊆B ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧
a －4＝2，a ＋4＝
b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a －4＝
b ，a ＋4＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－6.
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．。