二次函数培优100题突破

二次函数培优100题突破
初三数学培优卷：二次函数考点分析培优
★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2
+bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2
+k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b
a ，2
44ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b a >0，即对称
轴在y
c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2
对称轴为2
2
1x x h +=
１.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个
单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2
-+=x y 则原二次函数的解析式为
２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2
相同，这个函数解析式为________。

３.如果函数1)3(2
32++-=+-kx x k y k k 是
二次函数,则k 的值是______
４.（08绍兴）已知点11
()x y ，，22
()x y ，均在抛物线2
1y x =-上，下列说法中正确的是（ ）
A ．若12y y =，则12
x x =
B ．若12x x =-，则12
y y =-
C ．若120x x <<，则12
y y >
D ．若120x x <<，则12
y y >
５.(兰州10) 抛物线c
bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322
--=x x y ，则b 、c 的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
★６.抛物线5)43()1(2
2
+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。

M ＝
７.二次函数52
-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。

且函数值有最小值，则m 的取值范围
是
8.函数2
45(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2
)13(-=x y 当x 时，Y
随X 的增大而增大 10.抛物线42
++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为
★11.已知二次函数2
)3(2--=x y ，
当X 取1x 和2
x 时函数值相等，当
X 取1x +2
x 时函数值为
12.若二次函数k ax y +=2
，当X 取
X1和X2（2
1x x ≠）时函数值相等,
则当X 取X1+X2时，函数值为
13.若函数2
)3(-=x a y 过（２.９）
点，则当X ＝４时函数值Y ＝
★14.若函数k h x y ---=2
)(的顶点在第二象限则，
h 0 ，k 0
15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点
求解析式？
16.将121222
--=x x y 变为n m x a y +-=2
)(的形式，则n m ⋅=_____。

★
18.如果抛物线y=x -6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14
19.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的
增大而减小，则k 的值应取
（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0<b ，则二次函数12
-+=bx x y 的图象的顶点在 （ A ） （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 21.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0 ★22.已知二次函数)1(3)1(2
-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为 23.二次函数432
--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。

25.已知二次函数222
--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是
26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。

27.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____
28.若二次函数3622
+-=x x y 当X 取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则X1+X2= 29.若抛物线2
2y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤
30.抛物线y= (k 2-2)x 2
+m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -2
1+2上，求函数解析式。

31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

32.y= ax 2+bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式
32. ★★★★★抛物线562
-+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D
(1)求△ABC 的面积。

33(2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。

求M 点坐标(得分点的把握)
34（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
35(4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由
二次函数图象与系数关系+增减性
36.二次函数c bx ax y +-=2
图象如下，则a,b,c 取值范围是
37已知y=ax 2
+bx+c 的图象如下，
则：a____0 b___0 c___0
a+b+c____0，
a-b+c__0。

2a+b____0 b 2
-4ac___0 4a+2b+c 0
38.二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示． 有下列结论： ①2
40b ac -<； ②0ab >； ③0a b c -+=； ④40a b +=；
⑤当2y =时，x 等于0．
⑥02
=++c bx ax 有两个不相等的实数根
⑦22
=++c bx ax 有两个不相等的实数根
⑧0102
=-++c bx ax 有两个不相等的实数根
⑨42
-=++c bx ax 有两个不相等的实数根
其中正确的是（ ）
39.（天津市）已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，下列结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）。

A. 2个
x
B. 3个
C. 4个
D. 5个
40.小明从右c bx ax y ++=2
，
时，0y >，⑤当0<）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
41.已知二次函数c bx ax y ++=2
，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．
42.直已知y=ax 2
+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。

43.若),4
1
(),,45(),,413(3
21y C y B y A --为二次函数
245
y x x =+-的图象上的三
点，则1
y ，2y ，3
y 的大小关系是
（ ）
A ．123y y y <<
B ．213
y y y << C ．312y y y << D ．132
y y y <<
44.在同一平面直角坐标系中，
一
y =
45.二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则直线y =不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
46.抛物线y=ax 2如图，则 （ ）
（A ）（B ） ab+1=c （C ）bc+1=a （D ）以上都不是
ＡＢＣＤ
47.已知二次函数y=a 2
x +bx+c,且a ＜0,a-b+c ＞0,则一定有（ ） Ａ 2
4b ac - ＞0 Ｂ2
4b ac -＝０ Ｃ2
4b ac -＜０ Ｄ2
4b ac -≤０ 48.若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) （A ）0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<1 49.（10包头）已知二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且1
12x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．
50.（10 四川自贡）y=x 2
＋（1－a ）x ＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大
值，则实数a 的取值范围是
（ ）。

A ．a=5
B ．a ≥5
C ．a
＝3 D ．a ≥3
51.y=ax +bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax 2+bx+c>0的解是____________;
ax 2
+bx+c<0的解是
____________
52.已知二次函数
y=x 2
+mx+m-5，求证①不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两
个交点；②当m 取何值时，抛
物线与x 轴两交点之间的距离
最短。

53.如果抛物线y=21x 2-mx+5m 2
与x 轴有交点，则m______
54.（大连）右图是二次函数
y 1=ax 2
+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的
图像，•观察图像
写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．
55. （10山东潍坊）已知函数
y 1＝x 2
与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）． A.－32
＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－32
C ．－2＜x ＜32
D ． x ＜－2或x ＞32
56. （10江苏 镇江）实数X,Y
满足0332
=-++y x x 则X+Y 的最大值为 .
57.（10山东日照）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 .
形积专题１.
58.(中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

59.(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC
是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。

若没有，请说明理由
60.(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E 点的坐标？61.(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H。

当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？
62.(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？
63.(6)若圆P过点ABD。

求圆心P的坐标？
64.(09武汉)如图，抛物线
24
y ax bx a
=+-经过(10)
A-，、(04)
C，两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点(1)
D m m+
，在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
65. 已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C 两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。

66.(08湛江)如图所示，已知抛物线21
y x
=-与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C．
求A、B、C三点的坐标．
过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
67.在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
二次函数极值问题
68.二次函数2
y ax bx c =++中，2
b a
c =，且0x =时4y =-，则（ ） A.4y =-最大 B.4y =-最小 C.3y =-最大
D.3
y =-最小
69.已知二次函数2
2)3()1(-+-=x x y ，当x ＝_________时，函数达到最小值。

70.（2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A.最大值
B..最大值
C.最小值
D.有最小值
71.若二次函数2
()y a x h k =-+的值
恒为正值, 则 _____.
A. 0,0a k <>
B. 0,0a h >>
C. 0,0a k >>
D. 0,0a k << 72.函数92
+-=x y 。

当-2<X<4时函数的最大值为
73.若函数322
-+=x x y ，当24-≤≤-x 函数值有最
值为
二次函数应用利润问题
74.（2007年贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分） （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/
箱）之间的函数关系式．（3
分）
（3）当每箱苹果的销售价为多
少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？（4分）
75随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润
1
y与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润
2
y与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的
单位：万元）
（1）分别求出利润
1
y与2y关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树
木，他至少获得多少利
润？他能获取的最大利润
是多少？
76.（09洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元∕件）
与每天销售量y（件）之间满足如图3-4-14所示关系．
（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；
（2）①试求出y与x之间的函数关系式；
②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。

77.（泰安）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬
D
C
B
A
25m
贴菜农若干元．经调查，种植亩数y （亩）与补贴数额x （元）之间大致满足如图3-4-13①所示的一次函数关系．随着补贴数额x 的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z （元）会相应降低，且z 与x 之间也大致满足如图3-4-13②所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？ （2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y 和每亩蔬菜的收益z 与政府补贴数额x 之间的函数关系式； （3）要使全市这种蔬菜的总收益w （元）最大，政府应将每亩补贴数额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．
二次函数应用几何面积问题与最大最小问题
78.（韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym ².
求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
79.若要在围成我矩形绿化带要在中间加一道栅栏，写出此时Y 与X 之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围。

当X 为何值时，绿化带的面积最大？
二次函数与四边形及动点问题80.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D 运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PD Q的面积达到最大，并求出最大值；
81.（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PD Q M是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. 82.如图: 在一块底边BC长为80㎝、BC边上高为60㎝的三角形ABC铁板上截出一块矩形铁板EFGH , 使矩形的一边FG 在BC边上, 设EF的长为x㎝, 矩形EFGH的面积为y2cm. (1) 试写出y与x之间的函数关系式 (2) 当x取何值时, y 有最大值? 是多少?
83.（09·泰安）如图3-4-29所示，矩形ABCD中，AB=8，
BC=6，P是线段BC上一点（P 不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为。

84.如图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点D 、E分别在线段BC、AC上（点D与点B、C不重合），且∠ADE=600. 设BD=x,CE=y.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
C
E
D
B
A
85.已知：如图，直角梯形ABCD
中，AD BC
∥，90
A
∠=，10
BC CD
==，
4
sin
5
C=(DM/CD=4/5)
(1)求梯形ABCD的面积；
(2)点E F，分别是BC CD
，上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度
同时出发，连接EF．求EFC
△面积的最大值，并说明此时E F，的位置．
86.（08兰州）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．
（1）在边上取一点，将纸A
B
D
F
N
片沿翻折，使点落在边上
的点处，求两点的坐标；
87.（2）如图19-2，若上有
一动点（不与重合）自点
沿方向向点匀速运动，运动
的速度为每秒1个单位长度，
设运动的时间为秒（），
过点作的平行线交于点
，过点作的平行线交于
点．求四边形的面积与
时间之间的函数关系式；当
取何值时，有最大值？最大值
是多少？
88（3）在（2）的条件下，当
为何值时，以为顶点的三
角形为等腰三角形，并求出相
应的时刻点的坐标．
89.（2010湖南长沙）如图，
在平面直角坐标系中，矩形
OABC的两边分别在x轴和y轴
上，82,8
OA cm OC cm
==，现有两动
点P、Q分别从O、C同时出发，
P在线段OA上沿OA方向以每
2的速度匀速运动，Q在
线段CO上沿CO方向以每秒1cm
的速度匀速运动．设运动时间
为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的
面积S；
90.（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
91.（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线2
14
y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．
92.如图在△ABC 中，AB 与BC
垂直。

AB=12.BC=24.动点P 从点A 开始沿AB 方向向B 点以2/S 的速度运动。

动点Q 从B 点开始沿BC 向C 点以4/S 的速度运动，如果P 、Q 分别同时从AB 出发。

（1）如果△PBQ 的面积为S ，写出S 与运动时间t 的关系式及t 的取值范围。

当t 为何值时面积S 最大，最大是多少？ （2）在P 、Q 运动过程中当t 为何值时△PQB 与△ABC 相似
93.（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EF BC ；（2）
设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；
94.（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．。