高二数学开学检测考试试题 理 试题

临洮县第二中学2021-2021学年高二数学开学检测考试试题 理
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

2()2v t t t =-+，质点做直线运动，那么它在[]1 2，
时间是内的位移为〔 〕 A ．17
6 B ．143 C ．
136
D ．
116
2
()ln f x x x
=+，那么〔 〕 A ．1
2
x =为()f x 的极大值点 B ．1
2
x =
为()f x 的极小值点 C ．2x =为()f x 的极大值点 D ．2x =为()f x 的极小值点
,a b 为实数，假设复数12i a b a b i ，那么〔 〕
A ．31,22a b
B ．3,1a b
C ．13,2
2
a
b
D ．1,3a
b
4.曲线2y x =在点(1,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔 〕 A ．
1
4
B ．
12
C ．1
D ．2
5.函数()ln f x x =+，那么有〔 〕 A ．(2)(e)(3)f f f << B ．(e)(2)(3)f f f << C ．(3)(e)(2)f f f << D ．(e)(3)(2)f f f <<
6.在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC 对应的复数是68i +，BD 对应的复数是46i -+，那么DA 对应的复数是〔 〕 A ．214i + B ．17i + C ．214i -
D ．17i --
7.数列1，1，2，3，x ，8，13，21，…中的x 的值是〔 〕 A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8.函数()e [0,4]x f x x -=在上的最大值为〔 〕 A ．0
B ．1
e
C ．
24
e
D ．
22e
9.用数学归纳法证明“2
2
1
*11(1,)1n n a a a a a n a
++-++++=≠∈-N …〞，在验证1n =成立时，左边=〔 〕
A ．1
B ．1a +
C ．21a a ++
D ．231a a a +++
10.3是无理数〞时，假设正确的选项是〔 〕
A 是有理数
B
C
D 3是有理数
11.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的〞中的“小前提〞是〔 〕 A ．①
B ．②
C ． ①②
D ．③
12.下面是关于复数2
1i
z =-+的四个命题，其中的真命题为〔 〕 1:||2P z = 22:2i P z =
3:P z 的一共轭复数为1i + 4:P z 的虚部为1-
A ．23,P P
B ．12,P P
C ．24,P P
D ．34,P P
二 填空题
13.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 ． 14.函数2()ln(1)2
x
f x x x =+-
+的单调递增区间是 ． 15.(0)a b μ∈+∞，，，且1
91a
b
+=，那么使得a b μ+≥恒成立的μ的取值范围是 ． 16．假设不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2
＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为
______________． 三 解答题
17 a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1
ab
≥8；
(2)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9． 18.点(0,1)M -、(0,1)F ，过点M 的直线l 与曲线31
443y x x =-+在2x =处的切线平行．
〔1〕求直线l 的方程．
〔2〕求以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线C 的方程．
19 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |． 20.f 〔x 〕＝|x －a |＋|x －3|.
〔1〕当a ＝1时，求f 〔x 〕的最小值；
〔2〕假设不等式f 〔x 〕≤3的解集非空，求a 的取值范围．
21 圆C ：x 2
＋y 2
＝1经过变换⎩
⎨⎧x ′＝2x
y ′＝2y 得到曲线C 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l 的极坐标为ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12.
(1)写出C 1的参数方程和l 的普通方程．
(2)设点M (1，0)，直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，求|MA |·|MB |与|AB |.
22在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ〔θ为参数〕，直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t
〔t 为参数〕．
〔1〕假设a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
〔2〕假设C 上的点到l 间隔 的最大值为17，求A ．
参考答案
1.【解析】质点在[]1 2，
时间是内的位移为22322111117
(2)d 2326t t t t t t ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭
⎰． 【答案】A 2.【解析】∵2()ln f x x x =
+(0)x >，∴221
()f x x x
'=-+． 由()0f x '=解得2x =．
当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数． ∴2x =为()f x 的极小值点． 【答案】D
3.【解析】由12i a b a b i 可得
1,
2,
a b a
b 解得31
,22
a b ．应选A ． 【答案】A
4.【解析】0(1)lim
x y f x
∆→∆'=∆
200(1)1lim lim(2)2x x x x x
∆→∆→+∆-==+∆=∆． 那么曲线在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-， 即21y x =-．
那么三角形的面积为1111224S =⨯⨯=．
【答案】A
5.【解析】因为在定义域(0,)+∞上1
()0
f x x
'=>， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以有(2)(e)(3)f f f <<． 应选A ． 【答案】A
6.【解析】根据向量的平行四边形法那么可得DA DC DB +=，DC DA AC -=， 由AC 对应的复数是68i +，BD 对应的复数是46i -+， 根据复数加减法的几何意义可得DA 对应的复数是17i --． 【答案】D
7.【解析】采用归纳猜测寻找规律，1＋1＝2，1＋2＝3，…，8＋13＝21，所以2＋3＝x ，所以x ＝5．应选B ． 【答案】B 8.【解析】1()e
x
x
f x -'=
， 令()01f x x '==得．
当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 的最大值为(1)f =1
e ．
【答案】B
9.【解析】因为左边式子中a 的最高指数是1n +， 所以当1n =时，a 的最高指数为2，
根据左边式子规律可得，当1n =时，左边21a a =++． 【答案】C
10.3不是无理数，即3是有理数．
【答案】D
11.【解析】①是“大前提〞，②是“小前提〞，③是结论．应选B ． 【答案】B 12.【解析】∵21i z =
-+2(1i)1i (1i)(1i)
--==---+--，
∴||z =22i z =，z 的一共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-． 即24,P P 是真命题． 【答案】C 填空题
13.【解析】先求出切线的斜率，然后利用点斜式求切线的方程． 323[(1)(1)3]323()()y x x x x x ∆=+∆-+∆+-=∆+∆+∆，
那么23
223()()23()y x x x x x x x
∆∆+∆+∆==+∆+∆∆∆，
所以曲线在点(1,3)处的切线斜率20
lim[23()]2x k x x ∆→=+∆+∆=，
故切线方程为32(1)y x -=-， 即210x y -+=． 【答案】210x y -+=
14.【解析】2
222
1(2)(2)2(2)12(2)2()(1)1(2)1(2)(1)(2)x x x x x x x f x x x x x x x x '+-+'+-''=+-=-=++++++． 在定义域(1,)-+∞
内，()0f x '>恒成立， 所以函数的单调递增区间是(1,)-+∞． 【答案】(1,)-+∞
15.【解析】∵(0)a b ∈+∞，，且191a
b
+=，
∴a b +=199()()10(
)1016a b
a b a b a
b
b a
+++=+++≥≥， ∴a b +的最小值为16，
∴要使a b μ+≥恒成立，需16016μμ≥，∴＜≤． 【答案】(016]， 16 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，12
解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x －1，x <－2，
－x ＋3，－2≤x <12，
3x ＋1，x ≥1
2
.
当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>5
2
，y ≤5；
当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a
2
＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋1
2
a ＋2.
解不等式52≥a 2
＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，
故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.
解答题
17 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1
ab
＝1a ＋1b ＋a ＋b ab
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b
＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫b a ＋a
b ＋4
≥4
b a ·a
b
＋4＝8 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， ∴1a ＋1b ＋1
ab
≥8．
(2)∵⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1
ab
＋1，
由(1)知1a ＋1b ＋1
ab
≥8．
∴⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9．
18.【解】〔1〕∵33223111()4()4(44)()()4333y x x x x x x x x x x x x ∆=+∆-+∆+--+=∆+∆+∆-∆，
∴22201
lim(4())43
x y x x x x x ∆→'=-+∆+∆=-，
∴2|0x y ='=，
∴直线l 的斜率为0，其直线方程为1y =-． 〔2〕∵抛物线以点(0,1)F 为焦点，1y =-为准线， ∴设抛物线方程为22x py =， 那么
1,22
p
p ==． 故抛物线C 的方程为24x y =．
19 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ，x ≤－1
2
，
1，－12<x <1
2，
2x ，x ≥12
.
当x ≤－1
2时，
由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1； 当－12<x <1
2
时，
f (x )<2恒成立；
当x ≥1
2
时，
由f (x )<2得2x <2，解得x <1． 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2
－(1＋ab )2
＝a 2
＋b 2
－a 2b 2
－1＝(a 2
－1)·(1－b 2
)<0． 因此|a ＋b |<|1＋ab |．
20.解：〔1〕当a ＝1时，f 〔x 〕＝|x －1|＋|x －3|≥|〔x －1〕－〔x －3〕|＝2，
故f 〔x 〕的最小值为2，当且仅当1≤x ≤3时获得最小值．
〔2〕f 〔x 〕＝|x －a |＋|x －3|≥|〔x －a 〕－〔x －3〕|＝|3－a |，假设不等式f 〔x 〕≤3的解集非空， 那么|3－a |≤3， 即－3≤3－a ≤3， 因此0≤a ≤6，
所以a 的取值范围是[0，6]．
21 [解] (1)由得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′22x ′2
4
＋y ′2
2＝1，
即C 1：x 24＋y 2
2
＝1.
即C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α
y ＝2sin α
(α为参数)．
由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12得 12ρcos θ －32ρsin θ＝1
2. 那么l 的普通方程为x －3y －1＝0.
(2)点M (1，0)在直线l ：x －3y －1＝0上，直线l 的倾斜角为π6.
所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3
2
t y ＝12t (t 为参数)．
代入C 1：x 24＋y 2
2＝1得
5t 2
＋43t －12＝0，
所以t 1t 2＝－125，t 1＋t 2＝－43
5，
所以|MA |·|MB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝12
5.
|AB |＝|t 1－t 2|＝〔t 1＋t 2〕2
－4t 1t 2
日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－4352－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝1225， 所以|MA |·|MB |＝125，|AB |＝1225
. 22解：〔1〕曲线C 的普通方程为x 29
＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －3＝0，x 2
9＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或者⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425.
从而C 与l 的交点坐标为〔3，0〕，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425. 〔2〕直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点〔3cos θ，sin θ〕到l 的间隔 为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17
. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917
. 由题设得a ＋917
＝17，解得a ＝8； 当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117
. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16. 综上，a ＝8或者a ＝－16.
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。