高二数学开学检测考试试题 理 试题
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临洮县第二中学2021-2021学年高二数学开学检测考试试题 理
制卷人:打自企; 成别使; 而都那。
审核人:众闪壹; 春壹阑; 各厅…… 日期:2022年二月八日。
2()2v t t t =-+,质点做直线运动,那么它在[]1 2,
时间是内的位移为〔 〕 A .17
6 B .143 C .
136
D .
116
2
()ln f x x x
=+,那么〔 〕 A .1
2
x =为()f x 的极大值点 B .1
2
x =
为()f x 的极小值点 C .2x =为()f x 的极大值点 D .2x =为()f x 的极小值点
,a b 为实数,假设复数12i a b a b i ,那么〔 〕
A .31,22a b
B .3,1a b
C .13,2
2
a
b
D .1,3a
b
4.曲线2y x =在点(1,1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔 〕 A .
1
4
B .
12
C .1
D .2
5.函数()ln f x x =+,那么有〔 〕 A .(2)(e)(3)f f f << B .(e)(2)(3)f f f << C .(3)(e)(2)f f f << D .(e)(3)(2)f f f <<
6.在复平面内的平行四边形ABCD 中,AC 对应的复数是68i +,BD 对应的复数是46i -+,那么DA 对应的复数是〔 〕 A .214i + B .17i + C .214i -
D .17i --
7.数列1,1,2,3,x ,8,13,21,…中的x 的值是〔 〕 A .4
B .5
C .6
D .7
8.函数()e [0,4]x f x x -=在上的最大值为〔 〕 A .0
B .1
e
C .
24
e
D .
22e
9.用数学归纳法证明“2
2
1
*11(1,)1n n a a a a a n a
++-++++=≠∈-N …〞,在验证1n =成立时,左边=〔 〕
A .1
B .1a +
C .21a a ++
D .231a a a +++
10.3是无理数〞时,假设正确的选项是〔 〕
A 是有理数
B
C
D 3是有理数
11.三段论:“①只有船准时起航,才能准时到达目的港;②这艘船是准时到达目的港的;③所以这艘船是准时起航的〞中的“小前提〞是〔 〕 A .①
B .②
C . ①②
D .③
12.下面是关于复数2
1i
z =-+的四个命题,其中的真命题为〔 〕 1:||2P z = 22:2i P z =
3:P z 的一共轭复数为1i + 4:P z 的虚部为1-
A .23,P P
B .12,P P
C .24,P P
D .34,P P
二 填空题
13.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 . 14.函数2()ln(1)2
x
f x x x =+-
+的单调递增区间是 . 15.(0)a b μ∈+∞,,,且1
91a
b
+=,那么使得a b μ+≥恒成立的μ的取值范围是 . 16.假设不等式|2x -1|+|x +2|≥a 2
+12a +2对任意实数x 恒成立,那么实数a 的取值范围为
______________. 三 解答题
17 a >0,b >0,a +b =1,求证: (1)1a +1b +1
ab
≥8;
(2)⎝
⎛⎭⎪⎫1+1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1+1b ≥9. 18.点(0,1)M -、(0,1)F ,过点M 的直线l 与曲线31
443y x x =-+在2x =处的切线平行.
〔1〕求直线l 的方程.
〔2〕求以点F 为焦点,直线l 为准线的抛物线C 的方程.
19 函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -12+⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x +12,M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ;
(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |. 20.f 〔x 〕=|x -a |+|x -3|.
〔1〕当a =1时,求f 〔x 〕的最小值;
〔2〕假设不等式f 〔x 〕≤3的解集非空,求a 的取值范围.
21 圆C :x 2
+y 2
=1经过变换⎩
⎨⎧x ′=2x
y ′=2y 得到曲线C 1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,直线l 的极坐标为ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ+π3=12.
(1)写出C 1的参数方程和l 的普通方程.
(2)设点M (1,0),直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点,求|MA |·|MB |与|AB |.
22在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x =3cos θ,
y =sin θ〔θ为参数〕,直线l 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x =a +4t ,
y =1-t
〔t 为参数〕.
〔1〕假设a =-1,求C 与l 的交点坐标;
〔2〕假设C 上的点到l 间隔 的最大值为17,求A .
参考答案
1.【解析】质点在[]1 2,
时间是内的位移为22322111117
(2)d 2326t t t t t t ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭
⎰. 【答案】A 2.【解析】∵2()ln f x x x =
+(0)x >,∴221
()f x x x
'=-+. 由()0f x '=解得2x =.
当(0,2)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; 当(2,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数. ∴2x =为()f x 的极小值点. 【答案】D
3.【解析】由12i a b a b i 可得
1,
2,
a b a
b 解得31
,22
a b .应选A . 【答案】A
4.【解析】0(1)lim
x y f x
∆→∆'=∆
200(1)1lim lim(2)2x x x x x
∆→∆→+∆-==+∆=∆. 那么曲线在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-, 即21y x =-.
那么三角形的面积为1111224S =⨯⨯=.
【答案】A
5.【解析】因为在定义域(0,)+∞上1
()0
f x x
'=>, 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数, 所以有(2)(e)(3)f f f <<. 应选A . 【答案】A
6.【解析】根据向量的平行四边形法那么可得DA DC DB +=,DC DA AC -=, 由AC 对应的复数是68i +,BD 对应的复数是46i -+, 根据复数加减法的几何意义可得DA 对应的复数是17i --. 【答案】D
7.【解析】采用归纳猜测寻找规律,1+1=2,1+2=3,…,8+13=21,所以2+3=x ,所以x =5.应选B . 【答案】B 8.【解析】1()e
x
x
f x -'=
, 令()01f x x '==得.
当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表:
所以()f x 的最大值为(1)f =1
e .
【答案】B
9.【解析】因为左边式子中a 的最高指数是1n +, 所以当1n =时,a 的最高指数为2,
根据左边式子规律可得,当1n =时,左边21a a =++. 【答案】C
10.3不是无理数,即3是有理数.
【答案】D
11.【解析】①是“大前提〞,②是“小前提〞,③是结论.应选B . 【答案】B 12.【解析】∵21i z =
-+2(1i)1i (1i)(1i)
--==---+--,
∴||z =22i z =,z 的一共轭复数为1i -+,z 的虚部为1-. 即24,P P 是真命题. 【答案】C 填空题
13.【解析】先求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线的方程. 323[(1)(1)3]323()()y x x x x x ∆=+∆-+∆+-=∆+∆+∆,
那么23
223()()23()y x x x x x x x
∆∆+∆+∆==+∆+∆∆∆,
所以曲线在点(1,3)处的切线斜率20
lim[23()]2x k x x ∆→=+∆+∆=,
故切线方程为32(1)y x -=-, 即210x y -+=. 【答案】210x y -+=
14.【解析】2
222
1(2)(2)2(2)12(2)2()(1)1(2)1(2)(1)(2)x x x x x x x f x x x x x x x x '+-+'+-''=+-=-=++++++. 在定义域(1,)-+∞
内,()0f x '>恒成立, 所以函数的单调递增区间是(1,)-+∞. 【答案】(1,)-+∞
15.【解析】∵(0)a b ∈+∞,,且191a
b
+=,
∴a b +=199()()10(
)1016a b
a b a b a
b
b a
+++=+++≥≥, ∴a b +的最小值为16,
∴要使a b μ+≥恒成立,需16016μμ≥,∴<≤. 【答案】(016], 16 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-1,12
解析 设y =|2x -1|+|x +2|
=⎩⎪⎨
⎪⎧
-3x -1,x <-2,
-x +3,-2≤x <12,
3x +1,x ≥1
2
.
当x <-2时,y =-3x -1>5; 当-2≤x <12时,y =-x +3>5
2
,y ≤5;
当x ≥12时,y =3x +1≥52,故函数y =|2x -1|+|x +2|的最小值为52.因为不等式|2x -1|+|x +2|≥a
2
+12a +2对任意实数x 恒成立,所以52≥a 2+1
2
a +2.
解不等式52≥a 2
+12a +2,得-1≤a ≤12,
故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12.
解答题
17 证明:(1)∵a +b =1,a >0,b >0, ∴1a +1b +1
ab
=1a +1b +a +b ab
=2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a +1b =2⎝
⎛⎭
⎪⎫a +b a +a +b b
=2⎝
⎛⎭
⎪⎫b a +a
b +4
≥4
b a ·a
b
+4=8 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a =b =12时,等号成立, ∴1a +1b +1
ab
≥8.
(2)∵⎝
⎛⎭⎪⎫1+1a ⎝
⎛⎭⎪⎫1+1b =1a +1b +1
ab
+1,
由(1)知1a +1b +1
ab
≥8.
∴⎝
⎛⎭⎪⎫1+1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1+1b ≥9.
18.【解】〔1〕∵33223111()4()4(44)()()4333y x x x x x x x x x x x x ∆=+∆-+∆+--+=∆+∆+∆-∆,
∴22201
lim(4())43
x y x x x x x ∆→'=-+∆+∆=-,
∴2|0x y ='=,
∴直线l 的斜率为0,其直线方程为1y =-. 〔2〕∵抛物线以点(0,1)F 为焦点,1y =-为准线, ∴设抛物线方程为22x py =, 那么
1,22
p
p ==. 故抛物线C 的方程为24x y =.
19 解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
-2x ,x ≤-1
2
,
1,-12<x <1
2,
2x ,x ≥12
.
当x ≤-1
2时,
由f (x )<2得-2x <2, 解得x >-1; 当-12<x <1
2
时,
f (x )<2恒成立;
当x ≥1
2
时,
由f (x )<2得2x <2,解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ={x |-1<x <1}.
(2)证明:由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a +b )2
-(1+ab )2
=a 2
+b 2
-a 2b 2
-1=(a 2
-1)·(1-b 2
)<0. 因此|a +b |<|1+ab |.
20.解:〔1〕当a =1时,f 〔x 〕=|x -1|+|x -3|≥|〔x -1〕-〔x -3〕|=2,
故f 〔x 〕的最小值为2,当且仅当1≤x ≤3时获得最小值.
〔2〕f 〔x 〕=|x -a |+|x -3|≥|〔x -a 〕-〔x -3〕|=|3-a |,假设不等式f 〔x 〕≤3的解集非空, 那么|3-a |≤3, 即-3≤3-a ≤3, 因此0≤a ≤6,
所以a 的取值范围是[0,6].
21 [解] (1)由得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′22+⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′22x ′2
4
+y ′2
2=1,
即C 1:x 24+y 2
2
=1.
即C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos α
y =2sin α
(α为参数).
由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π3=12得 12ρcos θ -32ρsin θ=1
2. 那么l 的普通方程为x -3y -1=0.
(2)点M (1,0)在直线l :x -3y -1=0上,直线l 的倾斜角为π6.
所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3
2
t y =12t (t 为参数).
代入C 1:x 24+y 2
2=1得
5t 2
+43t -12=0,
所以t 1t 2=-125,t 1+t 2=-43
5,
所以|MA |·|MB |=|t 1|·|t 2|=|t 1t 2|=12
5.
|AB |=|t 1-t 2|=〔t 1+t 2〕2
-4t 1t 2
日期:2022年二月八日。
日期:2022年二月八日。
=
⎝ ⎛⎭⎪⎫-4352-4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-125=1225, 所以|MA |·|MB |=125,|AB |=1225
. 22解:〔1〕曲线C 的普通方程为x 29
+y 2=1. 当a =-1时,直线l 的普通方程为x +4y -3=0, 由⎩⎪⎨⎪⎧ x +4y -3=0,x 2
9+y 2=1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =3,y =0或者⎩⎪⎨⎪⎧ x =-2125,y =2425.
从而C 与l 的交点坐标为〔3,0〕,⎝ ⎛⎭
⎪⎫-2125,2425. 〔2〕直线l 的普通方程为x +4y -a -4=0, 故C 上的点〔3cos θ,sin θ〕到l 的间隔 为 d =|3cos θ+4sin θ-a -4|17
. 当a ≥-4时,d 的最大值为a +917
. 由题设得a +917
=17,解得a =8; 当a <-4时,d 的最大值为-a +117
. 由题设得-a +117=17,解得a =-16. 综上,a =8或者a =-16.
制卷人:打自企; 成别使; 而都那。
审核人:众闪壹; 春壹阑; 各厅…… 日期:2022年二月八日。