宁夏回族自治区银川一中高三数学上学期第三次月考试题

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银川一中2016届高三年级第三次月考
数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.不等式(1+x )(1-x )>0的解集是 A .{}
11<<-x x
B. {}
1<x x
C. {}
11>-<x x x 或
D. {}11-≠<x x x 且
2.等差数列}{n a 中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ,则此数列前20项和为 A .160
B .180
C .200
D .220
3.已知向量)2,1(-=x a ρ,()1,2=b ρ,则“0>x ”是“a ρ与b ρ
夹角为锐角”的 A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
4.对一切实数x ,不等式012
≥++x a x 恒成立,则实数a 的取值范围是
A .(-∞,-2)
B .[-2,+∞)
C .[-2,2]
D .[0,+∞) 5.命题
2:,10p x R ax ax ∀∈++≥,若p ⌝是真命题,则实数a 的取值范围是
A .(0,4]
B .[0,4]
C .(][)+∞⋃∞-,40,
D .()()+∞⋃∞-,40, 6.设点P ()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点,则
()()2
011cos2x
x ++的值为
D. 因为0x 不唯一,故不确定 7.已知x 、y 为正实数,且x ,a 1,a 2,y 成等差数列,x ,b 1,b 2,y 成等比数列,则2
1221)(b b a a +
的取值范围是
A .R
B .(]4,0
C .[)∞+,4
D .(][)∞+⋃∞-,40, 8.若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==则与一定满足 A.与的夹角等于βα- B.)(+⊥)(- C.a ∥b
D. a ⊥b
9.已知数列{}n a 的通项公式为n a =c
bn an
+,其中a 、b 、c 均为正数,那么n a 与1+n a 的大
小是
A .n a >1+n a
B . n a <1+n a
C . n a =1+n a D. 与n 的取值有关 10.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆
C 的方程为
A .042
2
=++x y x B . 0322
2=--+x y x C .042
2
=-+x y x
D . 0322
2
=-++x y x
11.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程 在下图
中纵轴表示该同学离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该
12.函数()x x x f πsin 21--=的所有零点之和等于
A.4
B. 5
C. 6
D. 7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎨⎧≤--≥-≥+2211
y x y x y x ,则目标函数y x
z +=2的最大值为
14.直线ax -y +1=0与连结A (2,3),B (3,2)的线段相交,则a 的取值范围是__
15.过点(1 2)M ,的直线l
与圆22:(3)(4)25C x y -+-=交于A 、B 两点,C 为圆心,当ACB ∠ 最小时,直线l 的方程是
16.已知m M 、分别是函数()bx ax x f -=5
+x sin +1的最大值、最小值,则
=+m M .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
已知函数)(2
1
cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--= (1)当⎥

⎤⎢⎣⎡-
∈125,12ππx 时,求函数
)(x f 的最小值和最大值;
(2)设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,,且0)(,3==C f c ,若向量
)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线,求b a ,的值.
18.(本小题满分12分)
设数列{}n a 的各项均为正数,它的前n 项的和为n S ,点(,)n n a S 在函数
2111
822
y x x =++的图像上;数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=.其中n N *∈.
(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设n n n a c b =
,求证:数列{}n c 的前n 项的和59
n T >(n N *
∈) 19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆C 与圆4)1(:22=++y x D 有公共点,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. (2)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; 20.(本小题满分12分)
已知圆C 过点P (1,1),且与圆M :
()()()02222
2
>=+++r r y x 关于直线02=++y x 对称。

(1)求圆C 的方程:
(2)设Q 为圆C 上的一个动点,求MQ PQ ⋅最小值; 21.(本小题满分12分)
已知函数2
()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈.
(1)设0a ≥,求)(x f 的单调区间;
(2)设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,正方形ABCD 边长为2,以D 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ,连结CF 并延长交AB 于点E .
(1)求证:AE EB =; (2)求EF FC ⋅的值.
23.(本小题满分10分)选修4—4:极坐标与参数方程
在直角坐标系xoy 中,直线l
的参数方程为14x y ⎧
=⎪⎪

⎪=⎪⎩
(t 为参数). 再以原点为极点,以x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位. 在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=.
(1)求圆C 的直角坐标方程;
(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ,若点M 的坐标为()2,1-,求MA MB +的值. 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知()35
2244
f x x x =-
++. (1)关于x 的不等式()2f x a a ≥-恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设,R m n +∈,且1m n +=
.
银川一中2016届高三第三次月考数学(文科)试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 答案 A
B A B D A
C B B C
B B
二.13. 10 14. ⎥⎦

⎢⎣⎡1,31 15. 03=-+y x 16. 2
三.17.解:(1)1)6
2sin(12cos 212sin 23)(--=--=π
x x x x f (3分) 由已知得3
26
23
ππ
π

-
≤-
x )(x f ∴最大值为0,最小值为12
3
--
(6分) (2)由0)(=C f 得C=
3
π
(8分) 由余弦定理的32
2
=-+ab b a (9分)
由m ,n 共线得B A sin sin 2=,即a b 2=(10分)
2,1==∴b a (12分)
18.解:⑴由已知条件得2111
822
n n n S a a =
++, ① 当2n ≥时,2111111
822
n n n S a a ---=++, ② ①-②得:221111()()82n n n n n a a a a a --=
-+-,即1111
()()4
n n n n n n a a a a a a ---+=+-,
∵数列{}n a 的各项均为正数,∴14n n a a --=(2n ≥),(3分) 又12a =,∴42n a n =-;(4分)∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=, ∴1112,4n n b b b +==,∴11
2()4
n n b -=⋅;(6分) ⑵∵1(21)4n n
n n
a c n
b -=
=-,(7分) ∴221
13454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ,
2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=
+⋅++-⋅+-⋅+-⋅L ,
两式相减得2
1
555
312(444)(21)4(2)4333
n n n n T n n --=++++--=---⋅<-L ,
(10分) ∴5
9
n T >
.(12分) 19.解:(1)∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4) 则圆C 的方程为:[]1)42()(2
2=--+-a y a x (2分)
因为圆C 与圆D
解得,a 的取值范围为:5分) (2)解:由⎩⎨
⎧-=-=1
4
2x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1
∴圆C 的方程为:1)2()3(2
2
=-+-y x (8分)
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx
∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者即3=y 或者01243=-+y x (12分)
20.解:(1)设圆心C (a,b ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+-12
20222
22a b b a 解得 a=0 b=0
所以圆C 的方程为222r y x =+ 将点P 的坐标代人得
2
2=r 所以圆C 的方程为
2
22=+y x
(2)设Q(x,y) 则
2
22=+y x
所以242
2
-+=-+++=•y x y x y x PQ
所以PQ •的最小值为 -4 (可由线性规划或三角代换求得)
(1)当0=a 时,()x
x f =
' ①若0≤b ,当0>x 时,()0<'x f 恒成立,所以函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0 ②若0>b ,当b
x 1
0<<时,()0<'x f ,函数()x f 的单调递减, 当b
x 1
>
时,()0>'x f ,函数()x f 的单调递增, 所以函数()x f 的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛b 1,0,单调递增区间是⎪⎭

⎝⎛+∞,1b .(2分)
(2)当0>a 时,()0='x f , 得0122
=-+bx ax ,
由082
>+=∆a b 得a
a
b b x a a b b x 48,482221++-=+--= 显然,0,021><x x
当20x x <<时,()0<'x f ,函数()x f 的单调递减, 当2x x >时,()0>'x f ,函数()x f 的单调递增,
所以函数()x f 的单调递减区间是⎪⎪⎭

⎝⎛++-a a b b 48,
02,单调递增区间是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞++-,482a a b b ,(4分) 综上所述
当0=a ,0≤b 时,函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0
当0=a ,0>b 时,函数()x f 的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛b 1,0,单调递增区间是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1b
当0>a 时,函数()x f 的递减区间是⎪⎪⎭

⎝⎛++-a a b b 48,
02,增区间是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞++-,482a a b b .(5分) (Ⅱ) 由0a >,且对于任意0x >, ()(1)f x f ≥,则函数()x f 在1=x 处取得最小值,
由(Ⅰ)知,a
a
b b 482++-是()x f 的唯一的极小值点,
故1482=++-a
a b b ,整理得 12=+b a 即a b 21-=.(7分)
令()x x x g ln 42+-=, 则()x
x
x g 41-='(8分)
令(),0='x g 得4
1
=x ,
当41
0<<x 时,(),0>'x g ()x g 单调递增;
当4
1
>x 时,(),0<'x g ()x g 单调递减.
因此()04ln 141ln 141<-=+=⎪⎭

⎝⎛≤g x g ,
故()0<a g ,即0ln 2ln 42<+=+-a b a a , 即b a 2ln -<(12分)
22. 解:(1)由以D 为圆心DA 为半径作圆,而ABCD 为正方形,∴EA 为圆D 的切线
依据切割线定理得2EA EF EC =⋅ ………………2分 另外圆O 以BC 为直径,∴EB 是圆O 的切线, 同样依据切割线定理得
2EB EF EC =⋅ ………………4分 故AE EB = ………………5分 (2)连结BF ,∵BC 为圆O 直径, ∴BF EC ⊥
在RT △EBC 中,有=
BF BE
BC EC
……………7分 又在Rt BCE ∆中,由射影定理得
2
EF FC BF ⋅
=2
45== ………………10分 23. 解:(1)由极坐标与直角坐标互化公式得
圆的直角坐标方程式为()2
224x y +-= ………………4分
(2)直线l 的普通方程为3y x =+,点M 在直线上.
l
的标准参数方程为21x y ⎧=-+
⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ ………………6分
代入圆方程得:210t -+=
设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t
,则12t t +=121t t = ………………8分 于是MA MB +=12t t
+12t t =+=. ………………10分 24. 解:(1)依据绝对值的几何意义可知函数()35
2244
f x x x =-++表示数轴上点P (2x )到点A (
34)和B (5
4
-)两点的距离,其最小值为()min 2f x = ………………3分 ∴不等式恒成立只需22a a ≥-,解得12a -≤≤ ………………5分 (2)∵()min 2f x =
.
()
22132
2m m ++≤
=+
;()2213
22
n n ++=+. ………………8分
33
3422
m n m n +
++=++
=
≤故要证明的不等式成立. ………………10分。

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