宁夏回族自治区银川一中高三数学上学期第三次月考试题

银川一中2016届高三年级第三次月考
数 学 试 卷（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．不等式（1+x ）(1-x ）>0的解集是 A ．{}
11<<-x x
B. {}
1<x x
C. {}
11>-<x x x 或
D. {}11-≠<x x x 且
2．等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和为 A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
3．已知向量)2,1(-=x a ρ，()1,2=b ρ，则“0>x ”是“a ρ与b ρ
夹角为锐角”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．对一切实数x ，不等式012
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．（-∞，-2）
B ．[-2，+∞)
C ．[-2,2]
D ．[0，+∞) 5．命题
2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是
A ．(0,4]
B ．[0,4]
C ．(][)+∞⋃∞-,40,
D ．()()+∞⋃∞-,40, 6．设点P ()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点，则
()()2
011cos2x
x ++的值为
D. 因为0x 不唯一，故不确定 7．已知x 、y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则2
1221)(b b a a +
的取值范围是
A ．R
B ．(]4,0
C ．[)∞+,4
D ．(][)∞+⋃∞-,40, 8．若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==则与一定满足 A.与的夹角等于βα- B.)(+⊥)(- C.a ∥b
D. a ⊥b
9．已知数列{}n a 的通项公式为n a =c
bn an
+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a 与1+n a 的大
小是
A ．n a >1+n a
B ． n a <1+n a
C ． n a =1+n a D. 与n 的取值有关 10．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆
C 的方程为
A ．042
2
=++x y x B ． 0322
2=--+x y x C ．042
2
=-+x y x
D ． 0322
2
=-++x y x
11．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程 在下图
中纵轴表示该同学离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该
12．函数()x x x f πsin 21--=的所有零点之和等于
A.4
B. 5
C. 6
D. 7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+2211
y x y x y x ，则目标函数y x
z +=2的最大值为
14．直线ax -y ＋1＝0与连结A (2,3)，B (3,2)的线段相交，则a 的取值范围是__
15．过点(1 2)M ，的直线l
与圆22:(3)(4)25C x y -+-=交于A 、B 两点，C 为圆心，当ACB ∠ 最小时，直线l 的方程是
16．已知m M 、分别是函数()bx ax x f -=5
+x sin +1的最大值、最小值，则
=+m M .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知函数)(2
1
cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--= （1）当⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-
∈125,12ππx 时，求函数
)(x f 的最小值和最大值；
（2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且0)(,3==C f c ，若向量
)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线，求b a ,的值.
18．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数
2111
822
y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a c b =
，求证：数列{}n c 的前n 项的和59
n T >（n N *
∈） 19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上. （1）若圆C 与圆4)1(:22=++y x D 有公共点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. （2）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； 20.（本小题满分12分）
已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：
()()()02222
2
>=+++r r y x 关于直线02=++y x 对称。

(1)求圆C 的方程：
(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求MQ PQ ⋅最小值； 21．（本小题满分12分）
已知函数2
()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈.
（1）设0a ≥，求)(x f 的单调区间；
（2）设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E .
（1）求证：AE EB =； （2）求EF FC ⋅的值.
23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为14x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）. 再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位. 在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知()35
2244
f x x x =-
++. （1）关于x 的不等式()2f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设,R m n +∈，且1m n +=
.
银川一中2016届高三第三次月考数学(文科)试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 答案 A
B A B D A
C B B C
B B
二．13. 10 14. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,31 15. 03=-+y x 16. 2
三．17.解：（1）1)6
2sin(12cos 212sin 23)(--=--=π
x x x x f （3分） 由已知得3
26
23
ππ
π
≤
-
≤-
x )(x f ∴最大值为0，最小值为12
3
--
（6分） （2）由0)(=C f 得C=
3
π
（8分） 由余弦定理的32
2
=-+ab b a （9分）
由m ，n 共线得B A sin sin 2=，即a b 2=（10分）
2,1==∴b a （12分）
18.解：⑴由已知条件得2111
822
n n n S a a =
++， ① 当2n ≥时，2111111
822
n n n S a a ---=++， ② ①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=
-+-，即1111
()()4
n n n n n n a a a a a a ---+=+-，
∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥），（3分） 又12a =，∴42n a n =-；（4分）∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=， ∴1112,4n n b b b +==，∴11
2()4
n n b -=⋅；（6分） ⑵∵1(21)4n n
n n
a c n
b -=
=-，（7分） ∴221
13454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，
2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=
+⋅++-⋅+-⋅+-⋅L ，
两式相减得2
1
555
312(444)(21)4(2)4333
n n n n T n n --=++++--=---⋅<-L ，
（10分） ∴5
9
n T >
．（12分） 19．解：（1）∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(2
2=--+-a y a x （2分）
因为圆C 与圆D
解得，a 的取值范围为：5分） （2）解：由⎩⎨
⎧-=-=1
4
2x y x y 得圆心C 为（3,2），∵圆C 的半径为1
∴圆C 的方程为：1)2()3(2
2
=-+-y x （8分）
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx
∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者∴所求圆C 的切线方程为：3=y 或者即3=y 或者01243=-+y x （12分）
20.解：（1）设圆心C （a,b ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+-12
20222
22a b b a 解得 a=0 b=0
所以圆C 的方程为222r y x =+ 将点P 的坐标代人得
2
2=r 所以圆C 的方程为
2
22=+y x
（2）设Q(x,y) 则
2
22=+y x
所以242
2
-+=-+++=•y x y x y x PQ
所以PQ •的最小值为 -4 （可由线性规划或三角代换求得）
（1）当0=a 时，()x
x f =
' ①若0≤b ，当0>x 时，()0<'x f 恒成立，所以函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0 ②若0>b ，当b
x 1
0<<时，()0<'x f ，函数()x f 的单调递减， 当b
x 1
>
时，()0>'x f ，函数()x f 的单调递增， 所以函数()x f 的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛b 1,0，单调递增区间是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1b .（2分）
（2）当0>a 时，()0='x f ， 得0122
=-+bx ax ，
由082
>+=∆a b 得a
a
b b x a a b b x 48,482221++-=+--= 显然，0,021><x x
当20x x <<时，()0<'x f ，函数()x f 的单调递减， 当2x x >时，()0>'x f ，函数()x f 的单调递增，
所以函数()x f 的单调递减区间是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-a a b b 48,
02，单调递增区间是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞++-,482a a b b ，（4分） 综上所述
当0=a ，0≤b 时，函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0
当0=a ，0>b 时，函数()x f 的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛b 1,0，单调递增区间是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1b
当0>a 时，函数()x f 的递减区间是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-a a b b 48,
02，增区间是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞++-,482a a b b .（5分） (Ⅱ) 由0a >，且对于任意0x >， ()(1)f x f ≥，则函数()x f 在1=x 处取得最小值，
由（Ⅰ）知，a
a
b b 482++-是()x f 的唯一的极小值点，
故1482=++-a
a b b ，整理得 12=+b a 即a b 21-=.（7分）
令()x x x g ln 42+-=， 则()x
x
x g 41-='（8分）
令(),0='x g 得4
1
=x ，
当41
0<<x 时，(),0>'x g ()x g 单调递增；
当4
1
>x 时，(),0<'x g ()x g 单调递减.
因此()04ln 141ln 141<-=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛≤g x g ，
故()0<a g ，即0ln 2ln 42<+=+-a b a a ， 即b a 2ln -<（12分）
22. 解：（1）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线
依据切割线定理得2EA EF EC =⋅ ………………2分 另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线， 同样依据切割线定理得
2EB EF EC =⋅ ………………4分 故AE EB = ………………5分 （2）连结BF ，∵BC 为圆O 直径， ∴BF EC ⊥
在RT △EBC 中，有=
BF BE
BC EC
……………7分 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得
2
EF FC BF ⋅
=2
45== ………………10分 23. 解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得
圆的直角坐标方程式为()2
224x y +-= ………………4分
（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上.
l
的标准参数方程为21x y ⎧=-+
⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ ………………6分
代入圆方程得：210t -+=
设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t
，则12t t +=121t t = ………………8分 于是MA MB +=12t t
+12t t =+=. ………………10分 24. 解：（1）依据绝对值的几何意义可知函数()35
2244
f x x x =-++表示数轴上点P （2x ）到点A （
34）和B （5
4
-）两点的距离，其最小值为()min 2f x = ………………3分 ∴不等式恒成立只需22a a ≥-，解得12a -≤≤ ………………5分 （2）∵()min 2f x =
.
()
22132
2m m ++≤
=+
；()2213
22
n n ++=+. ………………8分
33
3422
m n m n +
++=++
=
≤故要证明的不等式成立. ………………10分。