黑龙江省牡丹江一中2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学试卷（文
科）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．已知全集U=A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩（C U B）={2，4，6}，则集合B=（）A．{2，4，6}B．{1，3，5}
C．{1，3，5，7} D．{1，2，3，4，5，6，7}
2．已知x为实数，条件p：x2＜x，条件q：≥1，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）
A．（﹣3，1）∪（2，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
4．设，则（）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
5．已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）
A．a2＜b2B．ab＜b2C． +＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|
6．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最小值为（）
A．﹣4 B．0 C．D．4
7．已知函数f（x）=，则f（5）=（）
A．32 B．16 C．D．
8．已知函数f（x）=，若k＞0，则函数y=|f（x）|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf′
（x）＞0成立，若a=40.2f（40.2），b=（log43）f（log43），c=（log4）f（log4），则a，
b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．
C．D．
11．设函数f（x）=ax3﹣bx2，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x+1，
则当时，f（x）的取值范围是（）
A．B． C．[﹣，]D．
12．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值
是．
14．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围
是．
15．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，
其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．
16．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且
关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，总计70分）
17．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
19．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
20．已知函数f（x）=，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的范围．
21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜
率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．
22．已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．已知全集U=A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩（C U B）={2，4，6}，则集合B=（）A．{2，4，6}B．{1，3，5}
C．{1，3，5，7} D．{1，2，3，4，5，6，7}
【考点】补集及其运算；交集及其运算．
【分析】由A∩（C U B）={2，4，6}，根据交集定义M∩N表示既属于M又属于N的元素组成的集合，得到三个元素2，4，6属于集合B的补集，由补集的定义，根据全集U中的元素除去元素2，4，6，得到剩下的元素属于集合B，从而确定出集合B．
【解答】解：根据A∩（C U B）={2，4，6}，
得到：{2，4，6}⊆A，且{2，4，6}⊆C U B，
即元素2，4，6∉B，又全集U=A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，
则集合B={1，3，5，7}．
故选C．
2．已知x为实数，条件p：x2＜x，条件q：≥1，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由条件p成立能推出条件q成立，但由条件q成立不能推出由条件p成立，由此得出结论．
【解答】解：由条件p：x2＜x，可得x≠0，不等式两边同时除以x2可得1＜，故条件q：
≥1成立．
由条件q：≥1成立可得x＞0，且x≤1，不等式两边同时乘以x2可得x≥x2，不能推出
条件p：x2＜x成立．
故p是q的充分不必要条件，
故选A．
3．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）
A．（﹣3，1）∪（2，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
【考点】函数单调性的性质．
【分析】先计算f（1）的值，再按分段函数讨论求出不等式f（x）＞f（1）的解集．
【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=1﹣4+6=3；
当x≥0时，有x2﹣4x+6＞3，解得x＞3，或x＜1，即0≤x＜1，或x＞3；
当x＜0时，x+6＞3，解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜0；
综上，不等式f（x）＞f（1）的解集是：{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}；
故选：B．
4．设，则（）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点；对数的运算性质．
【分析】由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案．
【解答】解：∵，
∴=1，即0＜a＜1
且，即b＞1
，即c＜0
故c＜a＜b
故选C
5．已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）
A．a2＜b2B．ab＜b2C． +＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|
【考点】不等式的基本性质．
【分析】由于＜＜0，可得b＜a＜0，因此b2＞a2，ab＜b2，=2，
|a|+|b|=|a+b|，即可判断出．
【解答】解：∵＜＜0，
∴b＜a＜0，
∴b2＞a2，ab＜b2，=2，|a|+|b|=|a+b|，
因此只有D不正确．
故选：D．
6．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最小值为（）
A．﹣4 B．0 C．D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x﹣y得y=3x﹣z，
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，
此时z最小．
由，解得，
即A（1，3），
此时z=3﹣3=0，
故选：B．
7．已知函数f（x）=，则f（5）=（）
A．32 B．16 C．D．
【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】根据题设条件知f（5）=f（2）=f（﹣1）=2﹣1=．
【解答】解：f（5）=f（2）=f（﹣1）=2﹣1=．
故选C．
8．已知函数f（x）=，若k＞0，则函数y=|f（x）|﹣1的零点个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】问题转化成f（x）=1或f（x）=﹣1．当x＞0时，可解得x=e或；当x≤0时，
可解得或，即方程有4个根，则函数有4个零点．
【解答】解：由y=|f（x）|﹣1=0得|f（x）|=1，即f（x）=1或f（x）=﹣1．
当x＞0时，由lnx=1或lnx=﹣1，解得x=e或．
当x≤0时，由kx+2=1或kx+2=﹣1，解得或．
所以函数y=|f（x）|﹣1的零点个数是4个，
故选D．
9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf′
（x）＞0成立，若a=40.2f（40.2），b=（log43）f（log43），c=（log4）f（log4），则a，
b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】先确定xf（x）在（0，+∞）上是增函数，再确定变量的大小关系，即可得到结论．【解答】解：∵当x∈（0，+∞）时不等式f（x）+xf′（x）＞0成立，
∴（xf（x））′＜0，
∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴xf（x）是定义在R上的偶函数，
∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
∵|log4|＜40.2＜log43，
∴c＞a＞b．
故选：B．
10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】函数的图象．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f （x ）=y=2x 2﹣e |x|， ∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|， 故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e 2∈（0，1），故排除A ，B ； 当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x ， ∴f ′（x ）=4x ﹣e x =0有解，
故函数y=2x 2﹣e |x|在[0，2]不是单调的，故排除C ， 故选：D
11．设函数f （x ）=ax 3﹣bx 2，若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=﹣x +1，
则当时，f （x ）的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．[﹣，
] D ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】由求导公式和法则求出f ′（x ），由导数的几何意义和切线方程列出方程，联立后求出a 、b 的值，求出f （x ）、f ′（x ），由导数的符号求出函数的单调区间、极值，结合端点处的函数值求出函数的值域．
【解答】解：由题意得，f ′（x ）=3ax 2﹣2bx ， ∵在点（1，f （1））处的切线方程为y=﹣x +1，
∴f ′（1）=3a ﹣2b=﹣1，且f （1）=a ﹣b=0，解得a=b=﹣1， ∴f （x ）=﹣x 3+x 2，f ′（x ）=﹣3x 2+2x=x （﹣3x +2）， 由f ′（x ）=0得，x=0或x=，
∴当x ∈（﹣，0），（，）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（﹣，0），（，）上是减函数，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上是增函数，
∴函数的极小值是f（0）=0，极大值是f（）=，
∵f（）=，f（）=，
∴函数的最大值是，最小值是，即值域是，
故选D．
12．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】求导数，利用函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣
1＜x1＜1＜x2＜2，确定平面区域，根据斜率的几何意义，即可求得斜率的取值范围．
【解答】解：求导数可得：f'（x）=x2+2ax+2b∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f'（x）有两个零点
∵﹣1＜x1＜1＜x2＜2，∴﹣1＜﹣a＜2，∴﹣2＜a＜1 ①
又f'（﹣1）=﹣2a+2b+1＞0，即2a﹣2b﹣1＜0，②
f'（1）=2a+2b+1＜0，③
f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0 ④
在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示
直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率k=，表示可行域中动点M（a，b）与定点D（1，0）连线的斜率
由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=﹣
由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=
∴直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是
故选A．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．
【考点】基本不等式．
【分析】把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，
∵a＞0，b＞0．
∴==3+=，当且仅当，
b=时取等号．
故答案为．
14．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a|a
＞}．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，
再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，
∴1﹣2a＜0，解得a＞，
故答案为：{a|a＞}．
15．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，
其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．
【考点】分段函数的应用；周期函数．
【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）
的值．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）
=，
∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，
f（）=f（）=|﹣|=，
∴a=，
∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，
故答案为：﹣
16．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且
关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，）．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2﹣的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列
出不等式组解出．
【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log a（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴，解得≤a≤．
作出y=|f（x）|和y=2﹣的函数草图如图所示：
∵|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，
∴3a＜2，即a．
综上，．
故答案为[，）．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，总计70分）
17．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，建立方程组，即可求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为g（x）=﹣|x+3|+m≥0，
所以|x+3|≤m，所以﹣m﹣3≤x≤m﹣3，
由题意，所以m=2；…
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，
因为|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0时取等，
所以m＜5．…．
18．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；
（Ⅱ）利用分析法进行证明不等式．
【解答】解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．
∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6，
若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6，
即2x≥6，解得x≥3．
当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6，
即4≥6，此时不成立．
当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6，
即2x≤﹣6，即x≤﹣3．
综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
（II）要证，
只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，
只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2
而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a2＜1，b2＜1，
即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，
即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，
从而原不等式成立．
19．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1其中m＜0，对其进行求导，因为f（x）的单调增区间是（0，1），说明f′（x）≥0，在（0，1）上恒成立，从而求出m 的值；
（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（﹣1≤x≤1）图象上任意一点，切线斜率K=f′（x）=3m
﹣6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，将问题转化为3m﹣6（m+1）x0+6＞0在x0∈[﹣1，1]，
m＜0）则（g（x0））min＞0，再利用导数研究函数的最值问题，求m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因为f（x）的增区间是（0，1）
则f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集为（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m﹣6（m+1）+3m+6=0
解得m=﹣2
（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（﹣1≤x≤1）图象上任意一点
切线斜率K=f′（x）=3m﹣6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，
即3m﹣6（m+1）x0+6＞0在x0∈[﹣1，1]，m＜0）
设g（x0）=3m﹣6（m+1）x0+6，则g（﹣1）＞0且g（1）＞0，
即3m+6（m+1）+6＞0解得m＞﹣，又3m﹣6（m+1）+6＞0解得m＜0，
∴
综上所述：m的取值范围：（﹣，0）．
20．已知函数f（x）=，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）当x＞0时，f'（x）=2（e x﹣x+a）从而f'（1）=0，解出即可，（2）由题意得
到方程组，求出a的表达式，设（x＞0），再通过求导求出函数h（x）的最小值，
问题得以解决．
【解答】解：（1）当x＞0时，
f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，
f′（x）=2（e x﹣x+a），
∵y=f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即2（e﹣1+a）=0
解得：a=1﹣e，经验证满足题意，
∴a=1﹣e．
（2）y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，
即存在y=2e x﹣（x﹣a）2+3图象上一点（x0，y0）（x0＞0），
使得（﹣x0，﹣y0）在y=x2+3ax+a2﹣3的图象上
则有，
∴
化简得：，即关于x0的方程在（0，+∞）内有解
设（x＞0），则
∵x＞0
∴当x ＞1时，h'（x ）＞0；当0＜x ＜1时，h'（x ）＜0
即h （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
∴h （x ）≥h （1）=2e ，且x →+∞时，h （x ）→+∞；x →0时，h （x ）→+∞
即h （x ）值域为[2e ，+∞），
∴a ≥2e 时，方程在（0，+∞）内有解
∴a ≥2e 时，y=f （x ）的图象上存在两点关于原点对称．
21．设函数f （x ）=alnx +
x 2﹣bx （a ≠1），曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜
率为0，
（1）求b ；
（2）若存在x 0≥1，使得f （x 0）＜，求a 的取值范围． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a 分类讨论：当a
时，当a ＜1时，当a ＞1时，再利用导数研究函数的单
调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f ′（x ）=（x ＞0）， ∵曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，
∴f ′（1）=a +（1﹣a ）×1﹣b=0，解得b=1．
（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f （x ）=alnx +
，
∴
=．
①当a 时，则， 则当x ＞1时，f ′（x ）＞0，
∴函数f （x ）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜
的充要条件是，即，
解得
；
②当
a ＜1时，则， 则当x ∈
时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在上单调递减；
当x ∈时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在上单调递增．
∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜
的充要条件是，
而=+，不符合题意，应舍去．
③若a ＞1时，f （1）=，成立．
综上可得：a 的取值范围是
．
22．已知函数f （x ）=a x +b x （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）．
（1）设a=2，b=．
①求方程f （x ）=2的根；
②若对于任意x ∈R ，不等式f （2x ）≥mf （x ）﹣6恒成立，求实数m 的最大值； （2）若0＜a ＜1，b ＞1，函数g （x ）=f （x ）﹣2有且只有1个零点，求ab 的值．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．
【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．
（2）求出g （x ）=f （x ）﹣2=a x +b x ﹣2，求出函数的导数，构造函数h （x ）=+，求出g （x ）的最小值为：g （x 0）．同理①若g （x 0）＜0，g （x ）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g （x 0）＞0，利用函数g （x ）=f （x ）﹣2有且只有1个零点，推出g （x 0）=0，然后求解ab=1．
【解答】解：函数f （x ）=a x +b x （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）．
（1）设a=2，b=．
①方程f （x ）=2；即： =2，可得x=0．
②不等式f （2x ）≥mf （x ）﹣6恒成立，即
≥m （）﹣6恒成立． 令t=，t ≥2．
不等式化为：t 2﹣mt +4≥0在t ≥2时，恒成立．可得：△≤0或
即：m 2﹣16≤0或m ≤4，
∴m ∈（﹣∞，4]．
实数m 的最大值为：4．
（2）g （x ）=f （x ）﹣2=a x +b x ﹣2，
g ′（x ）=a x lna +b x lnb=a x [
+]lnb ，
0＜a ＜1，b ＞1可得
， 令h （x ）=+，则h （x ）是递增函数，而，lna ＜0，lnb ＞0，
因此，x0=时，h（x0）=0，
因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．
x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，
则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．
①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，
因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，
则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，
由g（0）=a0+b0﹣2=0，
因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．
可得ab=1．
2016年8月12日。