操作型问题选

操作型问题选
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
操作型问题选
操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程．不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台．操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题．
解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换. 注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力.
典型例题
例１如图9-1，在正方形网络上有一个△
（１）作△ABC 关于直线MN （不写作法）；
（２）若网络上的最小正方形的边长为1求△ABC 的面积.
（2003年浙江绍兴市中考试题） 分析：(1)观察图形,先作出点A 、B 、C 关于直线MN 的对称点A 1、B 1、C 1，连结A 1B 1、、 B 1C 1、C 1A 1得△A 1B 1C 1．
(2)Ｓ△ABC 等于点Ａ、Ｂ、Ｃ所在边的矩形面积与三个直角三角形面积和的差. 解：（1）作图（略）.
（2）此三角形面积为：Ｓ△ABC ＝2×3－2×（2
1×1×2）－2
1×1×3=6－2－2
3=2
5
说明：本题利用轴对称性质来作图. 常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来作图. 例2某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）. （2003年甘肃省中考试题）
分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：以正六边形的6个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案. 解：（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）.
说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案. 例3如图9-3
，把一个等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高CD （裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A ′BCD （见示意图a ）. (以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.) 探究一：
（1）想一想——判断四边形A ′
BCD 是平行四边形的依据是 ；
（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a ）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b ）中画出示意图.
中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形. （1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有 ，它们的裁剪线分别是 ； （2）画一画——请在图（c ）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图. （2003年浙江省丽水市中考试题）
分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.验和类比的方法来寻找答案. 解：探究一：
（1）CD A ′B （或A ′D BC 等）.
// = A ′
// =
图9-2
B
图9-3
(2)(只要画出图9-4（1），（2）之一的 示意图).
探究二：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形. 三角形ABC 的中位线（或一条三角形的中位线）（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成
2
：1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）
的线段”，才算正确.）
中（1）~. .解答此类问题，常用的..
例4阅读下面短文：如图9-6（1）所示，△ABC 是直角三角形，∠C=900，现在△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图9-6（2）所示）.
（1）设图9-6（2）所示矩形ACBD S 1、S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“=”、“＜”） （2）如图9-6（3）所示， △ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个 ，利用图9-6（3）把画出来.
（3（4ABC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图. （4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么
（2002年陕西省中考试题）
分析：（2）只能以AB 为一边，作一个矩形；（3）可以锐角△ABC 的三边作三个矩形；
图9-6
C 9-6
C A
（4）由（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S ，用S 与a 、b 、c 三边分别表示三个矩形的周长L 1、L 2、L 3，用作差法类比三个矩形的周长的大小.
解：（1）S 1=S 2；（2）一个（如图9-6（5））；（3）三个（如图9-6（6））；
(4)
. 设矩形L 1、L 2、L 3，
L 1=a S 2+2a ，L 2=b S
2+2b ，L 3=c S 2+2c.∵L 1－ L 2=a
S 2+2a －(b
S 2+2b)=2(a －b)·ab
S ab . 而ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－ L 2＞0，即L 1＞ L 2，同理L 2＞ L 3. ∴以
AB 为边的矩形周长最小.
说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）. 三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.
例5已知两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交A 、B 两点，⊙O 1经过O 2，点C 是AO 2B 上任一点（不与A 、O 2、B 重合），连结BC 并延长交⊙O 2于D ，连结AC 、AD.
(1) 图9-7（1）供操作测量用，（测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7（1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC 、CD 、AD 三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系 (2) 猜想结论（求证部分），并证明你的猜想，在补充完整图9-7（1）中进行证明. (3) 如图9-7（2），若C 点是BO 2的中点，AC 与O 1O 2相交于点E. 连接O 1C 、O 2C ，
求证CE 2= O 1O 2·E O 2.
分析：（1）画图测量，易得AC=CD=AD. （2）欲证△ACD 为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明△ACD 每一个内角都等于600
即可.（3）欲证CE 2
= O 1
O 1O 2C ∽△CO 2E. 解：（1）补充完整图形如图9-7（3），三条
线段AC 、CD 、AD 相等.
（2）结论：△ACD 是正三角形. 证明：连结AO 1、AO 2、BO 2、O 1O 2.
∵⊙O 1、⊙O 2是等圆，且⊙O 1过O 2点，
∴A O 2= O 1O 2=A O 1. ∴ ∠AO 2 O 1=600, ∴∠AO 2B=1200. ∴ ∠D=2
1∠AO 2B=2
1×1200=600. ∵∠ACB=∠AO 2B=1200,
∴∠ACD=600. ∴△ACD 是正三角形.
（3）（如图9-7（2））∵C 是BO 2的中点, ∴∠C O 1O 2=300. ∵∠ACO 2=300. ∴ ∠C O 1O 2=∠ACO 2∵∠O 1O 2C=∠CO 2E ∴ △O 1O 2C ∽△CO 2E. ∴C
O O O 221=2
2EO CO .
∵O 1O 2=O 1C ， ∴∠O 1O 2 C =∠O 1CO 2=∠CEO 2 ∴CO 2=CE. ∴CE 2= O 1O 2·E O 2.
说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向．．逐层进行. 例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图9-8（1）；
第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，
得Rt △A B ′E ，如图9-8（2）；
第三步：沿E B ′线折叠得折痕EF ，如图9-8（3）.
利用展开图9-8（4）探究：
（1） △AEF 是什么三角形证明你的结论.
（2） 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形请说明理由.
分析：（1）经过操作测量易判定△AEF 是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF 是正三角形；
(2) 不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a 与宽b 的关系，再按b ≤
2
3
a 、
2
3a ＜b ＜a 的情形分类讨论.
解：（1）△AEF 是正三角形.
证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA ，
∴B ′P 是Rt △A B ′E 斜边上的中线， ∴PA=P B ′，∠1=∠3. 又∵PN ∠BAF=2∠1+∠2=900， ∴∠1=∠2=300. ∴在Rt △A B ′E ，∠1+∠AEF=900，
∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF 是正三角形.
证法二：∵△ABE 与△A B ′E 完全重合， ∴△ABE ≌△A B ′E ，∠BAE=∠1. 由平行线等分线段定理知 ∴EB ′=B ′F. 又∠A B ′E=900，∴△AB ′E ≌△A B ′F ， AE=AF. ∴∠1=∠2=3
1∠BAD=300.∴△AEF 是正三角形.
（2）不一定.
由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF 的边AF 时，即 矩形的宽：长AB ：AF=sin600=3
：2时正好能
折出. 如果设矩形的长为a ，宽为b ,可知当b ≤2
3a 时，按此法一定能折出等边三角形；当
2
3a ＜b ＜a 时，按
此法无法折出完整的等边三角形.
说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等. 折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题
例7 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.
（1）如图9-9（1），在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的解析式.
(2)如图9-9（2），在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为 E ′. ①求折痕AD
所在直线的解析式. ②再作E ′F
12
1
（3）如图9-9（3），一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边
D ′G 1）中的情形验证你的猜想.
分析：（1）由折法易知：G （6，0求得折痕CG 的解析式为y=－x+6； （2）①由勾股定理易求得D E ′=3
10，则折痕AD 的
解析式为：y=－3
1x+3
10；
图9-9（1）
②由题意设F （2，y F ），点F 在AD 上，∴F 的坐标为（2，38），求出抛物线为y=－
12
1x 2+3. 再联立方程
组，判定直线AD 与抛物线只有一个交点.
解：（1）由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG=OC=6，∴G （6，0）、C （0，6）.设直线CG 的解析式为：y=kx+b ，则0=6k+b, 6=0+b. ∴k=－1,b=6 ∴直线CG 的解析式为：y=－x+6. (2) ①在Rt △ABE ′中，BE ′=
2
2610 =8，∴CE ′=2. 设OD=s ，则DE ′=s ，
CD=6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2=(6－s)2+22, s=3
10.则D （0，3
10）.
设AD ：y=k ′x+3
10.由于它过A （10，0），∴k ′=－3
1. ∴AD ：y=－3
1x+3
10.
②∵E ′F 31
310383
8F 在抛物线上，∴3
8=－
12
1×22+h. ∴抛物线的解析式为：y=－
12
1x 2+3.
将y=－3
1x+3
10代入y=－
12
1x 2+3. 得－
12
1x 2+3
1x －3
1=0. ∵△=(3
1)2－4×(－
12
1
)×(－3
1)=0. ∴直线AD 与抛物线只
一个交点.
（3） 例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y=－
12
1x 2+3只有一个交点；验证：在图1 中折痕为CG. 将y=
－x+6 代入y=－12
1x 2+3.得－
12
1x 2+x －3=0.
∵△=1－4 (－3)×(－
12
1
)=0, ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y=－
12
1x 2+3只有一个交点.
说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的（1）中的情形加以验证.若不用（1）中的情形验证，请猜想：D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么位置关系
【习题9】
1．只．利用一把有刻度．．．的直尺，用度量的方法，按下列要求画图： （1）在图9-10（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC 的对称轴：
①量出底边BC 的长度，将线段BC 二等分，即画出BC 的中点D ；
②画直线AD ，即画出等腰三角形ABC 的对称轴.
（2）在图9-10（2） 中画出∠AOB 的对称轴，并写出画图和方法.
（2003年江苏省南京市中考试题）
2．如图
和国道OB 在我市相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等且
论）.
(2003年湖南省湘谭市中考试题)
3.一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图9-12），现找出其中的一种，测得∠C=900，AB=BC=
4.今要从这种三角形中剪出一种扇形， 做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的. （2002年湖北省黄冈市中考试题）
4. 如图9-13，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草.下面左边的两个图案是设计示例，请你在右面的两个正方形中设计两个不同的图案. 示例： 请你设计：
图9-13 （2003年江苏省苏州市中考试题）
5. 已知，如图9-14，△ABC 中，AB=AC ，∠A=360.
O
图9-10
图9-11
仿照图（a ），请你再设计两种．．不同的分法，将△ABC 分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形. (图（b ）、图(c)供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出．．所分得的每个等腰三角形三个内角的度数). （2003年江苏省镇江市中考试题）
9-14
如图2cm
的的正方形剪成四个全等的直角三角形要求的图形（全部用上，互不
重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照右图按实际大
小画在方格纸内（方格为1cm×1cm ）.
(1)不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）. (3)梯形（一个）. (4)不是矩形和菱形的平行四边形（一个） (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）.
7.已知，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.
（1） 当点P 在AB 延长线上，如图9-16（1）时，连结AC ，作∠APC 的平分线，交AC 于D ，请你测量∠
CDP 的度数.
（2） 当点P 在AB 延长线上，如图9-16（2）和（3）所示时，连结AC ，请你分别在这两个圆中用尺规作∠
APC 的平分线（不写作法，保留痕迹），设此角平分线交AC 于点D ，然后在这两个图中分别测量出∠CDP 的度数.
猜想：∠CDP 的度数是否随点P 在AB 延长线上位置的变化而变化请对你加以证明. C A
图9-15
（2002年北京市要城区中考试题）
8. 操作：如图9-17，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），使三角尺的直角顶点与P 重合，并且一条直角边始终经过点B
E.探究：（1）观察操作结果，哪一个三角
形与△BPC 相似并证明你的结论；
（2）当点P 位于CD 的中点时，你找到的三角形与 △BPC 的周长比是多少 （2003年云南省昆明市中考试题）
【习题9】参考答案
1．（1）略；（2）画图略.画图方法：①利用有刻度的直尺，在∠AOB 的边OA 、OB 上分别截取OC 、OD ，使OC=OD. ②连结CD ，量出CD 的长，将线段CD 二等分，画出线段CD 的中点E. ③画直线OE.直线OE 即为∠AOB 的对称轴.
2．画图略.提示：作∠AOB 的平分线OP ，再作CD 的垂直平分线PQ 与OP 相交于点P.
∴点P 就是货站的位置.
3.
4．（任选图9-19中两个图案，答案不惟一.）
5
B B 图9-20
B
B
图9-
（4 （57.
CDP=450.猜想：∠CDP=450为确定值，∠CDP 的度数不随点
P 在AB 的延长线上位置的变化而变化.
(3)证明 如图9-16（3），连结CB ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900
，∴∠A+∠ABC=900又PC 为⊙O 的切线，∴∠A=∠PCB.又∵PD 平分∠APC ，∴∠BPD=∠CPD.又∵∠
ABC=∠APC+∠PCB ，∴2∠A+2∠BPD=900. ∠CDP=∠A+∠BPD=450.
8. 解：（1）如图9-21（1），另一条直角边与AD 交于点，则△PDE ∽△BCP.
的延长线交于点E ，同理可证（2）如图9-21（3），当点P 位于CD 的中点时，若另一条直角边与AD 交于点E ，则BC
PD =2
1 又∵△PDE ∽
△BCP ∴△PDE 和△BCP 的周长比是1：2. 或：如图9-21（4），若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证△PCE 与△BCP 的周长是1：2，或若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ∵BP
BE =
2
5
，又△BPE ∽
△BCP ，
∴△PCE 与△BCP 的周长比是
5
：2.。