对数函数(填空题)

对数函数（填空题）
1. 若函数()x f 的图象可由)1lg(+=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2
π
得到，则()x f 的解析式为_______________
2. 若函数f (x )=lg (10x
+1)+ax 是偶函数，g (x )=x
x b
2
4-是奇函数，则a+b 的值是 3. 设函数f (x )=lg (x 2+ax-a +1)，给出下述命题：
①f (x )有最小值；②当a=0时，f (x )的值域为R ； ③当a ＞0时，f (x )在区间［2，+∞)上有反函数；
④若f (x )在区间［2，+∞］上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥-4. 则其中正确的命题是________.(要求：把正确命题的序号都填上)
4. .
____________)176(log 22
1的值域是函数+-=x x y
5. ._________)(,6
lg )3(2
2
2
的定义域是则已知x f x x x f -=- 6. 函数y =log 0.1(-x 2+4x +5) 的单调递增区间是__________. 7.
.
_______________01x log a log 2 2 a x 的解是方程=++
8. 已知命题“已知函数x y a log =与其反函数的图像有交点，且交点的横坐标是0x ，则
10<<a ，且100<<x ”是假命题，请说明理由 __________ 。

9. 使log 2(-x )< x +1成立的x 的取值范围是________________.
10. 函数()y f x =的图像与函数3log (0)
y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =_________.
11. 将y ＝3log x 的图象作其关于直线y ＝x 的对称图象后得到图象C 1，再作C 1关于y 轴对称的图象后得到图象C 2，再将C 2的图象向右平移1个单位得到图象C 3，最后再作C 3关于原点对称的图象得到C 4，则C 4所对应的函数的解析表达式是 .
12. 已知函数f (x )=lg(2x -b )(b 为常数)，若x ∈[1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，则b 的取值范围是____________。

13. 若函数)2(log )(22a x x x f n ++
=是奇函数，则a =
14. 若f -1(x )为函数f (x )=lg (x -1)的反函数，则f -1(x )的值域是_______。

15. ________. 4)( ),24
(
log )( 1-3==+=x x f x
x f 的解则方程已知函数
16. _________(5)]}[{ )8(log ),83(3)3(1)31()(3=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>≤≤<+=-f f f x x x x x x f x
则若
17. 已知函数y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,13)(-=x x f ,设)(x f 的反函数是y =g (x ),则 g (-8)== .
18. 方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________ . 19. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于___________对称，则函数)(x g = ___________.
20. 已知函数1()x f x a -=的反函数的图象经过点（4，2），则1(2)f -的值是_________. 21. 已知函数f (x )=lg (2x -b )(b 为常数)，若x ∈[1,+∞]时，f(x)≥0恒成立，则b 的取值范围是_________________。

22. 已知：0,1a b > >，若以81664log ,log ,log a b a b a b + + +为边长的三角形为直角三
＝________________________。

23. 函数y =(log 4
1x )2－log 4
1x 2 +5 在 2 ≤x ≤4时的值域为______.
24. 设全集为R ，若集合A x x x =-+<{|}2320，集合B x x x =++<-{|log log ()}12
12
11，
则C u B=__________，)()(B C A C u u = ___________ 25. 已知=++=-)1(),1lg()(12f x x x f 则____________.
26. 3
log 24log
55
5
+=___________。

27. 不等式3)61
(log 2≤++
x
x 的解集为___________ 28. 方程233log (10)1log x x -=+的解是_______
29. 设f (x )＝log 3(x ＋6)的反函数为f －
1（x ），若〔f －
1（m ）＋6〕〔f －
1（n ）＋6〕＝27,则f （m ＋n ）＝___________________
30. 方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 .
31. 设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的解集为 。

32.
|log |)(3x x f =，若)(x f ＞)5.3(f ，则不等式的解集为
33. 若函数0n )(a 2x x (log )x (f 22n >++=，)1≠n 是奇函数，则a = ________ . 34. 方程03-2lgx -x lg 2=的解是 ____________
35. 3log9(lg2－
1)2+5log25(log0.5－
2)2等于_________. 36. 若函数f (x )=lg(x 2+ax －a －1)在区间［2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是_________.
37. 已知函数()log 4a a f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（0a >且1a ≠）的值域为R ，则实数a 的取值范围是。

38. 若函数3()log ()a f x x ax =-（0a >且1a ≠）在区间1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递增，则实数a 的
取值范围是 。

39. 已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个等式： ①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b . 其中可能成立的关系式是 (填序号).
40. 已知函数)()(R x x f y ∈=满足)1()3(+=+x f x f ，若]1,1[-∈x 时，||)(x x f =，则
)(x f y = 与x y 5log =的图象交点的个数是__________
41. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)(,]1,1(),()2(x f x x f x f 时当-∈=+x =，
则函数)(x f y =的图象与函数||log 3x y =的图象的交点的个数是_________ 42. 函数x x f 2log 2)(-=的值域为),1(+∞，则)(1
x f
-的值域为________
43. 已知函数()()
21,02log (2),0
x
x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩，若()0x f ≥2，则0x 的取值范围是_________ 44. 将函数x y 2log =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m > 0)倍，得到图象C ，若将x y 2log =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m = 45. 若函数y =ϕ(x )存在反函数y =ϕ-1(x )，则y =ϕ-1(x )的图象与y =-ϕ(-x )的图象关于直线_______对称。

46. 函数y =11--
+x x , x ∈(1, +∞)的反函数是_______。

47. 函数y =f (x +1)的反函数是y =f -1(x +1)，并且f (1)=3997，则f (1998)= _______。

48. 如果x 1是方程x +lgx =27的根，x 2是方程x +10x =27的根，则x 1+x 2=_________. 49. 已知f (x )是定义在R 上的增函数，点A （-1，1），B （1，3）在它的图象上，y =f -1(x )是它的反函数，则不等式|f -1(log 2x )|<1的解集为_________。

50. 若0<b <1, a >0且a ≠1，比较大小：|log a (1-b )|_________|log a (1+b )|. 51. 若x =
31
log 131log 15
1
2
1
+
，则与x 最接近的整数是_________。

52. 函数⎪⎭⎫
⎝
⎛++-=x x y 1111log 21的单调递增区间是_________。

53. 函数f (x )=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+--2,235212x x x x 的值域为_________。

54. 函数f (x )=
18
-x
+lg (x 2-1)的定义域是_________. 55. 已知不等式x 2-log m x <0在x ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，则m 的取值范围是_________. 56. 若x ∈{x |log 2x =2-x }，则x 2, x , 1从大到小排列是_________. 57. 若f (x )=ln
x x +-11，则使f (a )+f (b )=⎪⎭
⎫
⎝⎛++ab b a f 1_________. 58. 已知x >10, y >10, xy =1000，则(lgx )·(lgy )的取值范围是________.
59. 若方程lg (kx )=2lg (x +1)只有一个实数解，则实数k 的取值范围是________. 60. 已知f (x )=lg ⎪⎭⎫
⎝⎛-+x x 11，若⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ab b a f 1=1，⎪⎭
⎫
⎝⎛--ab b a f 1=2，其中|a |<1, |b |<1，则f (a )+f (b )=________.
61. 如果log 2[log 2
1(log 2x )]= log 3[log 3
1(log 3x )]= log 5[log 5
1(log 5z )]=0，那么将x , y , z 从小到大排列
为___________.
62. 已知0<b <1, 00<α<450，则以下三个数：x =(s in α)log b s ina , y =(co s α) log b s ina , z =(s in α) log b s ina 从小到大排列为___________. 63. 不等式22
12log 21
1log x x +
-+2>0的解集为___________. 64. 设函数2()log (3)f x x =+的图象为1C ，函数()y g x =的图象为2C ，若1C 与2C 关于直线y x =对称，则(1)(1)f g +的值为____________ 65. 对于函数)1lg()(22++
+=x x x x f 有以下四个结论：
①)(x f 的定义域为R ； ②),0()(+∞在x f 上是增函数； ③)(x f 是偶函数；
④若已知a,.2)(,)(,2
m a a f m a f R m -=-=∈则且
其中正确的命题序号是 . 66. 若f
x -1
()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f
x -1
()的值域是_________.
67. 已知函数f (x )=x x +-11lg
，若f (a )= 2
1
，则f (-a )=____________ 68. 已知函数()()
x x x f 2log 2
2+=,()0>x 则()=-31
f
69. 函数)2(211ln
)(≠++=a x
ax
x f 为奇函数，则实数a = .
70. 设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和，如果y 有最大值,4
2
则此时a = ，x = . 71.
函数2()f x =
的定义域为_________.
72. 函数21()x y e x +=-<<+∞∞的反函数是 .
73. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是__________
74. 若函数f (x )的反函数为12()log f x x -=，则()f x = .
75. 关于函数),0(|
|1
lg )(2R x x x x x f ∈≠+=有下列命题：
①函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；②在区间)0,(-∞上，函数)(x f y =是减函数； ③函数)(x f 的最小值为2lg ；④在区间),1(∞上，函数)(x f 是增函数． 其中正确命题序号为____ _ ______．
76. 函数212
log (32)y x x =-+的增区间是
77. 已知函数))(2(log )(1*+∈+=N n n n f n ，定义使)()2()1(k f f f ⋅⋅⋅⋅为整数的数
)(*∈N k k 叫做企盼数，则在区间[1，100]内这样的企盼数共有______个。

78. 设ax x f x
2
1
)13(log )(3+
+=是偶函数，则a 的值为 79. 已知函数y =f (x )（x ∈R ）满足f (x +1)= f (x —1)，且x ∈[—1，1]时，f (x )=x 2，则y = f (x )与y =log 5x 的图象的交点个数为
80. 已知集合{}
(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P
Q =_________ .
81. 设,1,0≠>a a 且函数x x f a log )(=在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之和为3，则
=a ．
82. 麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护 区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初 快要灭绝的动物只数y （只）与时间x （年）的关系可近似地由关系式2log (1)y a x =+ 给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为 ． 83. 求值：lg83lg5+=______.（答案化为最简形式）
84. 已知定义在R 上的偶函数y=()f x 在[)0,+∞上单调递减，且1()02
f =，则满足
14
(log )f x <0的解集为___________
85. 设,0,()ln ,0,
x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())3f f =_______________．
86. 函数y=log 2(x 2－3x+2)的递增区间为____________.
87. 记3()log (1)y f x x ==+的反函数为y=f -1(x )，则方程f -1(x )=8的解x =________.
88. (文)已知⎩⎨⎧≤->=,1,2,
1,2)(x x x x f x 则)3(log 2f 的值是__________。

89. (文)若114log
,13log 22-=+=b a ,则b a ,的大小为__________. 二.简答题答案: 1. x x f -=10)(-1 2.
21 3. ②③ 4. ]3,(--∞ 5. (3,+∞). 6. [2,5). 7. .1a
x = 8. 2,20==
x a 9. (-1,0) 10. 3x (x ∈R) 11. 13x y +=- 12. b ≤1 13.
2
2
14. ()1，+∞ 15. 1 16. 16 17. ─2 18. x x 1201==, 19. 如：①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+ ③原点，)(log 32x --- ④直线3
2,-=x x y
20.
2
3
21. x ∈[1，+∞]时 2x -b ≥1恒成立 即b ≤2x -1而2x -1的最小值为1 ,∴b ≤1。

22. 4096 23. 84
25
≤≤y 24. {|}{|}x x x x x ≤≤≥112；或
25. 20
99 26. 144
27. 本题考查对数函数单调性和不等式的解法 【正确解答】1(6)
82
2log
3log x x ++≤=，0〈168x x ++≤，∴12160
x x
x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩
.
解得{}(331x ∈---+⋃
【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式
化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.
28. 5 方程233log (10)1log x x -=+的解满足22100
103x x x
⎧->⎨-=⎩，解得x =5
29. f －
1（x ）＝3x －6故〔f －
1（m ）＋6〕∙〔f －
1（x ）＋6〕＝3m ∙3n ＝3m ＋n
＝27
∴m ＋n ＝3∴f （m ＋n ）＝log 3（3＋6）＝2。

30. 22log (1)2log (1)x x -=-+⇔224log (1)log 1x x -=+，即4
11
x x -=+
解得x =（负值舍去），所以5=
x 。

31. 由0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x
x =-+有最小值可知a >1，所以不等式log (1)0a x ->可化为x －1>1，即x >2.
32. （0，
72）⋃（∞+，2
7
） 33.
2
a =±
34. 0.1或1000 35. 3
解析:3log9(log2－1)2+5log25(log0.5－2)2
=22529)25.0(lg log 2
1
)12(lg log 21
259-∙-∙+=9log9(1－
lg2)+25log25(2－
lg0.5) =1－lg2+2－lg0.5=3－lg(2×0.5)=3. 36. (－3,+∞)
解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,要注意判断函数的单调性必须在函数的定义域内进行.
∵函数f (x )在区间［2,+∞)上单调递增,
∴－
2
a
≤2,且x =2时,x 2+ax －a －1＞0,即 ⎪⎩⎪⎨
⎧>--+≤-,
0124,
22a a a
∴⎩⎨⎧->-≥.3,4a a ∴a ＞－3,即实数a 的取值范围是(－3,+∞).
37. (0,1)(1,4]a ∈
问题等价于min
40a x x ⎛⎫
+-≤ ⎪⎝⎭，注意到0x >，所以由基本不等式得
444a x x +
-≥=，
所以min
4404a x a x ⎛⎫
+-=≤⇒≤ ⎪⎝⎭，又因为0a >且1a ≠，故(0,1)
(1,4]a ∈。

38. 设3y x ax =-：①若1a >，则223030y x a a x a '=->⇒<⇒≤，矛盾；②若01a <<，则2233034y x a a x a '=-<⇒>⇒≥。

因此，3
14
a ≤<。

39. ②④⑤
法一：lg a lg2＝lg b lg3⇒lg b lg a ＝lg3
lg2>1⇒⎩⎨⎧a >1，b >a ，或⎩⎨⎧0<a <1，b <a 。

另外，a ＝b ＝1也可能. 法二：数形结合. 40. 4 41. 4
42. （0，2）
43. ),2[]1,(+∞--∞
44.
4
1 45. y =-x 。

设(x , y )是y =ϕ-1(x )图象上的一点，它关于y =-x 的对称点为(-y , -x )。

再由y =ϕ-1(x )得x =ϕ(y )，所以(-x )=--ϕ[-(-y )]，所以点（-y , -x ）在y =-ϕ(-x )图象上，反之反之y =-ϕ(-x )关于关于y =-x 的对称点也在y =ϕ-1(x )图象上。

另解：y =ϕ(x )与y =ϕ-1(x )关于直线y =x 对称，y =ϕ(x )与y =-ϕ(-x )关于原点成中心对称，所以y =ϕ-1(x )与y =-ϕ(-x )关于直线y =-x 对称。

46. y =
221
4x
x +(x ∈(0, 2)). 因为y =1
1211-++=
--+x x x x , (y ∈(0,
2))，令
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-++=--+y
x x y
x x 21111，解得2214y y x +=
，所以所求反函数y =2214x x +(x ∈(0, 2)).
47. 2000．由y =f -1(x +1)得x +1=f (y )。

即x =f (y )-1，所以y =f -1(x +1)，反函数为y =f (x )-1. 所以f (x +1)=f (x )-1，即f (x )-f (x +1)=1，取x =1, 2, …, 1997，并求和得f (1)-f (2)+f (2)-f (3)+…+f (1997)-f (1998)=1997，
所以f (1998)=3997-1997=2000
48. 27. 由图象可知方程10x =27-x 有唯一实根。

由题设可知x 2, 27-x 1均为其根。

故x 2=27-x 1. 49. {x |2<x <8}. 由|f -1(log 2x )|<1得-1<f -1 (log 2x )<1，即得1=f (-1)<log 2x <f (1)=3，所以2<x <8. 50. >.
=+-)
1(log )(log b b a a a |log (1+b )(1-b )|=log (1+b )
b -11>log (1+b )(1+b )=1（因为1-b 2<1, b
-11
>1+b ）. 51. 2. 因为31log 131
log 1
5
1
2
1
+
=
x =log 32+log 35=log 310与2最接近。

52. （-1，0]. 函数化为y =⎪⎭⎫
⎝
⎛-22111log x ，定义域为（-1，1），其单调递增区间为（-1，0]。

53. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡5
1,172。

令x -1=t ，则f (x )=
t
t 41
+
, t ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1,21，而g (t )=t +t 4
在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1,21上是减函数，所以当t ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21时，5≤t +t 4≤217. 所以
.51
)(172≤≤x f
54. 由⎪⎩⎪⎨⎧≠≤-<>⇒⎪⎩⎪
⎨⎧≥->-0
81
1018012x x x x x x 或⇒-8≤x <-1或1<x ≤8.
55. m ∈⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡1,161. 由题设x 2< log m x , 在同一直角坐标系下作出y =x 2和y =log m x (x >0)的图象，显然当两个图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛41,21A 是一个极端位置，此时log m 4121=，得出m =161, 于是从图
象上可看出当m ∈⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡1,161时，符合要求。

56. x 2>x >1. 利用图象可知，满log 2x =2-x 的x 值应是（1，2）内的某个值。

57. （-1，1）。

由f (x )=x x +-11ln 可知x x
+-11>0，故-1<x <1，则a , b ∈（-1，1）. 由a , b ∈（-1，1），得ab
b
a ++1∈（-1，1），
则f (a )+f (b )=)
1)(1()
1)(1(ln
b a b a ++--，并且
.)1)(1()1)(1(ln 11ln
1b a b a b a ab b a ab ab b a f ++--=++++++=⎪⎭
⎫
⎝⎛++ 58. ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛4
9,2, lgx +lgy =3. (lgx )(lgy )=3lgx -lg 2x ，且lgx ∈(1, 2).
59. {k |k =4或k <0}，原方程等价于⎪⎩
⎪
⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，由数形结合有k <0或k =4.
60. 1．因为)1)(1()1)(1(lg
1b a b a ab b a f --++=⎪⎭
⎫
⎝⎛++=1，所以)1)(1()1)(1(b a b a --++=10。

再由⎪⎭
⎫ ⎝⎛--ab b a f 1=2可得)
1)(1()1)(1(b a b a --++=100。

所以2
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+a a =1000，所以
2
3
1011=-+a a ，又101112
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b b ，所以21
1011-=-+b b 。

所以f (a )= lg
2311=-+a a , f (b )=lg 2
1
11-=-+b b ，所以f (a )+f (b )=1. 61. z <x <y . 由对数性质得x =221, y =331, z =55
1，利用幂函数的单调性，比较x , y , z 的大小，由x 6
=(221)6
=23=8，y 6
=(331)6
=32=9，所以x <y .
由x 10=(22
1)=25=32，z 10=(551)10
=52=25，所以z <x ，因此z <x <y . 62. x <z <y 。

因为0<b <1，所以f (x )=log b x 是减函数。

又因为0<a <4
π
，所以0<sin α<cos α<1，所以log b sin α>log b cos α>0，所以(sin α)logbsin α<(sin α)logbcos α，即x <z .
又(sin α)logbsin α<(sin α)logbcos α，即z <y ，所以有x <z <y .
63. 2≤x <4。

原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧
≥->++--01log 02
123log 231log 2
2
2x x x 。

设t x =-1log 2
，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥>+-0
21232t t t ，解得0≤t <1. 即0≤log 2x -1<1，所以2≤x <4.
64. 1
65. ①②④ 66. )1(∞+-， 67. －2
1
68. 2 69. －2 70. 81,41==x a 71. 72. 1
(ln 1)(0)2
y x x =->
73. (1,0)
(1,)-+∞. 74. -1 75. (1) (3) (4) 76. (,1)-∞
77. 5 78. 设ax x f x
2
1
)13(log )(3+
+=是偶函数，则a 的值为 79. 4 80. ()1,+∞ 81. 2 82. 500 83. 3 84. ()10,
2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
85.
13
86. (2,+∞ ) 87. 2
解法1由3()log (1)y f x x ==+，得1
3y x -=，即1
()31f
x x -=-，于是由318x -=，解
得2x =
解法2因为1()8f x -=，所以3(8)log (81)2x f ==+= 88. 3 89. b a <。