辽南高三模考数学试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知函数$f(x) = 2^x - 3^x$，则下列说法正确的是（）
A. $f(x)$在$R$上单调递增
B. $f(x)$在$R$上单调递减
C. $f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递增，在$(0, +\infty)$上单调递减
D. $f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减，在$(0, +\infty)$上单调递增
答案：C
2. 若$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}$，则$\sin 2\alpha$的值为（）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 0
D. -1
答案：A
3. 已知$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，则$ab$的最大值为（）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
答案：B
4. 下列命题中，正确的是（）
A. 函数$y = x^3 - 3x$在$R$上单调递增
B. 函数$y = \frac{1}{x}$在$(0, +\infty)$上单调递增
C. 函数$y = \ln x$在$(0, +\infty)$上单调递减
D. 函数$y = e^x$在$R$上单调递减
答案：A
5. 若$|x-1|+|x+1|=4$，则$x$的取值范围是（）
A. $-3 \leq x \leq 1$
B. $-1 \leq x \leq 3$
C. $-1 \leq x \leq 1$
D. $-3 \leq x \leq 3$
答案：B
6. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_5 + a_6 = 24$，则$a_1$的值为（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
答案：A
7. 若$z$是复数，且$|z-1| = |z+1|$，则$z$的取值范围是（）
A. $z = 0$
B. $z = 1$
C. $z$在实轴上
D. $z$在虚轴上
答案：C
8. 函数$y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$的定义域是（）
A. $x \neq 2$
B. $x \neq 0$
C. $x \neq -2$
D. $x \neq 4$
答案：A
9. 若$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\tan \alpha$的值为（）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $-1$
D. $-2$
答案：A
10. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列的前$n$项和
$S_n$为（）
A. $S_n = 2^n - n$
B. $S_n = 2^n - 1$
C. $S_n = 2^n - n + 1$
D. $S_n = 2^n + n$
答案：A
11. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且$f(1) = 0$，$f(2) = 4$，则$a$，$b$，$c$的关系是（）
A. $a > 0$，$b^2 - 4ac < 0$
B. $a < 0$，$b^2 - 4ac < 0$
C. $a > 0$，$b^2 - 4ac > 0$
D. $a < 0$，$b^2 - 4ac > 0$
答案：A
12. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$，则$f(x)$的零点是（）
A. $x = 1$
B. $x = 2$
C. $x = 3$
D. $x = 0$
答案：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 若$\sin \alpha = \frac{1}{2}$，$\cos \alpha > 0$，则$\tan \alpha$的
值为______。

答案：$\sqrt{3}$
14. 函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$的对称中心为______。

答案：$(\frac{1}{2}, \frac{5}{8})$
15. 等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n - 3$，则$a_1$的值为______。

答案：1
16. 已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，则$f'(1) = $______。

答案：2
17. 复数$z = 3 + 4i$的模为______。

答案：5
18. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 36$，则$q$的值为______。

答案：$\frac{3}{2}$
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
19. （15分）已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，求证：$f(x)$在$x
\neq 2$的实数域上单调递增。

证明：
（1）求导数$f'(x) = \frac{2(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 2}$。

（2）当$x > 2$时，$f'(x) > 0$，当$x < 2$时，$f'(x) < 0$。

（3）因此，$f(x)$在$x \neq 2$的实数域上单调递增。

20. （15分）已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 9$，$a_5 + a_6 = 24$，求$a_1$和$d$的值。

解：
（1）由$a_1 + a_2 + a_3 = 9$得$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 9$，即
$3a_1 + 3d = 9$。

（2）由$a_5 + a_6 = 24$得$(a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 24$，即$2a_1 + 9d = 24$。

（3）解方程组$\begin{cases}3a_1 + 3d = 9 \\ 2a_1 + 9d = 24\end{cases}$，得$a_1 = 1$，$d = 2$。

21. （20分）已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求$f(x)$的极值。

解：
（1）求导数$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。

（2）令$f'(x) = 0$，得$x = 1$或$x = 3$。

（3）当$x = 1$时，$f''(1) = 6 > 0$，因此$f(x)$在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 4$。

（4）当$x = 3$时，$f''(3) = -6 < 0$，因此$f(x)$在$x = 3$处取得极大值$f(3) = 0$。

22. （20分）已知复数$z = 3 + 4i$，求$|z|$和$\arg z$。

解：
（1）$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。

（2）$\arg z = \arctan \frac{4}{3}$。

23. （20分）已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 36$，求$q$的值。

解：
（1）由$a_1 + a_2 + a_3 = 21$得$a_1 + a_1q + a_1q^2 = 21$。

（2）由$a_2 \cdot a_3 = 36$得$a_1q \cdot a_1q^2 = 36$。

（3）解方程组$\begin{cases}a_1 + a_1q + a_1q^2 = 21 \\ a_1^2q^3 =
36\end{cases}$，得$q = \frac{3}{2}$。