预不变凸模糊规划的最优性必要条件

预不变凸模糊规划的最优性必要条件
许英;徐义红
【摘要】The properties of preinvex fuzzy mapping were discussed.The fuzzy optimization with fuzzy ob-jective function and fuzzy constrained functions was considered.When the functions with respect to the binding constraints are preinvex,Kuhn-Tucker necessary optimality conditions were derived for optimality at a feasible solution.%讨论了预不变凸模糊映射的性质。

考虑目标函数和约束函数均为模糊函数的模糊规划，当粘合约束对应的函数为预不变凸时，得到了模糊规划取得最优解的 Kuhn-Tucker 最优性必要条件。

【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【总页数】4页(P311-314)
【关键词】模糊映射;预不变凸性;模糊优化
【作者】许英;徐义红
【作者单位】南昌大学理学院，江西南昌 330031; 南昌大学经济与管理学院，
江西南昌 330031;南昌大学理学院，江西南昌 330031; 南昌大学经济与管理学院，江西南昌 330031
【正文语种】中文
【中图分类】O221
在经济管理领域中，有相当一部分概念在一些场合不具有明确的外延，比如，“通货膨胀”、经济萧条、劳动密集型企业、知识密集型企业等等。

为了科学反映此类模糊现象,美国控制论专家L.A.Zadeh[1]于1965年发表了题为《模糊集合论》的论文。

该文从量上来研究和处理模糊现象，从而把哲学上的从量变到质变的“度”对应为“隶属度”,体现了把某一事物的质分解为不同的量,再通过量的处理去认识质的原则,把定量分析和定性分析结合了起来。

凸性在最优化理论中扮演着十分重要的角色[2-11]，在优化理论中,目标函数和约束函数往往具有不确定性,从而激发了人们对模糊优化问题及模糊凸分析理论的研究。

Motilal Panigrah等[5]针对模糊映射引进了凸性及广义凸性等概念，得到了模糊优化问题取得最优解的充分条件；傅俊义[6]在无限维赋范线性空间中研究了具有控制结构与不变凸映射的向量似变分不等式问题与向量优化问题；本文第二作者[7-8]研究了一类广义凸多目标规划问题的最优性必要和充分条件；Wu等[2]针对模糊映射引进了预不变凸(preinvex)概念。

本文拟研究预不变凸模糊映射的性质，在广义Slater约束品行下探讨模糊优化问题取得最优解的必要条件。

定义1.1[5] 设R为实数集，若映射满足下面条件：
正规，即的核非空，
是上半连续的，
是凸的,即
∀x,y∈R,λ∈[0,1]
是紧致的，其中的支撑
则称是一个模糊数。

设E是R上的模糊数集，α∈[0,1],模糊数的α-水平集定义为
显然模糊数的α水平集是一个有界闭区间，记为[u*(α),u*(α)]。

下面介绍模糊数的加法、数乘和乘法[2,5,12-13]。

对于任意两个模糊数且对应的α-水平集分别为[u*(α),u*(α)]和[v*(α),v*(α)]，定义加法数乘和乘法如下：
由文献[2，13]知
即
(u+v)*(α)=u*(α)+v*(α),(u+v)*(α)=u*(α)+v*(α)
(u·v)*(α)=min{u*(α)v*(α),u*(α)v*(α),u*(α)v*(α),u*(α)v*(α)}
(u·v)*(α)=max{u*(α)v*(α),
u*(α)v*(α),u*(α)v*(α),u*(α)v*(α)}
由乘法定义可得下面结论。

引理1.1 设模糊数对应的α-水平集分别为[u*(α),u*(α)]和[v*(α),v*(α)]，若
u*(α),v*(α)均为非负的，则
(u·v)*(α)=u*(α)·v*(α),(u·v)*(α)=u*(α)·v*(α)
定义1.2[5] 设若对每一个α∈[0,1]，有u*(α)≤v*(α)且u*(α)≤v*(α),则称⪯；若⪯且⪯则称；若⪯且存在α0∈[0,1]，使得u*(α0)<v*(α0)或者u*(α0)<v*(α0),则称定义1.3[2] 设y∈Ω(⊂Rn),若对任意x∈Ω,λ∈[0,1],有y+λη(x,y)∈Ω,则称Ω在y 处关于η:Ω×Ω→Rn是不变凸的。

若Ω在任意一点y∈Ω是不变凸的，则称Ω关于η是不变凸的。

定义1.4[2] 设模糊映射⊂Rn)→E，若对于任意x,y∈Ω,λ∈[0,1]，
⪯
则称在不变凸集Ω上关于η是预不变凸的(preinvex)。

引理1.2[12] 设I=[0,1]，若u*:I→R,u*:I→R满足下面条件:
(1) u*:I→R是有界单调递增函数，
(2) u*:I→R是有界单调递减函数，
(3) u*(1)≤u*(1)
(4) 当0<k≤1时且
且
则为一个模糊数。

定义1.5[5] 设Ω是Rn中的开集为模糊映射，x=(x1,x2,…,xn)∈Ω，记
Dxi,i=1,2,…,n表示关于第i个变量xi的偏导，假设对所有的α∈[0,1]，
f*(x,α),f*(x,α)都有连续的偏导，记
若对每个i=1,2,…,n，(1.1)式分别对应某个模糊数的α-截，则称在x处可微，记为
引理1.3 设模糊映射⊂Rn)→E，若在不变凸集Ω上可微且关于η是预不变凸的，∃α0∈[0,1]使得f*(x,α0)<f*(y,α0)，则f*(y,α0)tη(x,y)<0。

证明由在不变凸集Ω上关于η是预不变凸的，得
⪯∀λ∈(0,1]
于是
f*(y+λη(x,y),α0)≤λf*(x,α0)+(1-λ)f*(y,α0)
将上式变形得
f*(y+λη(x,y),α0)-f*(y,α0)≤λ(f*(x,α0)-f*(y,α0))
将(1.3)式两边同时除以λ(λ>0)得
将上式两边同时取极限λ→0+，由f*(x,α0)<f*(y,α0)得
f*(y,α0)tη(x,y)<0
注1.1 在引理1.3的条件下，若∃α0∈[0,1]使得f*(x,α0)<f*(y,α0)，则
f*(y,α0)tη(x,y)<0
若∀α∈[0,1],f*(x,α)<f*(y,α)且f*(x,α)<f*(y,α)，即则
设Ω是Rn中的开集是模糊映射是m维模糊函数。

考虑下面约束模糊最优化问题
⪯
x∈Ω
其中⪯指的是⪯任意i∈{1,2,…,m}。

令⪯是(FP)的可行集。

下面给出(FP)最优解的定义。

定义2.1 设x0∈Ω0，若对任意的⪯则x0称为(FP)的最优解。

定理2.1(Kuhn -Tucker型必要条件) 设在可微，设α∈[0,1],令
存在使当时且相对于同一η在Ω0上是预不变凸的。

若是(FP)的最优解，则存在使得
证明由假设得对任意x∈Ω0有⪯于是由得
由文献[14]中定理4.2.6 得，存在u0(α),ui(α),i=1,2,…,m,使得
u0(α)
u0(α)≥0,ui(α)≥0,1=1,2,…,m
(u0(α),u1(α),...,um(α))≠(0,0, 0
当i∉时，由(2.6)有ui(α)=0，于是由(2.5)得
u0(α)
下证u0(α)≠0。

反证法，若u0(α)=0，则由(2.9)得
当时，由得
由引理1.3得
由(2.7),(2.8)得存在使得ui0(α)>0。

由(2.11)得
这与(2.10)矛盾。

在(2.5)式两边同时除以u0(α)得
其中
ui*(α)=ui(α)/u0(α)
同理可证(2.2),(2.4)成立。

由(2.6)，(2.7)及(2.12)知(2.3)成立。

推论2.1 设在可微，α∈[0,1]，令
存在使当时有相对于同一η在Ω0上是预不变凸的且若是(FP)的最优解，定理2.1中的是模糊数(记为的α-截，则
⪯
证明由(2.1),(2.2)及引理1.1得
由(2.3),(2.4)得
⪯
注2.1 当满足引理1.2的条件时构成一个模糊数。

【相关文献】
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