复变函数第二章答案

第二章 解析函数
1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因
0()()lim z f z z f z z
∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z z
z
∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re lim
z z z z z z z z
∆→∆+∆+∆∆=∆
0Re lim(Re Re )z z
z z z z
∆→∆=+∆+∆ 0
00
Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x
z z
z z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.
2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =⋅ 解:
22222222()||()()()(),
f z z z z z z z z
x y x iy x x y iy x y =⋅=⋅⋅=⋅=++=+++
这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+
2222222,2,2,
2.
x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++==
要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =⋅仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+-
解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=-
226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==-
四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析.
3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.
(1) (,).az b c d cz d
++至少有一不为零
解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=
+除d z c =-外在复平面上处处解析,d
z c
=-为奇点, 2
22
()(
)()()()()()
()().()()
az b
f z cz d
az b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++ 当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=
在复平面上处处解析，且()a
f z d
'=. 4.若函数()f z 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,试证()f z 必为常数. (1) ()f z 在区域D 内解析; (2) 2;v u =
(3) arg ()f z 在D 内为常数;
(4) (,,).au bv c a b c +=为不全为零的实常数 证 (1) 因为()f z 在D 中解析,所以满足C R -条件
,,u v u v
x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 又()f z u iv =-也在D 中解析,也满足C R -条件
()()
,.u v u v x y y x
∂∂-∂∂-==-∂∂∂∂ 从而应有
0u u v v
x y x y
∂∂∂∂====∂∂∂∂恒成立,故在D 中,u v 为常数,()f z 为常数. (2) 因()f z 在D 中解析且有2()f z u iu =+,由C R -条件,有
2,2.u u u x y u u u y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 则可推出
0u u
x y
∂∂==∂∂,即u C =(常数).故()f z 必为D 中常数.
(3) 设()f z u iv =+,由条件知arctan v C u
=,从而22
(/)(/)
0,0,1(/)1(/)v u v u y x v u v u ∂∂∂∂==++ 计算得
2
222
()/0
v u u u v u
x x u v ∂∂-∂∂=+，2222()/0,v u u u v u y y u v ∂∂-∂∂=+ 化简,利用C R -条件得
0,0.u
u u v y x u u u v x
y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪-=⎪∂∂⎩ 所以0,u u x y ∂∂==∂∂同理0,v v
x y
∂∂==∂∂即在D 中,u v 为常数,故()f z 在D 中为常数.
(4) 法一：设0,a ≠则()/,u c bv a =-求导得
,,u b v
u b v
x a x
y a y
∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 由C R -条件
,,u b u
v b v x a y
x a y
∂∂∂∂==∂∂∂∂ 故,u v 必为常数,即()f z 在D 中为常数.
设0,0,0a b c =≠≠则bv c =,知v 为常数,又由C R -条件知u 也必为常数,所以()f z 在D 中为常数.
法二：等式两边对,x y 求偏导得：0
0x x y
y au bv au bv +=⎧⎨+=⎩，由C R -条件，我们有
0,00x y x x
y y au bu u a b bu au u b a -=-⎧⎛⎫
⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪+=⎝⎭⎩⎝⎭即， 而220a b +≠，故0x y u u ==，从而u 为常数，即有()f z 在D 中为常数.
5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 22
2222()|()|4|()|.f z f z x y
∂∂'+=∂∂
证: 设 222(),
|()|,f z u iv f z u v =+=+
222(),|()|()().u u u u f z i f z x y x y
∂∂∂∂''=
-=+∂∂∂∂ 而
22222
222222222
2
2
2
22222222()|()|()()2()()()(),
f z u v u v x y x y
u u v v u u v v u v u v x x x x y y y y ∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦
又()f z 解析,则实部u 与虚部v 均为调和函数.故
222222220,
0.u u
v v
u v x y
x y
∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂
则
22222222()|()|4(()())4|()|.u u
f z f z x y x y
∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 6.由下列条件求解解析函数().f z u iv =+ (1)22()(4);u x y x xy y =-++ 解: 因
22363,u v x xy y x y
∂∂==+-∂∂所以 22(363)v x xy y dy =+-⎰
22333(),x y xy y x ϕ=+-+
又
222263(),363,()3,v u
xy y x x xy y x x x x
ϕϕ∂∂''=++=--=-∂∂而所以则 3()x x C ϕ=-+.故
222233222222223()()(4)(33)
(1)()(1)()2(1)2(1)(1)()2(1)(1)(2)(1)f z u iv
x y x xy y i x y xy y x C i x x iy y i x iy x y i xy i Ci z i x y xyi iz i Ci i z x y xyi Ci i z Ci
=+=-++++--+=-+--+-+--+=---⋅-+=---+=-+
(2) 23;v xy x =+
解: 因
23,2,v v
y x x y
∂∂=+=∂∂由()f z 解析,有 22,2().u v x u xdx x y x y
φ∂∂====+∂∂⎰
又
23,u v y y x ∂∂=-=--∂∂而(),u y y
φ∂'=∂所以()23,y y φ'=--则2()3.y y y C φ=--+ 故 22()3(23).f z x y y C i xy x =--+++ (3) 2(1),(2);u x y f i =-=- 解: 因
2,2(1),u u y x x y ∂∂==-∂∂由()f z 的解析性,有2(1),v u
x x y
∂∂=-=--∂∂ 22(1)(1)(),v x dx x y φ=--=--+⎰ 又
2,v u y y x ∂∂==∂∂而(),v y y
φ∂'=∂所以2()2,(),y y y y C φφ'==+则
22(1),v x y C =--++
故
22()2(1)((1)),f z x y i x y C =-+--++
由(2)f i =-得(2)(1),f i C i =-+=-推出0.C =即
222
2
()2(1)(21)
(21)(1).
f z x y i y x x i z z i z =-+-+-=-+-=--
7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即
2sin sin 0,px px p e y e y -=
所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-
1(,)cos cos (),1sin ()sin .px px
x px
px y u x y u dx e ydx e y y p
u e y y pe y p
φφ===
+'=-
+=-⎰⎰
所以
1
1()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p p
φφ'=-=-+ 即(,)cos ,px u x y pe y C =+故
(cos sin ),1,()(cos sin ), 1.
x z x
z
e y i y C e C p
f z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩
8．试解方程：
(1) 1z e =+
解:
(2)
3
12(cos
sin )233
i k z
e i e π
ππ
π
+=+=+=
ln 2(2)
3
,0,1, 2.i k e
k π
π++==±±
故
ln 2(2),0,1, 2.3
z i k k π
π=++=±±
(2) ln ;2
i
z π=
解: 2
cos
sin
.2
2
i
z e
i i π
π
π
==+=
9．求下列各式的值。

(1) cos ;i
解 ()()11
cos .22
i i i i e e e e i --++=
= (2) (34);Ln i -+
解: (34)ln5(34)Ln i iArg i -+=+-+
4
ln 5(2arctan ).3i k ππ=++-
(3) 1(1);i i +-
解: 1(1)(1)(1)i i Ln i i e ++--=
.
(1)(2)4224424
)sin(ln ).44i i k k i k k e e e
i πππππππ
πππ⎡⎤
+-+⎢⎥
⎣⎦⎡
⎤-+-⎢⎥
⎣⎦-==⎡
⎤=+⎢⎥⎣
⎦
(4) 33;i -
解: 3(3)ln3(3)(ln32)3i i i k i e e π---+==
(3)ln323ln32ln3227(cosln 3sin ln 3).
i k k i i k e e e e e
i πππ
-+-=⋅=⋅=-。