可积的充分且必要条件精品PPT课件

i [ xi1 , xi ], i 1, 2,
,n
i1
前页 后页 返回
的一个上界.
0, 由于 Mi sup f ( x) x [ xi1, xi ] , 因此
i [ xi1, xi ], 使
于是
f
(i )
Mi
ba
.
n
i 1
f (i )xi
n
(Mi
i 1
b
a
)xi
n i 1
M i xi
||T || 0
因此, 0 , 0 , 当 || T || 时, 就有 S(T ) s(T ) .
(充分性) 若 T , 使 S(T ) s(T ) , 则
0 S s S(T ) s(T ) . 由 的任意性, 必有 S s. 依据可积的第一充要条
件, 证得 f ( x) 可积.
积.
证 0, 0, 因 f 在 [a,b] 上连续,从而一致连 续, 故 0 , x, x[a,b], | x x | 时, 必有
| f ( x) f ( x) | .
又因 在 [ , ] 上可积,故对上述 , , 存在 [ , ]
上的分割
T
,
使
k
的所有小区间
Δ
k
前页 后页 返回
二、可积的充要条件
定理9.15 ( 可积的第一充要条件 ) f 在 [a, b] 上可积的充要条件是: f 在 [a, b] 上的上
积分与下积分相等, 即 S s.
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积, 0 , 0 ,
当 || T || 时, 有
n
f (i ) xi J ,
前页 后页 返回
n
i 1
f ( xi )
xi g( x)dx
xi 1
b
f ( x)g( x)dx
a
n i 1
f
( xi )
xi xi 1
g( x)dx
n i 1
xi f ( x)g( x)dx
xi 1
n
i 1
xi |
xi 1
f (x)
f ( xi ) | |
g( x) | dx
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
前页 后页 返回
S(T0 ) S(T1)
n
MiΔ xi ( MiΔxi Mk Δxk MkΔxk)
i 1
ik
Mk (Δxk Δxk) (Mk Δxk MkΔxk)
(Mk Mk )Δxk (Mk Mk)Δxk.
由于
故有
m Mk (或 Mk) Mk M ,
0 S(T0 ) S(T1 ) (M m)Δxk (M m) || T || .
n
M if xi .
i 1
即
n
lim
||T || 0 i1
f ( xi )
xi g( x)d x
xi 1
b
f ( x)g( x)d x.
a
前页 后页 返回
例2 设 f 在 [a, b] 上连续, 在 [ , ] 上可积,且
a (t) b , t [ , ]. 求证: f 在 [ , ] 上可
前页 后页 返回
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )xi ixi ,
i 1
i 1
其中
i Mi mi
sup | f ( x) f ( x) | x, x[ xi1, xi ] ,
是 f 在 [ xi-1 , xi ] 上的振幅.
前页 后页 返回
上和的几何意义: 曲边梯形“外接”矩 形面积之和.
前页 后页 返回
定理9.17 ( 可积的第三充要条件 )
f 在 [a,b] 上可积的充要条件是: 0 , 0, 存
在分割 T ,使得属于 T 的所有小区间中, 对应于振
幅 k 的那些小 区间 Δk 的总长 Δxk . k
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积 ,由可积的第二充
的总长
前页 后页 返回
Δtk
, 而在其余
Δ
k
上的
k
.设
F (t) f ((t)) , t [ , ].
由以上可知：T
中小区间
k
上,
F k
,
至多在所
有
k
上
F k
, 而这些小区间总长至多为
Δtk ,
因此 f g F 在 [ , ] 上可积.
前页 后页 返回
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
s(T) s(T ) S(T ) S(T).
前页 后页 返回
定义3 设 f 是 [a,b] 上的有界函数, 由性质4 知道
S inf S(T ) , s sup s(T )
T
T
都存在,分别称为 f 在 [ a, b ]上的上积分与下积分.
性质5 m(b a) s S M (b a).
下和的几何意义: 曲边梯形“内接”矩 形 面积之和.
y
Oa y
Oa
y f (x)
bx
y f (x)
bx
前页 后页 返回
性质1 对固定分割 T : a x0 x1 xn b, 有
n
S(T ) sup f (i )Δxi i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n,
i 1
前页 后页 返回
由性质2 可直接得到: 性质3 若 T 与 T 为任意两个分割, T T T 表示把 T 与 T的所有分点合并得到的分割, 则
S(T ) S(T), s(T ) s(T), S(T ) S(T), s(T ) s(T).
性质4 对于任意分割 T 与 T, 总有 s(T) S(T). 证 令 T T T, 则
几何意义 由上和与下和的几何意义知道,上述充
要条件的几何意义为: 下图中包围曲线 y f ( x) 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小, 只要
对 [a, b] 的分割 T 足够地细.
y
i Δ xi
T
y f (x)
Oa
bx
前页 后页 返回
证 (必要性) 设 f 在[a,b] 上可积 , 则 lim S(T ) s(T ) S s 0.
是 [a, b] 上任一分割. 求证
n
lim
||T || 0 i1
f ( xi )
xi g( x)d x
xi 1
b
f (x)g(x)dx.
a
证 设 | g( x) | M , x [a,b]. 由可积的第二充要条
件,
0 ,
0 ,当
|| T
||
时,
n
if Δ xi
i 1
. M
因此有
ba
n i 1
xi
S(T ) .ຫໍສະໝຸດ 前页 后页 返回所以证得
n
S(T ) sup f (i )Δxi i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n.
i 1
类似可证 :
n
s(T ) inf f (i )Δxi i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n.
i 1
前页 后页 返回
*§6 可积性理论补叙
本节首先证明达布定理, 然后用达 布定理证明函数可积的第一、第二、 第三充要条件, 其中第二充要条件即 为第三节中介绍的可积准则.
一、 上和与下和的性质 二、 可积的充要条件
前页 后页 返回
一、上和与下和的性质
由§2, 若 f 在 [a, b] 上有界, 则对 [a,b]的分割
定理9.14 (达布定理) lim S(T ) S, lim s(T ) s.
||T || 0
||T || 0
证 0, 分割 T, 使得 S(T) S 2. 设 T由
p 个分点所构成, 令
0,
2(M m) p 1
前页 后页 返回
则当 || T || 时, T T 至多比 T 多 p 个新分点,
前页 后页 返回
k Δxk kΔ xk kΔ xk
k
k
k
(M m) Δ xk Δ xk
k
k
(M m) (b a)
.
22
因此证得 f 在 [a, b] 上可积 .
前页 后页 返回
例1 设 f ( x), g( x) 在 [a, b] 上可积,
T : a x0 x1 xn b
性质2 设 T' 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到 的分割, 则
S(T ) S(T) S(T ) (M m) p || T ||, s(T ) s(T) s(T ) (M m) p || T || .
证 为方便起见, 记 T0 T , Ti 为添加 i 个新分点后 所得到 的分割, T' Tp . 设 T1 中新加入的那个分点落在 T 的某小区间 Δk 内, 它把 Δk 分为两小区间, 记为 Δk 与 Δk . 此时
因此由性质2 和性质3 , 得到 S(T ) (M m) p || T || S(T T ) S(T ),
S S(T ) S(T) (M m) p || T ||
S S ,
22
则
lim S(T ) S.
||T || 0
类似可证:
lim s(T ) s.
||T || 0
T 0
故证得 S s.
(充分性) 设 S s J , 则由达布定理,
lim S(T ) lim s(T ) J .
||T || 0
||T || 0
从而 0 , 0 , 当 || T || 时,
前页 后页 返回
J s(T ) S(T ) J .
n
由于 i [ xi1, xi ], s(T ) f (i )xi S(T ),
n
s(T ) inf f (i )Δxi i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n.
i 1
证 i [ xi1, xi ], f (i ) Mi , i 1,2,, n,
n
n
f (i )Δxi MiΔxi S(T ),
i 1
i 1
即
S(T ) 是
n
f (i )Δxi
要条件, 存在分割 T , 使 kΔxk . 于是
k
Δxk kΔxk k Δxk ,
k'
k
k
前页 后页 返回
即得
Δxk .
k'
(充分性) 任给 0 , 取
, 0,
2(b a)
2(M m)
存在 T , 使 k 的 Δ k 的总长
Δxk .
k
设 T 中满足 k 的那些小区间为 Δ k, 则
i 1
n
因此 f (i ) xi J . 即 f 在 [a, b] 上可积,
i 1
且
b
a f ( x)dx J .
定理9.16 ( 可积的第二充要条件 )
f 在 [a,b] 上可积的充要条件是: 0 , 分割 T ,
n
使 S(T ) s(T ) , 即 iΔxi .
i 1
前页 后页 返回
i 1
n
即
J f (i ) xi J .
i 1
前页 后页 返回
由性质1,得 J s(T ) S(T ) J , 即
| S(T ) J | , | s(T ) J | .
因此由达布定理,得到
S lim S(T ) J 和 s lim s(T ) J ,
T 0
前页 后页 返回
同理有
0 S(Ti ) S(Ti1 ) (M m) || Ti || . 因此证得
p 1
0 S(T0 ) S(Tp ) [S(Ti ) S(Ti1)]
i0 p 1
(M m)|| Ti || (M m) p || T || .
i0
类似可证
s(T ) s(T) s(T ) (M m) p || T || .
T : a x0 x1 xn b,
有相应的上和与下和:
其中
n
n
S(T ) MiΔxi , s(T ) miΔxi ,
i 1
i 1
Mi sup{ f ( x) | x [ xi1, xi ]}, i 1, 2, , n ,
mi inf{ f ( x) | x [ xi1, xi ]}, i 1, 2, , n.
返回返回返回返回infsupstsstfab定义3limlimstssts定理914达布定理返回返回返回返回因此由性质2和性质3返回返回返回返回fabfab二可积的充要条件定理915返回返回返回返回stjstjlimlimststjlimlimstjsstj返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回fx返回返回返回返回返回返回返回返回bamm返回返回返回返回ab返回返回返回返回fxgxxfxgxxab返回返回返回返回fxfxgxfxgxxfxgxx返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回xcdftab