2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件:4.5.3函数模型的应用
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大利润为 15 万元.
建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模:抽象出实际问题的数学模型. (2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学演算,得到问题在数学意义上的解. (3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入的讨论,作出评价、解释,返回到原来的 实际问题中去,得到实际问题的解. 即:
代入计算,可以排除 B,C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.
2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是 ()
A.收入最高值与收入最低值的比是 3∶1 B.结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D.前 6 个月的平均收入为 40 万元
(2)当 0<x<8 时,L(x)=-13(x-6)2+9.
此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值 L(6)=9 万元.
当 x≥8 时,L(x)=35-x+10x0≤35-2 等号成立,
x·10x0=35-20=15,当且仅当 x=10x0时
即 x=10 时,L(x)取得最大值 15 万元.
因为 9<15,所以当年产量为 10 万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最
___y_轴_____接近平行 ____x_轴_____接近平行 而不同
常用结论 “对勾”函数 f(x)=x+ax(a>0)的性质
(1)该函数在(-∞,- a]和[ a,+∞)上单调递增,在[- a,0)和(0, a ]上单调递 减. (2)当 x>0 时,x= a时取最小值 2 a; 当 x<0 时,x=- a时取最大值-2 a.
2.三种函数模型性质比较
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞) 上的单调性
___增__函__数___
__增__函__数____
___增__函__数___
增长速度
_越__来__越__快___
_越__来__越__慢___
相对平稳
随 x 值增大,图象与 随 x 值增大,图象与 随 n 值变化 图象的变化
解析:选 D.由题图可知,收入最高值为 90 万元,收入最低值为 30 万元,其比是 3∶1, 故 A 正确;由题图可知,7 月份的结余最高,为 80-20=60(万元),故 B 正确;由题 图可知,1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同,故 C 正确; 由题图可知,前 6 个月的平均收入为16×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故 D 错误.
某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于 10%时,则
该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润 y(百万元)与年投资成本 x(百万
元)变化的一组数据:
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本 x
3
5
9
17
…
年利润 y
1
3
4
…
给出以下 3 个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,且 b≠1);③y=loga(x +b)(a>0,且 a≠1).
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选 图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是 否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案.
考点二 函数模型的选择(应用型) 复习指导 会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 核心素养:数学建模、数学运算
将(3,1),(5,2)代入 y=abx(a≠0,b>0,且 b≠1),
得12= =aabb35, ,解得ab= =
42,所以 2,
y=
2 4 ·(
x-3
2)x=2 2 .
9-3
当 x=9 时,y=2 2 =8,不符合题意; 将(3,1),(5,2)代入 y=loga(x+b)(a>0,且 a≠1), 得12==llooggaa((35++bb)),,解得ab==2-,1,所以 y=log2(x-1). 当 x=9 时,y=log28=3; 当 x=17 时,y=log216=4.故可用③来描述 x,y 之间的关系. (2)令 log2(x-1)>6,则 x>65. 因为年利润665<10%,所以该企业要考虑转型.
3.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔 墙的长度为______. 解析:设隔墙的长度为 x(0<x<6),矩形面积为 y,则 y=x×24-2 4x=2x(6-x)=-2(x -3)2+18,所以当 x=3 时,y 最大. 答案:3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿的种植成本 Q(单位:
元/100 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表:
时间 t
60
100
180
种植成本 Q
116
84
116
根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本 Q 与上市时间 t 的
变化关系:
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt. 利用你选取的函数,求:
函数模型的应用
数学
01
基础知识 自主回顾
02
学科素养 探究提升
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1.几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0)
考点一 用函数图象刻画变化过程(基础型) 复习指导 能将实际问题转化为数学问题,会应用函数图象对实际问题进行描述. 核心素养:数学建模
1.(2020·广州市综合检测(一))如图,一高为 H 且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小
孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为 T. 若鱼缸水深为 h 时,
【解】 (1)因为每件商品售价为 5 元,则 x 万件商品销售收入为 5x 万元, 依题意得,当 0<x<8 时, L(x)=5x-13x2+x-3=-13x2+4x-3; 当 x≥8 时,L(x)=5x-6x+10x0-38-3=35-x+10x0. 所以 L(x)=- 35-13x2x++41x0x-03,,x0≥<x8<. 8,
1.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过 100 km,票价是 0.5 元/km, 如果超过 100 km,超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价,则客运票价 y(元)与行驶千 米数 x(km)之间的函数关系式是________. 解析:由题意可得 y=00..54xx,+01<0,x≤x>10100,0. 答案:y=00..54xx,+01<0,x≤x>10100,0
水流出所用时间为 t,则函数 h=f(t)的图象大致是
()
解析:选 B.水位由高变低,排除 C,D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速 度先慢后快,故选 B.
2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙
三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是
()
考点三 构建函数模型解决实际问题(应用型) 复习指导 了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用. 核心素养:数学建模、数学运算
角度一 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小
型电子产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件,需另投入流动成本为 W(x) 万元,在年产量不足 8 万件时,W(x)=13x2+x(万元).在年产量不小于 8 万件时,W(x) =6x+10x0-38(万元).每件产品售价为 5 元.通过市场分析,小王生产的商品能当年 全部售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收 入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
2.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时 的生产成本为 C(x)=12x2+2x+20(万元).一万件售价为 20 万元,为获取更大利润,该 企业一个月应生产该商品数量为________万件. 解析:设利润为 L(x),则利润 L(x)=20x-C(x)= -12(x-18)2+142,当 x=18 时,L(x)有最大值. 答案:18
(1)选择一个恰当的函数模型来描述 x,y 之间的关系;
(2)试判断该企业年利润超过 6 百万元时,该企业是否要考虑转型.
【解】 (1)将(3,1),(5,2)代入 y=kx+b(k≠0),
得12==35kk++bb,,解得kb= =12-,12,
所以 y=12x-12.
当 x=9 时,y=4,不符合题意;
A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油
解析:选 D.根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗 汽油最少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升, 行驶 1 小时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时, 丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对.
根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 (1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象,可结合图象特征选择. (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型 y=ax2+bx+c(a, b,c 均为常数,a<0);当研究的问题呈现先减少后增长的特点时,可以选用二次函数 模型 y=ax2+bx+c(a,b,c 均为常数,a>0). (3)对数函数(底数大于 1 时)增长越来越慢,而指数函数(底数大于 1 时)增长越来越快.
二、教材衍化
1.在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如表:
x
0.50
y
-0.99
0.99
2.01
3.98
0.01
0.98
2.00
则对 x,y 最适合的拟合函数是
()
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
解析:选 D.根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y=0.98,
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.
(× )
(2)在(0,+∞)内,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=xα(α>0)
的增长速度.
(√ )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题. ( √ )
二、易错纠偏 常见误区 (1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等; (2)建立函数模型出错.
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________;
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当 t=60 和 t=180 时种植 成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应 该用二次函数 Q=at2+bt+c,即 Q=a(t-120)2+m 描述,将表中数据代入可得 aa( (6100- 0-12102) 0)2+2+mm==11864,,解得am==08.001,, 所以 Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为 120 时,种植成本取到最低值 80 元/100 kg. 答案:(1)120 (2)80