2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件：4.5.3函数模型的应用

大利润为 15 万元．
建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的 实际问题中去，得到实际问题的解． 即：
代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意．
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是 ()
A．收入最高值与收入最低值的比是 3∶1 B．结余最高的月份是 7 月 C．1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D．前 6 个月的平均收入为 40 万元
(2)当 0<x<8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9.
此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元．
当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 等号成立，
x·10x0＝35－20＝15，当且仅当 x＝10x0时
即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元．
因为 9<15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最
___y_轴_____接近平行 ____x_轴_____接近平行 而不同
常用结论 “对勾”函数 f(x)＝x＋ax(a>0)的性质
(1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a ]上单调递 减． (2)当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a； 当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性
___增__函__数___
__增__函__数____
___增__函__数___
增长速度
_越__来__越__快___
_越__来__越__慢___
相对平稳
随 x 值增大，图象与 随 x 值增大，图象与 随 n 值变化 图象的变化
解析：选 D．由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 3∶1， 故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 80－20＝60(万元)，故 B 正确；由题 图可知，1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确； 由题图可知，前 6 个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故 D 错误．
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于 10%时，则
该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润 y(百万元)与年投资成本 x(百万
元)变化的一组数据：
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本 x
3
5
9
17
…
年利润 y
1

3
4
…
给出以下 3 个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且 b≠1)；③y＝loga(x ＋b)(a＞0，且 a≠1)．
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选 图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是 否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．
考点二 函数模型的选择(应用型) 复习指导 会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 核心素养：数学建模、数学运算
将(3，1)，(5，2)代入 y＝abx(a≠0，b＞0，且 b≠1)，
得12＝ ＝aabb35， ，解得ab＝ ＝
42，所以 2，
y＝
2 4 ·(
x－3
2)x＝2 2 .
9－3
当 x＝9 时，y＝2 2 ＝8，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入 y＝loga(x＋b)(a＞0，且 a≠1)， 得12＝＝llooggaa（（35＋＋bb）），，解得ab＝＝2－，1，所以 y＝log2(x－1)． 当 x＝9 时，y＝log28＝3； 当 x＝17 时，y＝log216＝4.故可用③来描述 x，y 之间的关系． (2)令 log2(x－1)>6，则 x>65. 因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．
3．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔 墙的长度为______． 解析：设隔墙的长度为 x(0<x<6)，矩形面积为 y，则 y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)＝－2(x －3)2＋18，所以当 x＝3 时，y 最大． 答案：3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本 Q(单位：
元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：
时间 t
60
100
180
种植成本 Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本 Q 与上市时间 t 的
变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求：
函数模型的应用
数学
01
基础知识 自主回顾
02
学科素养 探究提升
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
考点一 用函数图象刻画变化过程(基础型) 复习指导 能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述． 核心素养：数学建模
1．(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小
孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T. 若鱼缸水深为 h 时，
【解】 (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元， 依题意得，当 0<x<8 时， L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋10x0－38－3＝35－x＋10x0. 所以 L(x)＝－ 35－13x2x＋＋41x0x－03，，x0≥<x8<. 8，
1．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km， 如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行驶千 米数 x(km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得 y＝00..54xx，＋01<0，x≤x>10100，0. 答案：y＝00..54xx，＋01<0，x≤x>10100，0
水流出所用时间为 t，则函数 h＝f(t)的图象大致是
()
解析：选 B．水位由高变低，排除 C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速 度先慢后快，故选 B．
2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙
三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
()
考点三 构建函数模型解决实际问题(应用型) 复习指导 了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用． 核心素养：数学建模、数学运算
角度一 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小
型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x) 万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于 8 万件时，W(x) ＝6x＋10x0－38(万元)．每件产品售价为 5 元．通过市场分析，小王生产的商品能当年 全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收 入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时 的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该 企业一个月应生产该商品数量为________万件． 解析：设利润为 L(x)，则利润 L(x)＝20x－C(x)＝ －12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
(1)选择一个恰当的函数模型来描述 x，y 之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过 6 百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入 y＝kx＋b(k≠0)，
得12＝＝35kk＋＋bb，，解得kb＝ ＝12－，12，
所以 y＝12x－12.
当 x＝9 时，y＝4，不符合题意；
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选 D．根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错； 以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗 汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升， 行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时， 丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对．
根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 (1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择． (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a， b，c 均为常数，a<0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数 模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 均为常数，a>0)． (3)对数函数(底数大于 1 时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于 1 时)增长越来越快．
二、教材衍化
1．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如表：
x
0.50
y
－0.99
0.99
2.01
3.98
0.01
0.98
2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是
()
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
解析：选 D．根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．
(× )
(2)在(0，＋∞)内，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xα(α>0)
的增长速度．
(√ )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题． ( √ )
二、易错纠偏 常见误区 (1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等； (2)建立函数模型出错．
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 t＝60 和 t＝180 时种植 成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应 该用二次函数 Q＝at2＋bt＋c，即 Q＝a(t－120)2＋m 描述，将表中数据代入可得 aa（ （6100－ 0－12102） 0）2＋2＋mm＝＝11864，，解得am＝＝08.001，， 所以 Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为 120 时，种植成本取到最低值 80 元/100 kg. 答案：(1)120 (2)80