必备四 二级结论巧用(可自主编辑word)

必备四二级结论巧用
结论一函数的奇偶性
1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.
跟踪集训
1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为.
)的x的取值范围是. 2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(1
3
3.(2019苏州3月检测)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=xln x,则不等式f(x)<-e 的解集为.
结论二函数的单调性、极值与最值
1.函数的单调性
(1)∀x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)-f(x2)
>0(<0)⇔y=f(x),x∈D单调递增(递减).
x1-x2
(2)复合函数的单调性:“同增异减”;单调区间是定义域的子集.
(3)f(x)在(a,b)上是增函数⇒f'(x)≥0在区间(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是减函数⇒f'(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.注意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接.
(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间⇒f'(x)>0,x∈(a,b)有解.
(5)存在x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)=f(x2)⇔y=f(x),x∈D不单调.
2.函数的单调性与极值
(1)函数f(x)有三个单调区间⇔f(x)有两个极值点⇔f'(x)=0有两个不等实根;
(2)函数f(x)在(a,b)上不单调⇔f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b).
3.函数的最值
函数f(x)在D上的最大值为M⇔{∃x0∈D, f(x0)=M,
f(x)≤M,x∈D恒成立.
函数f(x)在D上的最小值为
m⇔{∃x0∈D, f(x0)=m,
f(x)≥m,x∈D恒成立.
跟踪集训
4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为.
5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是.
6.(2018南通泰州中学高三期初考试)已知函数f(x)={a x(x<0),
(a-3)x+4a(x≥0)
满足对任意x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0成立,则a的取值范围是.
7.已知函数f(x)={-x2+ax(x≤1),
2ax-5(x>1),
若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取
值范围是.
结论三抽象函数的周期性与单调性
1.函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.
2.函数图象的对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a 对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+b 2
对称.
(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点(a+b 2
,c 2)对称.
跟踪集训
8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= . 9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)= .
10.函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 函数零点
1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.
2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.
3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形. 跟踪集训
11.(2018南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数,当x ≥0时, f(x)={x(3-x),0≤x ≤3,
-3x +1,x >3,若函数
y=f(x)-m 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=3x -32x -m 在[-1,1]上有零点,则实数m 的取值范围是 .
13.已知函数f(x)={e x ,x <2,
(1-x)(a +x),x ≥2(a 为常数,e 为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切
线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a 的取值范围是 .
结论五三角函数
1.sin(nπ
2+α)={
(-1)n2sinα(n=2k,k∈Z),
(-1)n2cosα(n=2k+1,k∈Z).
2.cos(nπ
2+α)={
(-1)n2cosα(n=2k,k∈Z),
(-1)n+12sinα(n=2k+1,k∈Z).
3.asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+φ)辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tanφ=b
a
.
4.求三角函数在给定范围上的单调区间:一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集.
5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法:f(a)≤f(x),∀x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,直线x=a是函数图象的一条对称轴.
跟踪集训
14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则
cos(π
2
+α)sin(-π-α)
cos(11π
2
-α)sin(9π
2
+α)
的值
为.
15.设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为.
16.设f(x)=sin2x-√3cos xcos(x+π
2),则f(x)在[0,π
2
]上的单调增区间为.
结论六解三角形
1.sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C).
2.A>B⇔sin A>sin B,cos A<cos B(要会证明).
3.tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边
的平方,即sin A>cos B,sin A>cos C,{a2+b2>c2, b2+c2>a2, c2+a2>b2.
跟踪集训
17.在斜△ABC中,若tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,则cos A=.
18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+sin C的取值范围.
结论七不等式
1.2ab a+b ≤√ab≤a+b
2
≤√a2+b2
2
(a,b>0).
2.(1)xy≤x 2+y2
2
;(2)xy≤(x+y
2
)
2
;(3)当x>0时,x+1
x
≥2;
(4)当x,y同号时,x
y +y
x
≥2;当x,y异号时,x
y
+y
x
≤-2.
3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a<f(x),x∈D恒成立,则
a<f(x)min,x∈D;若是a<f(x),x∈D有解,则a<f(x)max,x∈D.若不能分离参数,则利用函数的最值或图象求解最值,如f(x)>0,x∈D恒成立,即为f(x)min>0,x∈D.
跟踪集训
19.若在区间[1,3]内,存在实数x满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是.
20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为.
21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则2xy
x+y+1
的最小值为.
22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2√ab-(4a2+b2)的最大值是.
结论八平面向量
1.三点共线的判定
A,B,C 三点共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线;向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 中,A,B,C 三点共线⇔存在实数α,β使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =αPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βPC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,且α+β=1. 2.三角形“四心”的向量形式的充要条件
设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 2sinA =b 2sinB =c 2sinC . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 3.向量中线定理:△ABC 中,点D 为BC 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 4.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件.
5.若a,b 都是非零向量,则a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2=x 2y 1⇔夹角等于0°或180°⇔|a ·b|=|a||b|.
6.若a,b 都是非零向量,则a ⊥b ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0⇔夹角等于90°⇔|a+b|=|a-b|.
7.数量积的其他结论:当a 与b 同向共线时,a ·b=|a|·|b|;当a 与b 反向共线时,a ·b=-|a|·|b|;当a 与b 共线时,|a ·b|=|a|·|b|;当a 与b 为任意向量时,|a ·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a|·|b |(θ为a 与b 的夹角);a 与b 的夹角为锐角的充要条件是{a ·b =x 1x 2+y 1y 2>0,
x 1y 2-x 2y 1≠0.
a 与
b 的夹角为钝角的充要条件是
{
a ·
b =x 1x 2+y 1y 2<0,x 1y 2-x 2y 1≠0.
跟踪集训
23.已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立的实数x 的取值集合为 .
24.P 是△ABC 所在平面内一点,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 是△ABC 的 .(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)
25.已知A,B,C 是平面上不共线的三点,O 为平面ABC 内任一点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3[(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-
λ)OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ],λ∈R,则点P 的轨迹一定经过△ABC 的 .(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种) 结论九 等差数列
1.在等差数列{a n }中,a p =q,a q =p(p ≠q)⇒a p+q =0;S m+n =S m +S n +mnd.
2.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.
3.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,S
奇
S 偶
=a m
a
m+1
.
4.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,S
奇S 偶
=m
m -1.
跟踪集训
26.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .
27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为 . 结论十 等比数列
1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 均不为0,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等比数列.
2.S m+n =S m +q m S n =S n +q n S m .
3.在有限等比数列{a n }中,公比为q,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶.若n 为偶数,则S 偶=qS 奇;若n 为奇数,则S 奇=a 1+qS 偶.
4.如果数列{a n }是等差数列,那么数列{A a n }(A a n 总有意义)必是等比数列.如果数列{a n }是等比数列,那么数列{log a |a n |}(a>0,且a ≠1)必是等差数列.
跟踪集训
28.在等比数列{a n }中,若S 10=10,S 20=30,则S 30= .
29.数列{a n }中,a n+12
=4a n ,a 1=1,a n >0,则a n = .
30.等比数列{a n }共有奇数项,所有奇数项和S 奇=255,所有偶数项和S 偶=-126,末项是192,则首项a 1= . 结论十一 直线与圆
1.阿波罗尼斯圆:若点A,B 是定点,M 是动点,且MA=kMB,k>0,k ≠1,则动点M 的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).
2.定点A 到动直线l 的距离等于定长的直线l 是以A 为圆心,定长为半径的圆的切线.
3.以AB 为直径的圆经过点C(异于A,B),则AC ⊥BC,可以利用斜率或向量求解.
4.对角互补的四边形有外接圆.
5.以A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)为直径两端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.
6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为(x-a)(x 0-a)+(y-b)(y 0-b)=r 2,过圆外一点可以作圆的两条切线.
7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦. 跟踪集训
31.若A(1,1),B(3,4),且点A 和B 到直线l 的距离都等于1,则这样的直线l 有 条. 32.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A 为直线l 上一点.若圆M 上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A 横坐标的取值范围是 .
33.在平面四边形ABCD 中,∠BAD=90°,AB=2,AD=1.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CB+12CD 的最小值为 . 结论十二 圆锥曲线
1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(x 1+x 2),右焦点弦AB=2a-e(x 1+x 2);
(2)通径长为
2b 2a
;
(3)焦点三角形的面积S=b 2tan θ
2;
(4)若A,B 是椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点,P 为椭圆C 上任意一点,则k PA k PB =-b 2
a 2.
2.双曲线中焦点三角形的面积S=
b 2tan
θ
2
.
3.若点M(x 0,y 0)在曲线x 2a ±y 2
b =1上,则过M 的切线方程为x 0x a ±y 0
y
b =1. 4.过抛物线y 2=2px(p>0)焦点的弦AB 有如下结论:
(1)x A ·x B =p 2
4;(2)y A ·y B =-p 2;(3)|AB|=2p
sin 2α(α是直线AB 的倾斜角). 跟踪集训
34.设P 是有公共焦点F 1,F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点,且PF 1⊥PF 2,椭圆C 1的离心率为e 1,双曲线C 2的离心率为e 2,若e 2=3e 1,则e 1= .
35.已知椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0),M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,且直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2(k 1k 2≠0),若椭圆的离心率为√3
2,则|k 1|+|k 2|的最小值为 . 36.设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .
答案精解精析
结论一 函数的奇偶性
跟踪集训 1.答案 4
解析 由已知得f(0)=0=1+b,∴b=-1,又f(2)=2+2(a-1)-1=-1,∴a=0,∴f(x)=log 2(x+2)-x-1(x ≥0),∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4. 2.答案 (13,2
3)
解析 由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)<f (1
3)⇔f(|2x-1|)<f (1
3),结合f(x)在[0,+∞)上单调递增得|2x-1|<1
3,解得1
3<x<2
3,即x 的取值范围是(13,2
3). 3.答案 (-∞,-e)
解析 ∵函数f(x)为定义在R 上的奇函数, ∴当x=0时, f(0)=0,不满足不等式f(x)<-e. 当x ≠0时,设x<0,则-x>0, ∵当x>0时, f(x)=xln x, ∴f(-x)=-xln(-x),
∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=xln(-x), 则f(x)={
xlnx,x >0,
xln(-x),x <0.
当x>0时, f '(x)=ln x+x ·1
x =ln x+1, 令f '(x)=0,得x=1
e ,
当0<x<1
e 时,
f '(x)<0;当x>1
e 时,
f '(x)>0, ∴函数f(x)在(0,1
e
)上递减,在(1
e
,+∞)上递增,
再由函数f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,如图:
当x=1
e
时取到极小值, f (1
e
)=1
e
ln 1
e
=-1
e
>-e,
∴不等式f(x)<-e 在(0,+∞)上无解. ∵f(-e)=(-e)ln[-(-e)]=-e,
∴不等式f(x)<-e 的解集是(-∞,-e).
结论二 函数的单调性、
极值与最值
跟踪集训 4.答案 6
解析 由f(x)=4x 3+mx 2+(m-3)x+n(m,n ∈R)是R 上的单调增函数,得f '(x)=12x 2+2mx+m-3≥0在R 上恒成立,则4m 2-48(m-3)≤0,即(m-6)2≤0,故m=6. 5.答案 (-∞,-5]
解析 易知f(2)=0,则要使f(x),x ∈[-3,3]的最大值是0,只需f(x)≤0,x ∈[-3,3]恒成立,则-a|x-2|≥|x 2-4|,x ∈[-3,3],-a ≥|x+2|max =5,所以a ≤-5,实数a 的取值范围是(-∞,-5]. 6.答案 (0,1
4]
解析 由对任意x 1≠x 2都有 f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2
<0成立,知f(x)是减函数,于是{0<a <1,
a -3<0,a 0≥(a -3)×0+4a,
所以
0<a ≤1
4. 7.答案 (-∞,4)
解析 由∃x 1≠x 2,x 1,x 2∈R, f(x 1)=f(x 2),得f(x)在R 上不单调.若f(x)在R 上单调,只能单调递增,此时{a
2≥1,a >0,-1+a ≤2a -5,
解得a ≥4,故函数不单调时实数a 的取值范围是a<4.
结论三 抽象函数的 周期性与单调性
跟踪集训 8.答案 1
解析 因为f(x)为R 上的奇函数,所以f(-x)=-f(x), f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1. 9.答案 3
解析 因为f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x), 又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x), 则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 10.答案 4
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R 上的奇函数,所以f(x)=-f(-x).因为f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2
017)=f(504×4+1)=f(1)=4,又因为f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四 函数零点
跟踪集训 11.答案 [1,9
4)
解析 画出当x ≥0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y 轴对称可得x<0时的图象,如图,由图象可得m ∈[1,94).
12.答案 [-6,1
4]
解析 令3x =t,t ∈[13,3],则函数f(x)=3x -32x -m 在[-1,1]上有零点⇔m=-t 2+t 在t ∈[1
3,3]内有解,则m ∈[-6,1
4].
13.答案 [-5,-2√2-2)
解析 曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x ≥2的图象有两个不同的交点,即关于x 的方程x+1=(1-x)(a+x),x ∈[2,+∞)有两个不等根,整理得x 2+ax+1-a=0,x ∈[2,+∞)有两个不等根,所以{Δ=a 2-4(1-a)>0,-a
2
>2,4+2a +1-a ≥0,
解得-5≤a<-2√2-2.
结论五 三角函数
跟踪集训 14.答案 -3
4
解析 由已知得,tan α=-3
4, 则cos(π2+α)sin(-π-α)
cos(11π2-α)sin(9π2
+α)
=-sin 2α
cos(
3π2-α)sin(π
2
+α)
=
-sin 2α-cos(π2
-α)cosα
=-sin 2α-sinαcosα=tan α=-3
4.
15.答案 [-1,1]
解析 由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=π
2,所以α=β+π
2,β=α-π
2,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin (α+π
2)+sin (π
2-β)=cos α+cos β=cos β+cos (β+π
2)=cos β-sin β=√2cos (β+π
4),由α,β∈[0,π],α=β+π
2得β∈[0,π
2],则β+π
4∈[π4,3π
4
],
则cos (β+π
4)∈[-√22,√22], 所以√2cos (β+π4)∈[-1,1]. 16.答案 [0,π
3] 解析 f(x)=
1-cos2x
2+√3cos xsin x=√32sin 2x-12cos 2x+12=sin (2x -π6)+12,由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π
2,k ∈Z 得
kπ-π
6≤x ≤kπ+π3,k ∈Z,与[0,π
2]取交集得所求递增区间是[0,π
3].
结论六 解三角形
跟踪集训 17.答案
√22
解析 设tan A=k,k>0,则tan B=2k,tan C=3k,由 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C 得6k=6k 3,解得k=1, 则tan A=1,则A=π
4,cos A=√2
2.
18.解析 (1)由a=2bsin A 得sin A=2sin Bsin A,因为sin A ≠0,所以sin B=1
2,又B 是锐角,则B=π
6. (2)cos A+sin C=cos A+sin(A+B)=cos A+sin (A +π
6
)=√32
sin A+3
2
cos A=√3·sin (A +π
3
),又由△ABC
为锐角三角形得{0<A <π
2,
0<C =5π6-A <π2,
则π3<A<π
2,
则A+π
3∈(2π3,
5π
6
),
√3sin (A +π
3)∈(√32,3
2),
即cos A+sin C 的取值范围是(√32,3
2).
结论七 不等式
跟踪集训 19.答案 m<-1
解析 由题意知,不等式m<1x -2x(x ∈[1,3]),易知函数y=1
x -2x,x ∈[1,3]单调递减,则y max =-1,∴m<-1,即实数m 的取值范围是m<-1. 20.答案 [-8,4]
解析 由题意知a 2-λab+(8-λ)b 2≥0对任意a ∈R 恒成立,则Δ=λ2b 2-4(8-λ)b 2≤0,即λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.即实数λ的取值范围是[-8,4]. 21.答案 -√2-1
解析 因为2xy=(x+y)2
-(x 2
+y 2
)=(x+y)2
-1=(x+y+1)·(x+y-1),又(
x+y 2
)2≤
x 2+y 22
=12,所以2xy
x+y+1=x+y-
1≥-√2(x 2+y 2)-1=-√2-1,当且仅当x=y 时取等号.故2xy
x+y+1的最小值为-√2-1. 22.答案
√2-1
2 解析 由√(2a)2+b 2
2
≥
2a+b 2
≥√2a ·b ,得√2ab ≤12,且4a 2+b 2≥1
2,所以S=2√ab -(4a 2+b 2)=√2·√2ab -(4a 2+b 2)≤√22-1
2,当且仅当2a=b=1
2时取等号,即S 的最大值为
√2-1
2
. 结论八 平面向量
跟踪集训 23.答案 {-1} 解析 ∵BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)OB
⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵点A,B,C 都在直线l 上,点O 不在l 上, ∴-x 2+(1-x)=1, 即x=0(舍去)或x=-1, ∴x 的取值集合为{-1}.
24.答案 垂心
解析 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ -PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可证PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴P 是△ABC 的垂心. 25.答案 重心
解析 取AB 的中点D,则2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3[(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ], ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3[2(1-λ)OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=2(1-λ)3OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1+2λ3
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵
2(1-λ)3
+
1+2λ3
=1,
∴P,C,D 三点共线,
∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.
结论九 等差数列
跟踪集训 26.答案 90
解析 (S 20-S 10)-S 10=(S 30-S 20)-(S 20-S 10),则S 30=3S 20-3S 10=3×50-3×20=90. 27.答案 5
解析 设该等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇,偶数项的和为S 偶,公差为d. 由已知条件,得{
S 奇+S
偶
=354,
S 偶
∶S
奇
=32∶27,
解得{
S 偶=192,S
奇
=162.
又S 偶-S 奇=6d,所以d=
192-162
6
=5.
结论十 等比数列
跟踪集训
28.答案70
解析解法一:∵S10=a1+a2+…+a10,
S20-S10=a11+a12+…+a20=a1q10+a2q10+…+a10q10=q10S10, S30-S20=a21+a22+…+a30=a1q20+a2q20+…+a10q20=q20S10,∴S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,公比为q10,
∴(S20-S10)2=S10(S30-S20).
∵S10=10,S20=30,
∴(30-10)2=10(S30-30),∴S30=70.
解法二:∵S10=10,S20=30,
∴S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+a1q10+a2q10+…+a10q10
=S10+q10S10=10(1+q10)=30,
∴q10=2,
∴S30=S20+a21+a22+…+a30
=S10+q10S10+q20S10
=10(1+q10+q20)
=70.
29.答案22-(1
2
)
n-2
解析对于a n+1
2=4a
n
,等号两边取以2为底的对数得,2log2a n+1=log2a n+2.令b n=log2a n,则2b n+1=b n+2,
即2(b n+1-2)=b n-2.
令C n=b n-2,则C n+1=1
2
C n,
∵a1=1,∴b1=0,C1=-2,
∴{C n}是首项为-2,公比为1
2
的等比数列,
∴C n =-2(12)n -1
=-(12)
n -2
, ∴b n =2-(12)
n -2
,a n =2
2-(12
)
n -2.
30.答案 3
解析 等比数列{a n }共有2k+1(k ∈N *)项,则a 2k+1=192,则S 奇=a 1+a 3+…+a 2k-1+a 2k+1=
1q
(a 2+a 4+…+a 2k )+a 2k+1=1q S 偶+a 2k+1=-126q
+192=255,解得q=-2,而S 奇
=
a 1-a 2k+1q 21-q 2
=
a 1-192×(-2)2
1-(-2)2
=255,解得a 1=3.
结论十一 直线与圆
跟踪集训 31.答案 4
解析 由题意可得直线l 与圆A:(x-1)2+(y-1)2=1和圆B:(x-3)2+(y-4)2=1都相切,又AB=√13>2,则圆A 和圆B 相外离,所以两圆有4条公切线,即直线l 有4条. 32.答案 [1,5]
解析 由题意可得过点A 作圆M 的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60°,连接CM,则CM 与一条切线的夹角大于等于30°,又圆M 的半径为2,设A(x,6-x),则MA=√(x -1)2+(5-x)2≤4,解得1≤x ≤5. 33.答案
√26
2
解析 以点A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),设C(x,y),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2x-2(x-2)=43(x 2-2x+y 2),化简得(x-1)2+y 2=4,取E(5,0),可以验证对圆(x-1)2+y 2=4上任意一点C 都有CB=1
2CE,则CB+1
2CD=1
2(CE+CD)≥1
2DE=√26
2
,当点C 在线段DE 与
圆的交点处时取等号,故CB+1
2CD 的最小值为
√26
2
.
结论十二 圆锥曲线
跟踪集训 34.答案
√53
解析 设椭圆的长、短半轴分别为a 1,b 1,双曲线的实、虚半轴分别为a 2,b 2,因为点P 是椭圆与双曲线的一个交点,
则由焦点三角形的面积得b 12tan 45°=b 22tan45°,即b 12=b 22
,
由e 2=3e 1得c a 2
=3c a 1
,即a 2=13a 1,又由b 12=b 22得a 12-c 2=c 2-a 22,即a 12-c 2=c 2-19a 12,109a 12=2c 2,则e 1=c a 1
=√5
3.
35.答案 1
解析 设P(x 0,y 0),M(x 1,y 1),N(-x 1,-y 1),
则k 1k 2=y 0-y 1x 0
-x 1
·y 0+y
1x 0
+x 1
=y 02-y 12x 0
2-x 1
2=-b 2a 2=-a 2-c 2a 2
=-1+34=-1
4,
所以|k 1|+|k 2|≥2√|k 1k 2|=1, 当且仅当|k 1|=|k 2|=1
2时取等号, 所以|k 1|+|k 2|的最小值为1. 36.答案
94
解析 由已知得焦点坐标为F (3
4,0),
因此直线AB 的方程为y=√3
3(x -3
4),即4x-4√3y-3=0. 解法一:与抛物线方程联立,消去x 得4y 2-12√3y-9=0, 则y A +y B =3√3,y A y B =-9
4,
故|y A -y B |=√(y A +y B )2-4y A y B =6. 因此S △OAB =1
2|OF||y A -y B |=12×3
4
×6=9
4.
解法二:与抛物线方程联立,消去y 得x 2-21
2x+9
16=0, 故x A +x B =21
2.
根据抛物线的定义有|AB|=x A +x B +p=212+3
2=12,
又原点到直线AB 的距离 d=
√42+(-4√3)2
=3
8,
因此S △OAB =1
2|AB|·d=9
4.
解法三:∵|AB|=2p
sin α=3
sin 30°=12, 原点到直线AB 的距离 d=|OF|·sin 30°=38,
∴S △OAB =1
2|AB|·d=1
2×12×38=9
4.。