2024-2025学年福建省福州马尾区四校联考数学九上开学考试试题【含答案】

2024-2025学年福建省福州马尾区四校联考数学九上开学考试试题
题号一二三四五总分
得分批阅人
A 卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知直线y=-x+6交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段OA 上，将△PAB 沿BP 翻折，点A 的对应点A′恰好落在y 轴上，则
PA
OP
的值为()
A ．
2
B ．1
C D ．2、（4分）反比例函数3
y x
=-图象上有11(2),P x -，22(3),P x -两点，则1x 与2x 的大小关系是（）
A ．12
x x =B ．12
x x >C ．12
x x <D ．不确定
3、（4分）小明用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q （元）与他买这种笔记本的本数x 之间的函数关系式是（）
A ．8Q x
=B ．850
Q x =-C ．850Q x =+D ．508Q x
=-4、（4分）下列各式，计算结果正确的是()
A ．×＝10
B C D ．＝35、（4分）如图，在平面直角坐示系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的横坐标分別为1，2，反比例函数2
y x
=的图像经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的边长为（
）
A ．1
B C ．2
D ．6、（4分）若a b >，则下列不等式正确的是()
A ．a b 0-<
B ．a 8b 8
+<-C ．5a 5b
-<-D ．a b
44
<7、（4分）x 的取值范围是（
）A ．0
x ≥B ．2
x ≥-C ．2
x <-D ．2x ≠-8、（4分）一元二次方程22350x x +-=的根的情况为（）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数
根
D ．没有实数根
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，边长为6的正方形ABCD 和边长为8的正方形BEFG 排放在一起，1O 和
2O 分别是两个正方形的对称中心，则12O BO 的面积为________．
10、（4分）如图，菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AD ，BC 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接DO ，若∠BAC ＝28°，则∠ODC ＝_____．
11、（4分）一次函数y ＝(2m －6)x ＋5中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是________．
12、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是双曲线
在第一象限的分支上的一个
动点，连接AO 并延长与这个双曲线的另一分支交于点B ，以AB 为底边作等腰直角三角形ABC ，使得点C 位于第四象限。

（1）点C 与原点O 的最短距离是________；（2）没点C 的坐标为（
，点A 在运动的过程中，y 随x 的变化而变化，y 关于
x 的函数关系式为________。

13、
（4分）已知2019x y +=，2020
2019
-=
x y ，则22x y -的值为___________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，点B E C F ，
，，在同一直线上，90A D ∠=∠=︒，BE CF =，AC DE =．求证：ACB DEF ∠=∠．
15、（8分）如图，边长为7的正方形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点P 从点C 出发，以每秒1个单位的速度向O 运动，点Q 从点O 同时出发，以每秒1个单位的速度向点A 运动，到达端点即停止运动，运动时间为t 秒，连PQ 、BP 、BQ ．
（1）写出B 点的坐标；（2）填写下表：时间t （单位：秒）1
2
3
4
5
6
OP 的长度
OQ 的长度
PQ 的长度
四边形OPBQ 的面积
①根据你所填数据，请描述线段PQ 的长度的变化规律？并猜测PQ 长度的最小值．②根据你所填数据，请问四边形OPBQ 的面积是否会发生变化？并证明你的论断；（3）设点M 、N 分别是BP 、BQ 的中点，写出点M ，N 的坐标，是否存在经过M ，N 两点的反比例函数？如果存在，求出t 的值；如果不存在，说明理由．
16、（8分）如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ．
（1）求证：CF=CD ；
（2）若AF 平分∠BAD ，连接DE ，试判断DE 与AF 的位置关系，并说明理由．17、（10分）如图，ABCD 中，DF 平分ADC ∠交AC 于点H ，G 为DH 的中点．（1）如图①，若M 为AD 的中点，AB AC ⊥，9AC ＝，8CF ＝，CG ＝，求GM ；（2）如图②，M 为线段AB 上一点，连接MF ，满足MCD BCG ∠∠＝，
MFB BAC ∠∠＝．求证：2MC CG ＝．
18、（10分）某校组织春游活动，提供了A 、B 、C 、D 四个景区供学生选择，并把选择最多的景区作为本次春游活动的目的地。

经过抽样调查，并将采集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图①、②所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生有______名，其中选择景区A 的学生的频率是______：（2）请将图②补充完整：
（3）若该校共有1200名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少名学生选择景区C ？（要有解答过程）
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝5，AB ＝1．若M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ．若△NBC 是直角三角形．则所有符合条件的M 点所对应的AM 长度的和为_____．
20、（4分）一种圆柱形口杯（厚度忽略不计），测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm .吸管如图放进杯里，杯口外面露出部分长为4cm ，则吸管AD 的长度为_____cm .
21、（4分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．当轿车到达乙地后，马上沿原路
以CD 段速度返回，则货车从甲地出发_______小时后与轿车相遇（结果精确到0.01）
22、（4分）当x＝1时，分式x b x a
-+无意义；当x＝2时，分式23x b
x a -+的值为0，则a＋b＝
_____．
23、（4分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝2
，CD ＝5，那么∠D 的度数是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知矩形,8ABCD AB =，4,AD E =为CD 边上一点，5CE =，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为__________时，PAE ∆是以PE 为腰的等腰三角形．
25、（10分）如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，BC =30C ∠=︒．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向A 点匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（0t >）．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ．
（1）AC 的长是，AB 的长是
；
（2）在D 、E 的运动过程中，线段EF 与AD 的关系是否发生变化？若不变化，那么线段
EF 与AD 是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．
26、（12分）在等腰三角形ABD 中，AB =AD ．
(I)试利用无刻度的直尺和圆规作图，求作：点C ，使得四边形ABCD 是菱形.(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(II)在菱形ABCD 中，连结AC 交BD 于点O ，若AC =8，BD =6，求AB 边上的高h 的长.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】
设：PA=a=PA ′，则OP=6-a ，OA ′=，由勾股定理得：PA ′2=OP 2+OA ′2，即可求解．【详解】
解：如图，y=-x+6，令x=0，则y=6，令y=0，则x=6，
故点A 、B 的坐标分别为（6，0）、（0，6），则AB==A ′B ，设：PA=a=PA ′，则OP=6-a ，OA ′=，由勾股定理得：PA ′2=OA ′2+OP 2，即（a ）2=（-6）2+（6-a ）2，解得：a=12-则PA=12-OP=−6，则
PA
OP
.故选：C ．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，关键在于在画图的基础上，利用勾股定理：PA ′2=OA ′2+OP 2，从而求出PA 、OP 线段的长度，进而求解．2、B 【解析】
根据反比例函数解析式，判断出反比例函数的增减性，根据增减性判断1x 与2x 的大小即可．
由反比例函数的k 的值为负数，∴各象限内，y 随x 的增大而增大，∵−2>−3，∴1x >2x ，故选B
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于判断出反比例函数的增减性3、D 【解析】
剩余的钱=原有的钱-用去的钱，可列出函数关系式．【详解】
剩余的钱Q(元)与买这种笔记本的本数x 之间的关系为：Q=50−8x.故选D
此题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题关键在于列出方程4、D 【解析】
分析：根据二次根式的加减法对B 、C 进行判断；根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断．详解：A 、原式，所以A 选项错误；
B 、不是同类二次根式，不能合并，所以B 选项错误；
C 、原式C 选项错误；
D 、原式，所以D 选项正确．故选：D ．
点睛：本题考查了二次根式的运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5、B
过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为1，2，可得出纵坐标，即可求得AE ，BE ，再根据勾股定理得出答案．【详解】
解：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E ，
∵A ，B 两点在反比例函数2
y x
=的图象上且横坐标分别为1，2，∴A ，B 纵坐标分别为2，1，∴AE=1，BE=1，∴.故选B ．
本题考查菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．6、C 【解析】
根据不等式的基本性质，逐个分析即可.【详解】
若a b >，则a b 0->,a 8b 8+>-,5a 5b -<-,a b
44
>.故选C
本题考核知识点：不等式的性质.解题关键点：熟记不等式的基本性质.7、B 【解析】
根据二次根式的双重非负性即可求得.【详解】
0，故20x +≥∴2x ≥-故选B.本题考查了二次根式有意义的条件，难度低，属于基础题，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题关键.8、B 【解析】求出△的值，利用根的判别式与方程根的关系即可判断．【详解】一元二次方程22x 3x 50+-=中，a=2，b=3，c=-5，△()23425=-⨯⨯-=490>，∴方程有两个不相等的实数根，故选B ．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)0>⇔方程有两个不相等的实数根；(2)0=⇔方程有两个相等的实数根；(3)0<⇔方程没有实数根．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、12【解析】由O 1和O 2分别是两个正方形的对称中心，可求得BO 1，BO 2的长，易证得∠O 1BO 2是直角，继而求得答案．【详解】解：∵O 1和O 2分别是这两个正方形的中心，
∴BO 1=2,BO 2=2,∠O 1BC=∠O 2BC=45°，
∴∠O 1BO 2=∠O 1BC+∠O 2BC=90°，
∴阴影部分的面积=12=12.
故答案是：12.
本题考查的是正方形的综合运用，熟练掌握对称中心是解题的关键.10、62°【解析】证明AOM ≌CON ，根据全等三角形的性质得到AO=CO ，根据菱形的性质有：AD=DC ，根据等腰三角形三线合一的性质得到DO ⊥AC ，即∠DOC=90°.根据平行线的性质得到∠DCA=28°，根据三角形的内角和即可求解.【详解】四边形ABCD 是菱形，AD//BC,.OAM OCN ∴∠=∠在AOM 与CON 中，. OAM OCN AOM CON AM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOM ∴≌()AAS CON ；∴AO=CO ，AD=DC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC=90°.∵AD ∥BC ，∴∠BAC=∠DCA.∵∠BAC=28°，∠BAC=∠DCA.，∴∠DCA=28°，
∴∠ODC=90°-28°=62°.
故答案为62°
考查菱形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等，比较基础，数形结合是解题的关键.
11、m ＜1
【解析】
解：∵y 随x 增大而减小，∴k ＜0，∴2m-6＜0，∴m ＜1．12、【解析】（1）先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB ，利用勾股定理求出AO 的长为，再配方得，根据非负性即可求出OA 的最小值，进而即可求解；（2）先证明△AOD ≌△COE 可得AD=CE ，OD=OE ，然后根据点C 的坐标表示出A 的坐标，再由反比例函数的图象与性质即可求出y 与x 的函数解析式.【详解】解：（1）连接OC ，过点A 作AD ⊥y 轴，如图，，∵A 是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，延长AO 交另一分支于点B ，
∴OA=OB ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB ，
∴当OA 的长最短时，OC 的长为点C 与原点O 的最短距离，
设A （m ，），∴AD=m ，OD=，∴OA===，∵，∴当时，OA=为最小值，∴点C 与原点O 的最短距离为.故答案为；（2）过点C 作x 轴的垂线，垂足为E ，如上图，∴∠ADO=∠CEO=90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴OC=OA=OB ，OC ⊥AB ，∴∠COE+∠AOE=90°，∵∠AOD+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠COE ，∴△AOD ≌△COE （AAS ），∴AD=CE ，OD=OE ，∵点C 的坐标为(x ，y)(x ＞0)，∴OE=x ，CE=-y ，
∴OD=x ，AD=-y ，
∴点A 的坐标为（-y ，x ），
∵A 是双曲线第一象限的一点，
∴，即，∴y 关于x 的函数关系式为（x>0）.故答案为（x>0）.本题考查了反比例函数的综合应用及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质.利用配方法求出AO 的长的最小值是解题的关键.13、1【解析】将22x y -写成(x+y)(x-y)，然后利用整体代入求值即可．【详解】解：∵2019x y +=，20202019-=x y ，∴()()222020==2019=20202019x y x y y x -+⨯-，故答案为：1．本题考查了平方差公式的应用，将22x y -写成(x+y)(x-y)形式是代入求值在关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、详见解析【解析】先证出BC FE =，由HL 证明Rt △ABC ≌Rt △DFE ，得出对应边相等即可．【详解】解：证明：90A D ∠=∠=︒，
∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形，
BE CF =，
BE EC FC EC ∴+=+即BC EF =，
在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，
BC FE
AC DE =⎧⎨=⎩，
∴Rt △ABC ≌Rt △DFE （HL ），∴ACB DEF ∠=∠.本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．15、（1）B （7，7）；（2）表格填写见解析；①,PQ ②四边形OPBQ 的面积不会发生变化；（3）t=3.5存在经过M ，N 两点的反比例函数.【解析】通过写点的坐标，填表，搞清楚本题的基本数量关系，每个量的变化规律，然后进行猜想；用运动时间t ，表示线段OP ，OQ ，CP ，AQ 的长度，运用割补法求四边形OPBQ 的面积，由中位线定理得点M （3.5，7-t 2），N （t+72，3.5），反比例函数图象上点的坐标特点是••M M N N x y x y =，利用该等式求t 值．【详解】解：(1)∵在正方形OABC 中OA=OC=7∴B （7，7）(2)表格填写如下：①线段PQ 的长度的变化规律是先减小再增大,PQ .理由如下：
在Rt △POQ 中，OP=7-t ，OQ=t
∴PQ 2=(7-t)2+t 2=2t 2-14t+49=2
749
222
t ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∵2
70
2t ⎛⎫
-≥ ⎪⎝⎭
∴2749492222t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭∴当72t =时PQ 2最取得最小值为492∴此时PQ ==②根据所填数据，四边形OPBQ 的面积不会发生变化；∵7t 7-t 77--=2422POQB S ⨯⨯=⨯（7）.5=24.5，∴四边形OPBQ 的面积不会发生变化.(3)点M(3.5,7−t 2),N(t+72,3.5)，当3.5(7−t 2)=t+72×3.5时，则t=3.5，∴当t=3.5存在经过M ，N 两点的反比例函数.本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正方形的性质,坐标与图形性质,反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.16、（1）见解析（2）DE ⊥AF 【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得到AB ∥CD ，从而可得到AB ∥DF ，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E 是BC 的中点，从而可根据AAS 来判定△BAE ≌△CFE ，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF ，进而得出CF=CD ；（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF ，再利用角平分线的性质以及等角对等边求出DA=DF ，利用等腰三角形的性质求出即可．
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∵点F 为DC 的延长线上的一点，
∴AB ∥DF ，
∴∠BAE=∠CFE ，∠ECF=∠EBA ，
∵E 为BC 中点，
则在△BAE 和△CFE 中，，∴△BAE ≌△CFE （AAS ），∴AB=CF ，∴CF=CD ；（2）解：DE ⊥AF ，理由：∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ，∵∠BAF=∠F ，∴∠DAF=∠F ，∴DA=DF ，又由（1）知△BAE ≌△CFE ，∴AE=EF ，∴DE ⊥AF ．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．17、（1）52MG =（2）见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AD ∥BC ，由DF 平分∠ADC 可得△DCF 为等腰三角形，即DC=FC=8，再根据AB ⊥CD 得出△ACD 为直角三角形，由G 是HD 的中点得出DH=2GC=HC=4，即AH=5，最后根据M 为AD 的中点，即可得出MG 的值.
（2）过点D 作DN ∥AC 交CG 延长线于N ，可得=ACN N ∠∠，DAC ADN =∠∠，由G 是DH 的中点得DG HG =，故()CGH NGD AAS ≅△△，即2CN CG =，再由四边形ABCD 是平行四边形可得∠DAC=∠ACB=∠AND ，根据三角形内角和定理可得∠BMF=∠AND ，∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC ，再由∠MFC=∠NDC ，且CF=CD ，∠FCM=∠DCM 证明得出△MFC ≅△NDC(ASA)，即可得出CM=CN=2CG.
（1）四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD ，AD ∥BC 又AD ∥BC ∴∠ADF=∠DFC DF 平分∠ADC ∴∠ADF=∠FDC ∴∠DFC=∠FDC ∴△DCF 为等腰三角形∴CD=FC=8AB ⊥CD 且AB ∥CD ∴AC ⊥CD ∴△ACD 为直角三角形又G 是HD 的中点且GC=∴DH=2GC=斜边中线=斜边的一半)∴RT △HCD 中DC=8，HD=∴4HC ==AC=9∴AH=5M 是AD 的中点∴1
5
22MG AH ==.
（2）
证明：过点D作DN∥AC交CG延长线于N
=ACN
N
∴∠∠，DAC ADN
=
∠∠
G是DH的中点
DG HG
∴=，且∠N=∠ACG，∠CGH=∠DGN
()
CGH NGD AAS
∴≅
△△
GC GN
∴=
2
CN CG
∴=
MCD=
∠∠BCG
FCM DCN
∴=
∠∠
又四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC，AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=∠AND
∠MFB=∠BAC,且∠BMF=180°-∠B-∠BFM，∠ACB=180°-∠B-∠BAC
∴∠BMF=∠ACB
∴∠BMF=∠ADN
∴∠BMF+∠B=∠AND+∠ADC
∴∠MFC=∠NDC，且CF=CD，∠FCM=∠DCM
∴△MFC≅△NDC(ASA)
∴CM=CN=2CG
本题主要考查平行四边形的性质、斜边的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质及斜边的性质，利用勾股定理求出AH的值.
18、（1）180，1
5；（2）见解析；（3）全校选择景区C的人数是480人．
（1）根据D 组所对应的圆心角即可求得对应的比例，利用D 组的人数除以对应的比例即可求得抽查的总人数，然后根据频率定义求解；（2）利用总人数减去其它组的人数即可求得C 组人数，补全直方图；（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．【详解】解：（1）抽查的人数是42÷84360=180（人），选择景区A 的学生的频率是：36180=15，故答案是：180，15；（2）C 组的人数是180-36-30-42=72（人）；（3）估计有721200480180⨯=（人），答：全校选择景区C 的人数是480人.本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、5．
【解析】
根据四边形ABCD 为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M 为射线AD 上的一个动点可知若△NBC 是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分N 在矩形ABCD 内部与N 在矩形ABCD 外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，∵将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，∴∠MAB ＝∠MNB ＝90°．∵M 为射线AD 上的一个动点，△NBC 是直角三角形，∴∠NBC ＝90°与∠NCB ＝90°都不符合题意，∴只有∠BNC ＝90°．①当∠BNC ＝90°，N 在矩形ABCD 内部，如图3．∵∠BNC ＝∠MNB ＝90°，∴M 、N 、C 三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4．设AM ＝MN ＝x ，∵MD ＝5﹣x ，MC ＝4+x ，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（5﹣x ）5＝（4+x ）5，解得x ＝3；
当∠BNC ＝90°，N 在矩形ABCD 外部时，如图5．
∵∠BNC ＝∠MNB ＝90°，∴M 、C 、N 三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4，设AM ＝MN ＝y ，∵MD ＝y ﹣5，MC ＝y ﹣4，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（y ﹣5）5＝（y ﹣4）5，解得y ＝9，则所有符合条件的M 点所对应的AM 和为3+9＝5．故答案为5．本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．20、17【解析】根据吸管、杯子的直径及高恰好构成直角三角形，求出AB 的长，再由勾股定理即可得出结论.【详解】如图，连接AB ，
杯子底面半径为2.5cm ，高为12cm ，
∴2 2.55AB cm =⨯=，12BC cm =，
吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，
∴()13AC cm ===，
杯口外面露出4cm ，
∴吸管的长为：()13417cm +=.故答案为：17.本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用.21、4.68.【解析】观察图象可求得货车的速度为60千米/时，轿车在CD 段的速度为110千米/时，轿车到达乙地时与货车相距30千米，设货车从甲地出发后x 小时后再与轿车相遇，根据题意可得方程110（x-4.5）+60（x-4.5）=30，解方程即可求得x 的值，由此即可解答.【详解】观察图象可得，货车的速度为300÷5=60（千米/时），轿车在CD 段的速度为（300-80）÷（4.5-2.5）=110（千米/时），轿车到达乙地时与货车相距300-60×4.5=30（千米），设货车从甲地出发后x 小时后再与轿车相遇，110（x-4.5）+60（x-4.5）=30，解得x=15946834.≈，∴货车从甲地出发后4.68小时后再与轿车相遇.故答案为4.68.本题考查了一次函数的应用，根据图象获取信息是解决问题的关键．22、3
【解析】
先根据分式无意义的条件可求出a 的值,再根据分式值为0的条件可求出b 的值,最后将求出的a,b 代入计算即可.
【详解】
因为当1x =时,分式x b
x a -+无意义,
所以10a +=,解得: 1a =-,因为当2x =时,分式23x b x a -+的值为零,所以4020b a -=⎧⎨+≠⎩,解得: 4b =,所以143,a b +=-+=故答案为:3.本题主要考查分式无意义和分式值为0的条件,解决本题的关键是要熟练掌握分式无意义和分式值为0的条件.23、60°或120°【解析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得直角三角形DEC 的直角边和斜边的长，然后利用三角函数，即可求解.【详解】①如图1，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠DEC ＝∠DEB ＝90°，∵AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠B ＝90°，
∴四边形ABED 是矩形，
∴∠ADE ＝90°，AB ＝DE ＝53
2，
∵CD ＝5，
∴sin C ＝DE CD ＝2，
∴∠C ＝60°，∴∠EDC ＝30°，∴∠ADC ＝90°+30°＝120°；②如图2，此时∠D ＝60°，即∠D 的度数是60°或120°，故答案为：60°或120°．该题重点考查了三角函数的相关知识，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为三角函数问题，从而即可求解.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、2或236【解析】根据矩形的性质求出∠D=90°，AB=CD=8，求出DE 后根据勾股定理求出AE ；过E 作EM ⊥AB 于M ，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，求出AM=DE=3，当EP=EA 时，AP=2DE=6，即可求出t ；当AP=AE=5时，求出BP=3，即可求出t ；当PE=PA 时，则x 2=（x-3）2+42，求出x ，即可求出t ．【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴∠D=90°，AB=CD=8，∵CE=5，∴DE=3，
在Rt △ADE 中,∠D=90°,AD=4,DE=3,由勾股定理得：AE=5
过E 作EM ⊥AB 于M ，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，
则AM=DE=3，若△PAE 是等腰三角形，则有三种可能：当EP=EA 时，AP=2DE=6，所以t=861-=2；当AP=AE=5时，BP=8−5=3，所以t=3÷1=3；当PE=PA 时,设PA=PE=x,BP=8−x,则EQ=5−(8−x)=x−3，则()2234x x =-+解得：x=256，则t=(8−256)÷1=236，综上所述t=2或236时，△PAE 为等腰三角形。

故答案为：2或236.本题考查等腰三角形的性质，分情况求得t 的值是解题关键.25、（1）10AC =，5AB =；（2）EF 与AD 平行且相等；（3）当103t =时，四边形AEFD 为菱形【解析】（1）在Rt △ABC 中，∠C=30°，则AC=2AB ，根据勾股定理得到AC 和AB 的值．（2）先证四边形AEFD 是平行四边形，从而证得AD ∥EF ，并且AD=EF ，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD 为平行四边形，若使▱AEFD 为菱形则需要满足的条件及求得．【详解】
（1）解：在Rt ABC △中，30C ∠=︒，2AC AB ∴=，
根据勾股定理得：222AC AB BC -=,2375AB ∴=，
5AB ∴=，10AC =；
（2）EF 与AD 平行且相等．
证明：在DFC △中，90DFC ∠=︒，30C ∠=︒，2DC t =，DF t ∴=．
又AE t =，AE DF ∴=．AB BC ⊥，DF BC ⊥，AE DF ∴∥．∴四边形AEFD 为平行四边形．∴EF 与AD 平行且相等．（3）解：能；理由如下：AB BC ⊥，DF BC ⊥，AE DF ∴∥．又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形．5AB =，10AC =，102AD AC DC t ∴=-=-．若使平行四边形AEFD 为菱形，则需AE AD =，即102t t =-，解得：103t =．即当103t =时，四边形AEFD 为菱形．本题考查勾股定理、菱形的判定及平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握勾股定理的使用、菱形的判定及平行四边形的判定与性质.26、(I)见解析；(II)245【解析】(I)根据菱形的尺规作图的方法作图即可.(II)先由勾股定理可得出AB 的长度，然后根据菱形的面积：11AC·BD AB·h 22=即可求出h 的长度.【详解】(I)如图，点是所求作的点，
∴四边形是菱形.
(II)如图：连接AC ，交BD 于点O.
∵四边形是菱形，∴，，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，解得：.本题考查了菱形的尺规作图和菱形的性质，难点在于根据等面积法求出h 的值.。