2021年高考数学大二轮复习专题六解析几何6.1直线与圆练习

6.1 直线与圆
【课时作业】
A 级
1．假设直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3x ＋2a ＝0平行，那么l 1与l 2之间的距离为( )
A.42
3 B ．
4 2
C.82
3
D ．2 2
解析： 由l 1∥l 2，得
1a －2＝a 3≠6
2a
，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，
l 2：x －y ＋23
＝0，
所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232
＝8
3
2.
答案： C
2．直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2
＝4的周长，那么直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
解析： 由得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1,2)，半径为rC (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．
答案： B
3．光线从点A (－3,4)发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，最后经过点B (－2,6)，那么经y 轴反射的光线的方程为( )
A ．2x ＋y －2＝0
B ．2x －y ＋2＝0
C ．2x ＋y ＋2＝0
D ．2x －y －2＝0
解析： ∵点A (－3,4)关于x 轴的对称点A 1(－3，－4)在经过x 轴反射的光线上，同样点A 1(－3，－4)关于y 轴的对称点A 2(3，－4)在经过y 轴反射的光线上，∴kA 2B ＝
6＋4
－2－3
y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0，应选A.
答案： A
4．圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，那么圆M 与圆
N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解析： 圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)可化为：x 2
＋(y －a )2
＝a 2
，由题意，d ＝
a
2
，所以有，a 2
＝a 2
2＋2，解得aM ：x 2＋(y －2)2＝22
，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以二
者相交．
答案： B
5．(2021·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝2上，那么△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2,6]
B ．[4,8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析： 设圆(x －2)2
＋y 2
＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为
d ，那么圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22
＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为1
2AB ·d max
＝6，△ABP 面积的最小值为1
2
AB ·d min ＝2.
综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．应选A. 答案： A
6．(2021·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2
＋y 2
＋2y －3＝0交于A ，B 两点，那么|AB |＝________.
解析： 由x 2
＋y 2
＋2y －3＝0，得x 2
＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.
圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|
2＝2，
∴|AB |＝2r 2
－d 2
＝24－2＝2 2. 答案： 2 2
7．直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，那么直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．
解析： 直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝
3
3
，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝3
3
(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x
－2)，联立直线l 1与l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝33x ＋2，
y ＝－3x －2，得⎩⎨
⎧
x ＝1，
y ＝3，
即直线l 1与直线l 2
的交点坐标为(1，3)．
答案： (1，3)
8．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2
＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，那么点C 到直线AB 的距离为________．
解析： 以OC 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y
2
＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2
－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋
y －2
2
＝5－254，
化为3x ＋4y －5＝0，C 到AB 的距离为d ＝
|3×3＋4×4－5|
32＋4
2
＝4. 答案： 4
9．两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋ba ，b 的值． (1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；
(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，
∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2
－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得，a ＝2，b ＝2.
(2)由题意知当a ＝0或b ＝0时不成立． ∵l 1∥l 2，∴a b
＝1－a ，∴b ＝
a
1－a
， 故l 1和l 2的方程可分别表示为 (a －1)x ＋y ＋
4
a －1a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a
1－a
＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 1－a ，
∴a ＝2或a ＝2
3
，
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
10．点P (0,5)及圆C ：x 2
＋y 2
＋4x －12y ＋24＝0.
(1)假设直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．
解析： (1)如下图， |AB |＝43，
将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2
＋(y －6)2
＝16， 所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4， 设D 是线段AB 的中点，那么CD ⊥AB ，
所以|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.
假设直线l 的斜率存在，设为k ，那么直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：
|－2k －6＋5|
k 2＋－12
＝2，得k ＝3
4.
故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.
直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 那么CD ⊥PD ，即CD →·PD →
＝0， 所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x 2
＋y 2
＋2x －11y ＋30＝0.
B 级
1．(2021·贵阳市适应性考试(一))直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2
＋y 2
－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π
3
，那么实数a ＝________.
解析： 直线l 的方程可变形为y ＝1
3ax ＋4，所以直线l 过定点(0,4)，且该点在圆M
上．圆的方程可变形为x 2
＋(y －2)2
＝4，所以圆心为M (0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π
3
，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9
＝3，解得a ＝± 3.
答案： ± 3
2．(2021·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，假设△OAB 的面积为8，那么△OAB 外接圆的标准方程是________________．
解析： 法一：设直线l 的方程为x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋
2
b
S △OAB ＝1
2
ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，不妨设A (4,0)，B (0,4)，△OAB 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，那么将O ，A ，B 的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪
⎧
F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，
16＋4E ＋F ＝0，解得
⎩⎪⎨⎪
⎧
F ＝0，D ＝－4，E ＝－4，
所以△OAB 外接圆的方程为x 2＋y 2
－4x －4y ＝0，标准方程为(x －2)2
＋(y －
2)2
＝8.
法二：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b S △OAB ＝1
2
ab
＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，那么△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2
＋(y －2)2
＝8.
答案： (x －2)2
＋(y －2)2
＝8
3．圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝r 2
(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；
(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →
的最小值．
解析： (1)设圆心C (a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧
a －22＋
b －22＋2＝0，
b ＋2
a ＋2＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝0.
那么圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝r 2
， 将点P 的坐标代入得r 2
＝2， 故圆C 的方程为x 2
＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，那么x 2
＋y 2
＝2，
且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2
＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，
那么PQ →·MQ →
＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2. 所以PQ →·MQ →
的最小值为－4.
4．半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．
(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2,4)的直线l 垂直平分弦AB ？假设存在，求出实数a 的值；假设不存在，请说明理由．
解析： (1)设圆心为M (m,0)(m ∈Z )．
∵圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5， ∴
|4m －29|
42＋3
2
＝5，即|4m －29|＝25. ∵m 为整数，∴m ＝1.
∴圆的方程是(x －1)2
＋y 2
＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5， 并将其代入圆的方程，消去y 并整理， 得(a 2
＋1)x 2
＋2(5a －1)x ＋1＝0.
由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2
－4(a 2
＋1)>0，即12a 2
－5a >0，
解得a <0或a >5
12
.
∴实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在．
由(1)得a ≠0，那么直线l 的斜率为－1
a
.
∴直线l 的方程为y ＝－1
a
(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.
∴直线l 垂直平分弦AB ，∴圆心M (1,0)必在直线l 上． ∴1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝3
4.
∵34∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫512，＋∞， ∴存在实数a ＝3
4
，使得过点P ()－2，4的直线l 垂直平分弦AB .。