第一章 4切向加速度法向加速度

(r ) (r )
2
2
2
a r

2

4
（3）
§3.角量与线量之间的关系/ 三、a 与 的关系
§2切向加速度、法向加速度
§2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系
•切向坐标 t 沿运动 轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。 二、切向加速度、 法向加速度
n
n
t
t
切向坐标t和法向坐标n满足右手坐标系
设物体沿平面作曲线运动，若速度变化 为 v ，建立自然坐标系。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将 v 分解为 t 和 v n
v vtt0 vnn 0
（1） A
vA
n
vA
vn
v
vt
其中
vt
vn
B
vB
t
为速度增量在切线方向的分量； 为速度增量在法线方向的分量；
切线方向的单位矢量；
t0
n0
法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限，
Δ t 0
lim
v t
lim
vt t
Δ t 0
t 0 lim
vn t
Δ t 0
n0
有 即
dv

dv t
dt dt dt a att0 a nn 0
at dv t dt
t0
dv n
n0
其中：
at
an
an
dv n dt
2 2
2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1.
at 0 , an 0
at C , an 0
匀速直线运动； 匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
2.
3. 4.
at 0 , an C
at 0 , an 0
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
v r
将质点的加 速度可分解为切 向加速度和法向 加速度，
o
a
r
an
a
§3.角量与线量之间的关系/ 二、v与 关系. 三、a与 的关系
由
a dv dt
v
2
dv dt r

2
an
v
2
r
a
a
an
a
d dt
2
r r
2
o
r
(r ) r
2
an
a
r
a a n

t
1
rad / s ，s 单位：弧度/秒，
，
转/分， rev / min
1 rev / min 2 60 rad / s 0 . 105 s
1
（2）角速度 描写质点在转动时任一时刻或任一位 置的角速度，为平均角速度的极限值。 d lim lim
dv dt

dv dt
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
证明： a n
v
2
以匀速圆周运动为例。对于匀速圆周运 动，速度大小不变，a t 0
OAB O A B
' ' '
r
vB
B vA

v
B
'
A
'

v v

l r
l
ro
A

vA
O
'
vB
v l v s v a a n lim lim lim t 0 t t 0 r t r t o t r
第四节 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系 •问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
v
2
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
at
an
2
dv dt
kR
2
法向加速度 加速度
a

2
v
2
r

( kRt ) R
k Rt
2
2
at an
2
kR k Rt
三、圆周运动的 角量描述
y
B

A
1.角位置 描写物体转动位置的物理量。 O 单位：弧度，rad 2.角位移 描写物体转动时位置变化的物理量。
质点在 t 时间内转过的角度 质点对O点的角位移。 单位：弧度，rad

x
称为
3.角速度 描写物体转动时位置变化的物理量 （1）平均角速度
由于速度大小变化产生的加速度； 由于速度方向变化产生的加速度。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
可以证明：
at
dv dt
an
v
2
r
r 为运动轨迹的曲率半径。
大小
a at an
2 2

v dv dt r
2
2
2
对于平面曲线运动
a
t 0 t 0
t
dt
4.角加速度
描写角速度变化快慢和方向的物理量。 （1）平均角加速度
β ω t
（2）角加速度 描写质点在转动时任一时刻或任一位 置的角加速度，为平均角加速度的极限值。
β lim
ω t
t 0

dω dt

d θ dt
2
2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。 单位：弧度/秒2，rad/s2, s2
四、线量和角量 的关系 （1）位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
s r
r
s
o

x
（1）
（2）速度与角速度之间的关系
将
s r
v同除
lim r
t 0
t
取极限
t
（2） （3）加速度与角加速度之间的关系