2018年北京青年政治学院附属中学高三数学文月考试题含解析

2018年北京青年政治学院附属中学高三数学文月考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则
（）
A、B、C、D、
参考答案：
C
略
2. 集合，集合，则P与Q的关系是（）
A. B． C．
D．
参考答案：
C
3. 设、都是锐角，且，，则
A． B．
C．或 D．或
参考答案：
A
4. 已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是( )
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象
参考答案：
C
【考点】二倍角的余弦．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角公式化简可得f（x）=sin（2x+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可．
【解答】解：∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin （2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期为，A错误；
由f（﹣）=sin0+1=1，B错误；
由f（）=sin+1=1，C正确；
f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2x+）+1，不为偶函数，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．
5. 过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，
被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（）
（A） 0条（B） 1条（C） 2条（D） 3条
参考答案：
B
解析：由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。

6. 若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系为（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
参考答案：
D
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：a=（）∈（0，1），b=（）＞1，c=log10＜0，
∴b＞a＞c．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 设z=+2i，则|z|=
A.0
B.
C.1
D.
参考答案：
C
解答：
，∴，∴选C.
8. 八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有（）
A 24种
B 30种
C 20种
D 36种
参考答案：
A
9. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A. 0.8
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45
参考答案：
A
10. 当时，函数取得最小值，则函数是
A.奇函数且图像关于点对称
B.偶函数且图像关于点对称
C.奇函数且图像关于直线对称
D.偶函数且图像关于点对称
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中，角所对的边分别为．若，，，则边= ．
参考答案：
7
略
12. 一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
参考答案：
根据三视图，作出直观图，如图所示，
∴该几何体的体积．
13. 设i为虚数单位，则复数所对应的点位于第象限．
参考答案：
一
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数===1+i所对应的点（1，1）位于第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为.
参考答案：
15. 已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是．
参考答案：
考点：双曲线
试题解析：因为直线与双曲线交于两点，
所以，
故答案为：
16. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.
参考答案：
20
略
17. 数列的首项为，数列为等比数列且，若，则的值为______.
参考答案：
486
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同．
（1）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（2）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考答案：
（1）当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，则第三次取出的球可能是3或4
得P=
（2）ξ的可能取值为1，2，3，4
，
ξ的分布列为：
故．
19. （本小题满分14分）
己知椭圆的离心率为．
（Ⅰ）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；
(II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点．
(i)当，求 b的值；
(ii)对于椭圆上任一点M，若，
证明：实数，满足的关系式。

参考答案：
20. （本题满分15分）抛物线，直线过抛物线的焦点，交轴于点.（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）过作抛物线的切线，切点为（异于原点），
（i）是否恒成等差数列，请说明理由；
（ii）重心的轨迹是什么图形，请说明理由.
参考答案：
(1) 即证 (2) 能抛物线
21. （本小题满分14分）已知抛物线，圆．
（1）在抛物线上取点，的圆周上取一点，求的最小值；
（2）设为抛物线上的动点，过作圆的两条切线，交抛物线于、点，求中点的横坐标的取值范围．
参考答案：
（1）；（2）【知识点】圆与圆锥曲线的综合．H8
解析：（1）．设，则，
则
，当且仅当是取等号………3分
的最小值为的最小值减，为…………………5分
（2）．由题设知，切线与轴不垂直，
，设切线
设，中点，则
将与的方程联立消得
即得（舍）或
设二切线的斜率为，则，
………………………………………………………………………8分又到的距离为1，有，
两边平方得……………9分
则是的二根，则………………10分
则
……………………………………………………11分
在上为增函数
，…………13分
【思路点拨】（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出｜MC2｜，利用配方法求其最小值，则｜MN｜的最小值为｜MC2｜的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到
直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入
y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．
22. 函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B
（x2，y2），且x1＜x2．
（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；
（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．
参考答案：
【考点】根据实际问题选择函数类型；函数恒成立问题．
【分析】（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x ，不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k?23x＜2x，利用分离参数法，可求k的取值范围；（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），由此可得a，b的值．
【解答】解：（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x
不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k?23x＜2x，则k＜4﹣x对任意x∈（0，1）恒成立
∵，∴
（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=29﹣93＜0，φ（10）=210﹣103＞0，
则方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），
因此整数a=1，b=9．。