2021年高考数学小题综合狂练(文科数学)(3)(解析版)

2021年高考文科数学小题狂练3（非新高考地区）
解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注：满分80份，选择题12小题，填空题4小题，每小题5分。

限时：40分钟 一、单选题（每小题5分，共12小题，满分60分） 1．已知全集U =R ，1
04x A x x ⎧
⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭
，则
U
A
（ ）
A ．{}
14x x -<< B ．{
1x x ≤-或}4x ≥
C ．{}14x x -≤≤
D ．{}
14x x -<≤
【答案】D 【解析】 【分析】
求出集合A ，利用补集的定义可求得集合U
A .
【详解】
U R =，{1014x A x
x x x ⎧⎫
+=≥=≤-⎨⎬-⎩⎭
或}4x >，{}14U A x x ∴=-<≤． 故选：D ． 【点睛】
本题考查补集的计算，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．i 是虚数单位，则231i i i +++=（ ） A ．1 B ．i C ．1-i D ．0
【答案】D 【解析】
试题分析：根据题意，2311+i-1-i=0i i i +++=,故可知答案为0，选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了虚数单位的运算，属于基础题
3．某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试
卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．分层抽样法､系统抽样法 B ．分层抽样法､简单随机抽样法 C ．系统抽样法､分层抽样法 D ．简单随机抽样法､分层抽样法
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可. 【详解】
①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样； ②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.
（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；
（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样；
（3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取.
4．已知向量(),12OA k =，()4,5OB =，(),10OC k =-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是（ ） A ．2
3
-
B ．
43
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求向量AB 和AC ，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值. 【详解】
()4,7AB OB OA k =-=--，()2,2AC OC OA k =-=--.
因为A ，B ，C 三点共线，所以,AB AC 共线， 所以()()2472k k -⨯-=-⨯-，解得23
k =-
.
故选：A 【点睛】
本题考查根据三点共线求参数的取值范围，重点考查向量共线的公式，属于基础题型. 5．函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）
A ．()22x x
f x -=-
B ．2
()x e e
f x x
-= C ．3
1()f x x x =- D ．1()ln ||f x x x
=-
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的定义域、奇偶性、单调性及函数图像的特点一一进行判断可得答案. 【详解】
解：A 选项，由函数图像可得在0x =处没有定义，故排除A ； C 选项，由函数图像可得函数不为奇函数，故排除C ；
D 选项，由函数图像可得当x →+∞时，函数变化趋势不符，1
()ln ||f x x x
=-越来越平（增加越来越慢），而不会向上扬起（增加越来越快）, 故排除D ； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查函数图像的识别及函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质，属于基础题型.
6．设0.2
13a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，131log 5
b =，ln5
c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出b 、c 的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】
指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在R 上为减函数，则0.2
110133⎛⎫⎛⎫
<<= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，即01a <<； 对数函数13
log y x =在()0,∞+上为减函数，则11
3311log log 153
b =>=； 对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，则ln5ln 1
c e =>=.
1
33
1ln 5
log log 5ln 55ln 3
b c ∴===<=. 因此，c b a >>. 故选：B. 【点睛】
本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.
7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸 B ．六尺五寸 C ．五尺五寸 D ．四尺五寸
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长. 【详解】
从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，
设十二节气第()N
n n*
∈个节气的日影长为
n
a，则数列{}n a为等差数列，设其公差为d，前n项和为n S，
则
56781
711
42232
76
772173.5
2
a a a a a d
S a d a d
+++=+=
⎧
⎪
⎨⨯
=+=+=
⎪⎩
，解得1
27
2
1
a
d
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
101
279
99
22
a a d
∴=+=-=，因此，立夏日影长为四尺五寸.
故选：D.
【点睛】
本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前n项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.
8．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）
A．
726
5
π
mm2B．
363
10
π
mm2
C．
363
5
π
mm2D．
363
20
π
mm2
【答案】B
【解析】
【分析】
落在军旗内部的次数除以总次数约等于军旗面积除以圆的面积.
【详解】
由该纪念币的直径为22mm，知半径r＝11mm，则该纪念币的面积为πr2＝π×112＝121π（mm2），∴
估计军旗的面积大约是
30363
121
10010
π
π⨯=（mm2）.
故选：C
【点睛】
此题考查利用随机模拟方法对几何概型的辨析.
9．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）
(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)
A．甲的数据分析素养高于乙
B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C．乙的六大素养中逻辑推理最差
D．乙的六大素养整体水平优于甲
【答案】D
【解析】
【分析】
根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】
根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误
根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误
根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误
根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确
故答案选D 【点睛】
本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.
10．我们打印用的A 4纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD 为一张A 4纸，若点E 为上底面圆上弧AB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成的角约为（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设CD 的中点为O ，过E 作EF ⊥底面⊙O ，连接OE ，OF ，证明OD ⊥OE ，计算tan ∠EDO 即可得出答案． 【详解】
∵AB //CD ，∴∠EDC （或补角）为异面直线DE 与AB 所成的角， 设CD 的中点为O ，过E 作EF ⊥底面⊙O ，连接OE ，OF ， ∵E 是AB 的中点，∴F 是CD 的中点，∴CD ⊥OF ， 又EF ⊥平面⊙O ，∴EF ⊥CD ，EF OF F =
∴CD ⊥平面OEF ，∴OD ⊥OE ． 设AD ＝1，则CD 2=
OF 2
2
=
，EF ＝1， 于是OE 22261(
)2=+=
∴tan ∠
EDO 6
232
2
OE
OD ===， ∴∠EDO 3
π
=
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了异面直线所成的角，解题的关键是找出与异面直线所成角相等的相交直线所成的角，此题要求有一定的计算能力，属于中档题.
11．设1F 和2F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个焦点，若1F ，2F ，()0,2P b 是正三角形
的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．
3
2
C ．
52
D ．3
【答案】A 【解析】 试题分析：如图，
()
222221
1
tan 6034343PO PO b c c a c FO FO =∴
==∴-=
222442c a e e ∴=∴=∴=
考点：双曲线方程及性质
12．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+
-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523
x x x π
++=
，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．
2
π
B ．23π
C ．π
D ．43
π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，知当7π3x ω=
时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω
+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】
解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+
-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=
时，π5π
62
x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ
2662
x x ωω+
++=⨯， 即122π
3x x ω
+=
. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+
++=⨯，即238π3x x ω
+=， ∴12310π5π233
x x x ω++=
=，2ω=， 所以最小正周期为：2π
π2
T ==. 故选：C . 【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.
二、填空题
13．曲线2ln 1y x x =++在点()1,2处的切线方程为______． 【答案】3-1y x = 【解析】 【分析】
先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】
解：令()()()2
'
'
1ln 1,2,1213f x x x f
x x f x
=++=+
=+= ，3k ∴= ， 切线方程为()231,31y x y x -=⨯-=- ． 故填：3-1y x = ． 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．
14．在等差数列{}n a 中，已知12342,24a a a a =++=，则456a a a ++=__________. 【答案】42 【解析】 【分析】
由已知求得等差数列的公差，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果． 【详解】
设等差数列{}n a 公差为d ，
由12342,24a a a a =++=，得13624a d +=，即618d =，3d =． 所以4562342342226241842a a a a d a d a d a a a d ++=+++++=+++=+=． 故答案为：42． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
15．已知变量x ，y 满足约束条件0010x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =-的最大值为______.
【答案】1 【解析】
【分析】
画出可行域，根据z 的几何意义求解即可得答案.
【详解】
解：画出约束条件的满足的可行域，如图，
根据题，当点(),x y 是点1,0A 时，z x y =-取最大值，最大值为max 101z =-=.
故答案为：1
【点睛】
本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，是基础题.
16．如图的几何体，是在用密度等于38/g cm 的钢材铸成的底面直径和高都等于()
221+cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，另四个顶点在圆锥底面上)，这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入进行取整).
【答案】172
【解析】
【分析】
设被挖去的正方体的棱长为x cm ，由（半）轴截面中的直角三角形相似，即PBF △相似于HBC ，
利用PF PB HC HB
=，代入数据计算求得2
x=.再利用体积公式求得最后结果.
【详解】
解：如图，设被挖去的正方体的棱长为x cm，由（半）轴截面中的直角三角形相似，即PBF
△相似于HBC，
由21
HC=+，()
221
HB=+，2,
2
x
HG PF HP x
===，
则
PF PB
HC HB
=，得
(
()
2
221
2
21221
x x
+-
=
++
，解得：2
x=.
则该模型的体积()()
2
3
1
3.1421221221.45
3
V≈⨯⨯+⨯+-≈，
所以制作该模型所需材料质量约为21.458172
m Vρ
=≈⨯≈.
故答案为：172.
【点睛】
本题考查立体几何的体积的求法，结合相似的知识点，考查运算求解能力，属于中档题.。