最新高三数学专题复习资料集合

第一节集合

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1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．

5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

1．元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集及其符号表示

2.集合间的基本关系

B

A

B 3.集合的基本运算

4.集合的运算性质

(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；

(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .

1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？

提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合．

2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？

提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合．

3．对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？

提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.

4．A∩B＝∅的充要条件是A＝B＝∅吗？

提示：不是．A＝B＝∅⇒A∩B＝∅；A∩B＝∅⇒/ A＝B＝∅.

5．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？

提示：有2n个子集，2n－1个真子集．

1．(A.广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( ) A．{0,1} B．{－1,0,2}

C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}

解析：选C M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．

2．(A.北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0,1}

C．{0,2} D．{0,1,2}

解析：选C ∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选C.

3．(教材习题改编)设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为( )

A．3 B．1

C．±1 D．1或3

解析：选D 因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.

4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．

解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.

答案：7

5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为__________．

解析：阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以B＝{x|1≤x＜2}．

A∩∁

R

答案：{x|1≤x＜2}

[例1] (1)(A.杭州模拟)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y ∈A}中元素的个数是( )

A．1 B．3

C．5 D．9

(2)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B 的元素个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

[自主解答] (1)①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.

综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个．

(2)①当a＋2＝1时，a＝－1，此时A＝{1,0,1}，不合题意，故a≠－1；②当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2.若a＝0，则A＝{2,1,3}，符合题意；若a＝－2，则A＝{0,1,1}，不符合题意；③当a2＋3a＋3＝1时，(a＋1)(a＋2)＝0，即a＝－1或a＝－2.由①②知，不符合题意．

综上可知a＝0，即实数a构成的集合B只有1个元素．

[答案] (1)C (2)B

若将本例(1)中的集合B更换为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有多少个元素？

解：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．

解决集合的概念问题应关注两点

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如本例(1)中集合

B 中的元素为实数x －y ，在“互动探究”中，集合B 中的元素为点(x ，y )．

(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

1．(A.宁波模拟)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2

015

＝________.

解析：因为M ＝N ，所以⎩⎨

⎧

n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎨

⎧

n ＝m ，log 2n ＝1，

即⎩⎨⎧

n ＝1，m ＝0

或⎩⎨

⎧

n ＝2，m ＝2.

故(m －n )2 015＝－1或0.

答案：－1或0

2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪⎪

ax －1

x －a ＜0，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．

解析：因为2∈A ，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜1

2.

①

若3∈A ，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜1

3

，所以3∉

A 时，13

≤a ≤3.②