高二数学(12应用举例)

小岛的距离是多少？
北
A
东
15 海里
B
C
思考2：在A处观察小岛，其位置如何？
北
A
东
B
C
南偏东7°，相距21海里
小结作业
1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求 角的大小，是角度测量问题的基本内容， 主要应用于航海中航行方向的测量与计 算.
2.角与距离是密切相关的，将背景材料 中的相关数据转化为三角形的边角值， 再利用正、余弦定理求相关角的大小， 是解题的基本思路.
2.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
作业： P15练习：2.
1.2 应用举例 第三课时
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？
一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离.
B
A C
思考3：一般地，若A为可到达点，B为不
可到达点，应如何设计测量方案计算A、
B两点的距离？
B
A C
选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小
→利用正弦定理求AB的距离.
思考4：根据上述测量方案设置相关数据， 计算A、B两点的距离公式是什么？
B
设AC=d， ∠ACB=α ， ∠BAC=β .
60°
思考2：在△ABC中，若 tan A - tan B = b + c ， 则角A的值为多少？ tan A + tan B c
120°
探究（三）：三角形形状的确定
思考1：在△ABC中，若acosB=bcosA，则 △ABC的形状如何？ 等腰三角形
思考2：在△ABC中，若B=60°，且b2=ac， 则△ABC的形状如何？
基线长和张角.
2.测量物体的高度时，对角的测量有哪 几种类型？在实际问题中如何选择？
仰角、俯角或方位角.
在地面测仰角， 在空中测俯角， 在行进中测方位角.
3.角度是三角形的基本元素，是反映实 际问题中物体方向的几何量，根据相关 数据计算角的大小，也是测量问题中的 一个重要内容.
探究（一）：测量行进方向
A C
AB d sin sin( )
C探D = 究5 （二）：两个不可到达点的距离测量
思考1：如图，在四边形ABCD中，已知 ∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°， ∠ABD＝30°，且AB＝ 3 ，你能求出CD 边的长吗？
5C
D
75°45°
A
45°
30°
B
3
思考2：设A、B两点都在河的对岸（不
C
D
A
CD AC sin a cos sin sin( )
探究（二）：借助方位角测量高度
思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西
方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶
D在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处，
测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8°，
根据这些测量数据计算，此山的高度约是多
正三角形 思考3：在△ABC中，若 a2 tan B = b2 tan A ， 则△ABC的形状如何？
等腰三角形或直角三角形
探究（四）：三角恒等式证明
思考1：在△ABC中，如何证明
a2 b2 c2

sin2 A sin2 sin2 C
B
？
思考2：在△ABC中，如何证明
a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cosC)
思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别 为α 、β ，CD=a，测角仪器的高度为h， 那么建筑物高度AB的计算公式是什么？
A
βα
D
C
B
AB AC sin h a sin sin h sin( )
思考4：设在点A处测得点B、C的仰角分 别为α 、β ，铁塔的高BC=a，测角仪的 高度忽略不计，那么山顶高度CD的计算 公式是什么？ B
S 1 ac sin B 511.4(cm2 ) 2
思考3：能否用三角形的三边长为a，b， c表示三角形的面积S？
S p( p a)( p b)( p c)
p 1 (a b c) 2
探究（二）：三角形内角的计算
思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰ sinC=5︰7︰8，则角B的值为多少？
探究（一）：三角形面积的计算
思考1：在△ABC中，若B=62.7°， C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的 面积？
S 1 bc sin A b2 sin C sin A 4(cm2 )
2
2sin B
思考2：在△ABC中，若a=41.4cm， b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的 面积？
探究（一）：一个不可到达点的距离测量
思考1：如图，设A、B两点在河的两岸，
测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边
选定一点C，若测出A、C的距离是55m，
∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、
B两点的距离？
B
A
AB 55sin 75 65.7
C
sin 54
思考2：若改变点C的位置，哪些相关数 据可能会发生变化？对计算A、B两点的 距离是否有影响？
作业： P18练习：2，3.
作业： P13练习：1.
1.2 应用举例 第二课时
问题提出
1.测量一个可到达点与一个不可到达点 之间的距离，应如何测量和计算？
B
A C
2.测量两个不可到达点之间的距离，应 如何测量和计算？
A
B
D
C
3.竖直方向两点间的距离，通常称为高 度.如何测量顶部或底部不可到达的物体 的高度，也是一个值得探究的问题.
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些 类型的三角形？
正弦定理：一边两角或两边与对角；
余弦定理：两边与夹角或三边.
3.在平面几何中，两点间的距离就是连
接这两点的线段长.对于不可以直接度量
的两点间的距离，通常用什么办法进行
计算？
构造三角形
4.在测量问题中，对于可到达的点之间 的距离，一般直接度量，对于不可到达 的两点间的距离，常在特定情境下通过 解三角形进行计算，我们将对这类问题 作些实例分析.
探究（一）：利用仰角测量高度
思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直 建筑物，A为建筑物的最高点，在水平面 上取一点C，可以测得点A的仰角，若计 算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？
A
计算AC的长
C
B
思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些 数据就可计算出AC的长？
A
D
C
B
点C、D观察A的仰角和CD的长
3.如果角或距离不能直接利用正、余弦 定理求解，就用方程思想处理.
作业： P16练习：1.
1.2 应用举例 第四课时
问题提出
1.三角形中有一系列基本定理和公式， 其中包括内角和定理，勾股定理，正弦 定理，余弦定理，射影定理，面积公式 等，这些知识是解决三角形问题的基本 理论依据.
2.以三角形为背景的数学问题，除了解 三角形和测量问题外，还有与三角函数 相关联的三角变换问题，我们将对这类 问题作些分析与探究.
可到达），你能设计一个测量方案计算
A、B两点间的距离吗？ A
B
选定两个可到∠ACD、
∠BDC、∠ADB的大小；
→利用正弦定理求AC和BC；
→利用余弦定理求AB.
思考3：在上述测量方案中，设CD=a，
∠ACB=α ，∠ACD=β ，∠BDC=γ ，
∠ADB=δ ，那么AC和BC的计算公式是什
北 东 C
B A
沿北偏东56°的方向航行
探究（二）：测量相对位置
思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°
方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B南
偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别
以28 n mile/h和20 n mile/h的速度同时向
小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与
1.2 应用举例 第一课时
问题提出
t
p


1 2

5730
1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什 么？
a = b = c = 2R sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
站C相距31km，此人沿公路走了20km后到达D
处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还
要走多远才能到达A城？
北
A 15
东
D
C
B
小结作业
1.在测量上，根据测量需要适当确定的 线段叫做基线.基线的选取不唯一，一般 基线越长，测量的精确度越高.
2.距离测量问题包括一个不可到达点和 两个不可到达点两种，设计测量方案的 基本原则是：能够根据测量所得的数据 计算所求两点间的距离，其中测量数据 与基线的选取有关，计算时需要利用正、 余弦定理.
么？
A
B
AC a sin( )
sin( )
BC a sin
sin( )
D
C
思考4：测量两个不可到达点之间的距 离还有别的测量方法吗？
理论迁移
例 某观测站C在城A的南偏西20°方向，
由城A出发的一条公路沿南偏东40°方向笔
直延伸.在C处测得公路上B处有一人与观测
少？
D
1047m
C
西
B
A东
理论迁移
例1 如图，有大小两座塔AB和CD，
小塔的高为h，在小塔的底部A和顶部B测
得另一塔顶D的仰角分别为α 、β ，求塔
CD的高度.
D
CD AD sin h cos sin sin( )
B
A
C
小结作业
1.解决物体高度测量问题时，一般先从 一个或两个可到达点，测量出物体顶部 或底部的仰角、俯角或方位角，再解三 角形求相关数据.具体测量哪个类型的角， 应根据实际情况而定.通常在地面测仰角， 在空中测俯角，在行进中测方位角.
思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东 75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B， 然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C，那么A、C 两点间的直 线距离是否确定？如何计算？
北
AC=113.15海里
东 C
B A
思考2：在上述问题中，若海轮直接从海 港A出发，直线航行到海岛C，如何确定 海轮的航行方向？