2019-2020年全国通用版高考数学总复习专题八选考内容8

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,
求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程;
(2)设点 A 的极坐标为 2,
值.
π
3
,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大
-13-
解,设为 t1,t2,则 t1+t2=0.
4(2cos+sin)
又由①得 t1+t2=- 1+3cos2 ,故 2cos
率 k=tan α=-2.
α+sin α=0,于是直线 l 的斜
-8-
3.(2018 全国Ⅲ·22)在平面直角坐标系 xOy 中,☉O 的参数方程为
= cos,
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交于
(1)写出曲线 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程;
(2)记曲线 C1 和 C2 在第一象限内的交点为 A,点 B 在曲线 C1 上,且∠
π
AOB=2,求△AOB 的面积.
-21-
解(1)由题 C1:y2=4x,ρ2sin2θ=4ρcos θ,
即 ρsin2θ=4cos θ,
C2:x2+y2=5x.
为原点,极轴为 x 轴正方向建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程
是
=
=
1
1
( + ),
2
(t
1
1
(- )
2
为参数).
(1)将曲线 C2 的参数方程化为普通方程;
(2)求曲线 C1 与曲线 C2 交点的极坐标.
-23-
1
2
1

2
两式相乘可得曲线 C2 的普通方程为 2
1
(x-y).
点.
当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为 2,所以
|-+2|
2
4
3
4
3
=2,故 k=- 或 k=0.经检验,当 k=0 时,l1 与 C2 没有公共点;当 k=-
+1
时,l1 与 C2 只有一个公共点,l2 与 C2 有两个公共点.
当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2,所以
C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ.
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;
(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
-17-
= 4 + 5cos,
消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
= 5 + 5sin
即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
(2)联立 y2=4x 和 x2+y2=5x,得 xA=1,yA=2,
设B
2
,m
4
1
,由 OA⊥OB,
1

1
2 =-2,得 m=-8,B(16,-8),

4
S△AOB=2|OA|·|OB|=2 × 5×8 5=20.
-22-
4.(2018 广东江门一模)已知曲线 C1 的极坐标方程是 ρ=4sin θ,以极点
由题设知,C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴
右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2,由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1
与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与
C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共
8.1 坐标系与参数方程
(二选一)
1.每年必考考题,二选一选作题中的第1个(2017年以前为三选一).
2.解答题,选作题,10分,中低档难度.
3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.
2019 年高考必备
2014 2015
2016 年
年
年
2017 年
2018 年
Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ
3
π
当且仅当 α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为
6
3 1
的直角坐标为 , .
2 2
d(α)=
P
2,此时
-16-
新题演练提能·刷高分
= 4 + 5cos,
1.(2018 安徽淮南一模)已知曲线 C1 的参数方程为
(t
= 5 + 5sin
为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
= cos,
将
代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得
= sin
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,
所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
2 + 2 -8-10 + 16 = 0,
= 3cos,(α 为参数).以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,
= sin,
π
建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin + 4 =2 2.
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
(2)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐
= 1,
= 0,
由 2
解得
或
=1
= 2,
+ 2 -2 = 0,
解(1)将
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为
π
2,
4
,
π
2,
2
.
-18-
2.(2018 江西六校联考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
= 1 + ,
(其中 t 为参数),在以原点 O 为极点,以 x 轴为极轴的极坐
|+2|
2
4
3
=2,故 k=0 或 k= ,经检验,当 k=0 时,l1 与 C2 没有公共点;当 k=
+1
时,l2 与 C2 没有公共点.
4
3
综上,所求 C1 的方程为 y=- |x|+2.
4
3
-6-
2.(2018 全国Ⅱ·22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
= 2cos,
= sin
A,B 两点.
(1)求 α 的取值范围;
(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.
解(1)☉O 的直角坐标方程为 x2+y2=1.
π
当 α=2时,l 与☉O 交于两点.
π
2
当 α≠ 时,记 tan α=k,则 l 的方程为 y=kx- 2,l 与☉O 交于两点当
且仅当
2
2
<1,
1+
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐
标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
-5-
解(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆.
|0-1-1|
2
圆心(0,1)到直线 l 的距离 d=
= 2.
所以点 P 到直线 l 的最小值为 2-1.
-20-
3.(2018 重庆二诊)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
= 2,
(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,
= 2
曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=5cos θ.
2
2
− 2 =1.
解(1)由曲线 C2 的参数方程得 t= (x+y), =
当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.
21
+ 4-3 = 0,

=
,

=
3,
25
由 2
解得
或
2
24

=
0
+

=
1,

=
.
9
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),
25
21 24
- 25 , 25 .
(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,
故
当
当
|3cos+4sin--4|
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 面积
1
S=2|OA|·ρB·sin∠AOB
π
=4cos α·sin - 3
π
3
=2 sin 2- 3 - 2 ≤2+ 3.
π
当 α=-12时,S 取得最大值 2+
3.
所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3.
-14-
6.(2016 全国Ⅲ·23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
= 1 + cos,
(θ 为参数),直线 l 的参数方程为
(t 为参
= 2 + sin
= 4sin
数).
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率.
-7-
解(1)曲线 C
2
的直角坐标方程为 4
2
+ 16=1.
π π
,
4 2
π 3π
,
.
4 4
解得 k<-1 或 k>1,即 α∈
综上,α 的取值范围是
或 α∈
π 3π
,
2 4
.
-9-
= cos,
π
3π
(2)l 的参数方程为
t 为参数,4<α< 4 .设
= - 2 + sin
+
A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP= 2 ,且 tA,tB 满足 t2-2 2tsin
当 cos α≠0 时,l 的直角坐标方程为 y=tan α·x+2-tan α,
当 cos α=0 时,l 的直角坐标方程为 x=1.
(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0,
①
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以①有两个
解(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
4
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=cos.
由|OM|·|OP|=16 得 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ(ρ>0).
因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
标.
-15-
2 2
解(1)C1 的普通方程为 +y =1.C2 的直角坐标方程为
3
x+y-4=0.
(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α,sin α).
因为 C2 是直线,
所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值,
| 3cos+sin-4|
2
π
= 2 sin + -2 .
x2+y2-4y=0,
即 x2+(y-2)2=4.
(2)设 P(x,y),M(x0,y0),则02 +(y0-2)2=4,
由于 P 是 OM 的中点,则 x0=2x,y0=2y,所以(2x)2+(2y-2)2=4,
得点 P 的轨迹方程为 x2+(y-1)2=1,轨迹为以(0,1)为圆心,1 为半
径的圆.
α+1=0.
于是 tA+tB=2 2sin α,tP= 2sin α.又点 P 的坐标(x,y)满足
= cos,
所以点 P 的轨迹的参数方程是
= - 2 + sin.
=
=
2
sin2,
2
2 2
- 2 - 2 cos2
π
3π
α 为参数,4<α< 4 .
-10-
4.(2017 全国Ⅰ·22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷
命
题
角
度1
命
题
角
度2
极坐标与直角坐标、
参数方程与普通方程
的互化
极坐标与参数方程的
综合应用
23
23 22 22
23 23 23 23 23
22 22 22
22
-3-
命题角度1极坐标与直角坐标、
参数方程与普通方程的互化
-4-
高考真题体验·对方向
1.(2018全国Ⅰ·22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.
= 3cos,
= + 4,
(θ 为参数),直线 l 的参数方程为
(t 为参数).
= 1-,
= sin,
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.
-11-
解(1)曲线 C
2 2
的普通方程为 9 +y =1.
=
标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4sin θ.
(1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;
(2)设 M 是曲线 C 上的一动点,OM 的中点为 P,求点 P 到直线 l 的最
小值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ19-
= 1 + ,
解(1)由
得 l 的普通方程 x-y-1=0.
=
又由 ρ=4sin θ,得 ρ2=4ρsin θ,所以,曲线 C 的直角坐标方程为
C 上的点(3cos θ,sin θ)到 l 的距离为 d=
.
17
+9
+9
a≥-4 时,d 的最大值为 .由题设得
= 17,所以 a=8;
17
17
-+1
-+1
a<-4 时,d 的最大值为
.由题设得
= 17,所以 a=-16.
17
17
综上,a=8 或 a=-16.
-12-
5.(2017 全国Ⅱ·22)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正