湖南省岳阳市一中2014届高三第六次质量检测试题数学(理)Word版含答案

时量：120分钟 分值：150分 命题人；周振羽
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 A ．1或－1或0 B ．－1 C ．1或－1 D ．0
2.若复数2014z i i =+，则复数10z z
+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.下列有关命题的叙述: ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。

②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。

③命题P ：∃x ∈Ｒ，使得x 2
＋x-1<0，则⌝p :∀x ∈Ｒ，使得x 2
＋x-1≥0。

④命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则2320x x -+≠”. 其中错误命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4.
已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；
④ ⊥m ⇒α∥β
其中正确命题的个数是
A ．4
B ．3
C ． 2
D ． 1 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填 A ．7n ≤
B ．7n >
C ．6n ≤
D ．6n >
6. 已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是
A ．43
B ．8
3
C ．4
D ．6
2014届高三年级第六次检测理科数学试卷
第6题几何体的三视图 第5题程序框图 7.由等式432
23
14
432
23
14
)1()1()1()1(b x b x b x b x a x a x a x a x ++++++++=++++ 定义映射
43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(f
A.10
B.7
C. -1
D.0
8．设R y x ∈,，且满足1
5
31
53(2014)2014(2014)4
(2015)2014(2015)4x x y y ⎧+++=-⎪⎨⎪-+-=⎩
，则=+y x
A. 1
B.-1
C. 2
D. -2
9．已知点F (-c,0) (c >0)是双曲线22
221x y a b -=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直
线与圆x 2
+y 2
=c 2
交于点P ，且点P 在抛物线y 2
=4cx 上，则该双曲线的离心率的平方等于
5
10.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足
()
()
x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
（n N *∈）的前n 项和等于3231
，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7
二 ，填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
（一）选做题（请考生在第11.12.13三题中选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）
11．在直角坐标系中，曲线C
的参数方程为x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的参数方程
为12x t y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2
,
3(π
P .设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，则
||||PA PB ⋅的值为 .
12. 已知函数f(x)＝|x －2|，若，且a ，b ∈R ，都有不等式 |a ＋b|＋|a －b|≥|a|·f(x)成立，则实数x 的取值范围是 . 13．如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ，若
ABC ∆的面积AE AD S ⋅=
2
1
，则BAC ∠的大小为 .
(二)必做题（14~16题）
14．在（2512)x x
-的二项展开式中，x 的系数为 ．
15. 已知实数,x y 满足0024
x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，当23s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值函数
()f s 的最小值为 ．
16．已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈=，，，，. ①若三项数列{}n a 满足1230a a a ++=，则这样的数列{}n a 有________．个
②若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足首项10b =，11i i i b b a ---=（23i n =，，，），且末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当]3
,6[π
π-
∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23
，求)(x f 的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数)(x f 的图像向右平移12
π
个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2
倍，再向下平移
21个单位，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、y 轴、直线2
π
=x 所围成图形的面积。

18.(本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，
EA EB ⊥．
（1）求证：AB DE ⊥；
（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？
19．（本小题满分12分）2014年3月1日,部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、
长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：00–9：00，9：00–10：00两个时间段内各有一趟列车从岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表
若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素） （1）设乙同学候车所需时间为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）求甲、乙二人候车时间相等的概率.
20. (本小题满分13分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．
（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ；
（II ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值．
21.(本小题满分13分)已知抛物线y 2
=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F 的距离为4. (Ⅰ)求t ，p 的值；
(Ⅱ)设A 、B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=（其中 O 为坐标原点）.
(ⅰ)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；
(ⅱ)过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.
22. (本小题满分13分)已知f(x)＝xlnx －ax ，g(x)＝-x 2
－2，
（Ⅰ）对一切x ∈(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝－1时，求函数f(x)在[m ，m ＋3]( m ＞0)上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx ＋1＞ex
e x
2
1-成立。

2014届高三年级第六次检测理科数学试卷参考答案
y x
O
B
A
一、选择题 A C B C D D D A D B
二 ，填空题：11. 8 12. 0≤x ≤4 13. 90º 14. -40 15. 6 16. ① 7 ②
2
4
(1)
n -
10.【答案】B 2
()'()()()'()
[
]'()()
f x f x
g x f x g x g x g x -=，因为'()()()'()f x g x f x g x <，所以2
()'()()()'()[
]'0()()
f x f x
g x f x g x g x g x -=<，即函数()
()x f x a g x =单调递减，所以01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，即152a a -+=，即152a a +=，解得2a =（舍去）或1
2a =
.所以()1()()2x f x g x =，即数列()1()()2n f n g n =为首项为112a =，公比1
2q =的等比数列，所以
11
1()(1)1121()112212
n n
n
n a q S q --==⨯=---，由1311()232n -=得11()232
n =，解得5n =，选B. 11．解：点)3,
0(P 在直线l 上。

直线l
的参数方程为12x t
y ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为22
1515
x y +=，将直线l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程，有
22213())15,280
2t t t -++=∴+-=，
设
两
根
为
12
,t t ，
121288
PA PB t t t t ∴⋅===-=
12.解：|a ＋b|＋|a －b|≥|a|·f(x)及a≠0得f(x)≤
|a ＋b|＋|a －b|
|a|
恒成立，
而
|a ＋b|＋|a －b||a|≥|a ＋b ＋a －b|
|a|
＝2，则f(x)≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x≤4.
13解：
(I)BAE CAD AEB ACB AEB ACD
∠∠∠∠∠∠由已知条件，可得＝因为与是同弧上的圆周角，所以＝ 所以△ABE ∽△ADC ，因为△ABE ∽△ADC
o AB AD AB AC AD AE AE AC 11
S AB ACsin ,S AD AE 22AB ACsin AD AE sin 1,90BAC BAC BAC BAC BAC ⋅⋅⋅∠⋅⋅∠⋅∠=∠∠所以
＝，即＝，又＝且＝，
所以＝，所以又为三角形的内角，所以＝。

16.解：（Ⅰ）满足1230a a a ++=有两种情形：0000++=，这样的数列只有1个；
1(1)00+-+=，这样的数列有6个，所以符合题意的数列{}n a 有7个．
（Ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以1211(23)i i b a a a b i n -=++++=，，，，因为首项10b =，所以121(23)i i b a a a i n -=++
+=，，，． 根据题意有末项0n b =，所以
1210n a a a -++
+=， 而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有
1
2
n -个1和
1
2
n -个1-，121121210()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=++++
+++
+
121(1)(2)n n a n a a -=-+-++，要求n S 的最大值，则要求121n a a a -，
，，的前1
2
n -项取1，后
1
2
n -项取1-．所以max ()(1)(2)(3)(3)(2)(1)n S n n n =-+-+-++-+-+-
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(. （Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当]3
,6[π
π-
∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23
，求)(x f 的解析式；
（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数)(x f 的图像向右平移12
π
个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2
倍，再向下平移21，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、直线2
π
=x 所围成图形的面积。

17.【答案】解（Ⅰ）2
1
)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=a x a x x x f π，
（2分） ∴π=T . 由
πππππk x k 2236222+≤+≤+，得ππ
πk x kx +≤≤+3
26. 故函数)(x f 的单调递减区间是)](3
2,6[Z k k k ∈++ππ
ππ. （4分）
（2）1)62sin(21.656
26
,3
6
≤+≤-∴≤
+
≤-
∴≤
≤-
πππ
π
π
π
x x x Q 当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，原函数的最
大
值
与
最
小
值
的
和2
3)2121()21
1=++-
+++a a （，
2
1
)62sin()(,0++=∴=∴πx x f a .（8分）
（3）由题意知x x g sin )(= （10分）
⎰
-=2
20
|cos sin π
π
x xdx =1 （12分）
18.(本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；
（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出理由．
18. (本小题满分12分）【答案】解：（1）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥． 所以⊥AB 平面EOD ．所以 ED AB ⊥．…………4分
（2）解法1：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥,所以BC ⊥平面ABE 则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角,设BC=a ，则AB=2a
则直角三角形CBE
即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为
……………8分 解法2：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以
OD EO ⊥． 由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．
因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，
则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面
ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以
||3
,|3||||
EC OD EC OD EC OD ⋅〈〉=
=设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以取1=a ，得)2,1,1(=v ．因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足
时，有EC // 平面FBD ．………………12分 19．（本小题满分12分）2014年3月1日部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：00–9：00，9：00–10：00两个时间段内各有一趟列车岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ： 别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素） （1）设乙同学候车所需时间为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）求甲、乙二人候车时间相等的概率. 19.
(本小题满分12分）解：（1）X 的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90（分钟）...........2分
....6分
11111245
()1030507090233612189E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X 的数学期望分钟……7分
（2）甲、乙二
人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为
1016p =
甲 ，012p =甲3 ，01
3p =甲5；………8分 1012p =
乙，013p =乙3 ，0111
6636p =⋅=乙5………10分
所以p ＝1162⋅+1123⋅+11336⋅
＝28108＝727，即甲、乙二人候车时间相等的概率为727………
12分
20. (本小题满分13分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．
（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ；
（II ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 20.解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的 函数关系式为2
()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.
………………5分
（Ⅱ）2
()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),
x a x =-+-……7分
令'
()0L x =，得263x a =+
或10x = 202
13,6833
a a ≤≤∴≤+≤. ①当2673a +≤，即3
12
a ≤≤时，[7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调
递减，故max ()(7)279L x L a ==-
②当2673a +>，即332a <≤时，2[7,6]3x a ∴∈+时，'
()0L x >；2[6,9]3
x a ∈+时，
()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2
[6,9]3
x a ∈+上单调递减，故
3
max 2()(6)4(2)33a
L x L a =+=-……11分 答:当3
12a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a
-万元；当332a <≤每件商品的售价为2
63a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值
为34(2)3a
-万元. ………12分
21.(本小题满分13分)已知抛物线y 2
=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F 的距离为4. (Ⅰ)
求t ，p 的值；
(Ⅱ)设A 、B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且
5OA OB ⋅=（其中 O 为坐标原点）.
(ⅰ)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标； (ⅱ)过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边
形ACBD 面积的最小值.
21. (本小题满分13分)解：(Ⅰ)由已知得3422
p p +=⇒=，所以抛物线方程为y 2
=4x ，代入可解
得
t =±……4分
(Ⅱ) (ⅰ)设直线AB 的方程为x my t =+， 21
1,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 22
2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
联立24y x x my t
⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，
则124y y m +=，124y y t =-.…………
6
分
由5OA OB ⋅=得：
2
121212()52016
y y y y y y +=⇒=-或124y y =（舍去）
， 即4205t t -=-⇒=，所以直线AB 过定点(5,0)P ；………
8分
(ⅱ)由(ⅰ)得21||||AB y y =-= 同理得21|||CD y y =-=，
则四边形ACBD 面积1||||2S AB CD =⋅= =，令221
(2)m m
μμ+=≥，则S =是关于μ的增函数，故96min S =.当且仅当1m =±时取到最小值96. ………13分 22. (本小题满分13分)已知f(x)＝xlnx －ax ，g(x)＝-x 2
－2，
（Ⅰ）对一切x ∈(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝－1时，求函数f(x)在[m ，m ＋3]( m ＞0)上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx ＋1＞
ex
e x 2
1-
成立。

22. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即
2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x
2
在),0(+∞∈x 恒成立.
令x x x x F 2ln )(++= ，F '2
222)
1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，
……3分
在)10(，上F '0)(<x ，在上
，)1(∞+上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最y
x
O
B
A y
x
O
P
C
D
B
A
小值，即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……5分
（Ⅱ）当时，
1-=a x x x x f +=ln )( ，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21e x =.…6分 ①当210e m <<时，在上)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在上]3,1(2+∈m e
x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(e
x f -= . 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f
因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……………8分 ②当时21e
m ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ………10分 （Ⅲ）证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x e
e x x x x x ,．…12分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x
f +=ln )(的最小值是21e
-，当且仅当21e x =时取得，设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'x e
x x -=1)(，易知e G x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到，但，e e 112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有ex
e x x 211ln ->+成立.……………13分。