高考数学考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

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考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观
图、空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1.(2015·浙江高考理科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 是 ( )
A.8 cm 3
B.12 cm 3
C.
3323cm D. 3
403
cm 【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.
【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm 3). 2.(2015·浙江高考文科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 是 ( )
A.8 cm 3
B.12 cm 3
C. cm 3
D. cm 3
【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.
【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积
3
32
2231223=⨯⨯+=V (cm 3).
3. （2015·安徽高考文科·T9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积 是 ( )
（A ）1（B ）1+（C ）2 （D ）【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选C 。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：
其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ≅，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=，取
AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得，所以
1
=22+22S ⨯⨯C 。

4. （2015·安徽高考理科·T7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
A 、1+、2+ C 、1+、 【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选B 。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：
其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ≅，由三视图中所给数据可知
PA=PC=AB=BC=，取AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得
，所以
1
=22+242S ⨯
⨯⨯⨯ B.
5. (2015·北京高考理科·T5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积 是 ( )
A. 2
B. 4
C. 2+
D.5
【解题指南】还原几何体,分别计算各面的面积,然后求和.
【解析】选C.还原几何体如图所示,S △BCD =12BC ·DE=12×2×2=2,S △ACD =S △ABD =1
2
××
1=
A
B C
D
E 正（主）视侧（左）视图
俯视图
S △ABC =
12BC ·AE=1
2
×2
×
所以表面积为
2+26. (2015·北京高考文科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱棱长 为 ( )
A.1
B.
C.
D.2
【解题指南】作出直观图,计算出各棱长比较大小.
【解析】选C.由三视图可知
AD=BC=CD=DE=EB=1,AE=AC=
,AB=
.
所以最长棱棱长为
.
7.(2015·天津高考理科·T10) (2015·天津高考文科·T10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3
.
【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱,两端是底面半径为1,高为1的圆锥,所以该几何体的体积221
81221133
V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=
A
B
C
D
E 正（主）视侧（左）视图
俯视图
答案:π
8.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛 【解题指南】利用锥体底面的弧长,确定圆锥底面半径,求出米堆的体积,然后合成斛.
【解析】选B.设圆锥底面半径为r,则12384
r ⨯⨯==16
3r =，所以米堆的体积为
211163()5433
⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为320
9÷1.62≈22 9.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r= ( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面
半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为×4πr 2+πr ×2r+πr 2+2r ×2r=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.
10.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意
思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
【解题指南】利用锥体底面的弧长,确定圆锥底面半径,求出米堆的体积,然后合成斛.
【解析】选B.设圆锥底面半径为r,则×2×3r=8,所以r=,所以米堆的体积为
211163()5433⨯⨯⨯⨯=
3209,故堆放的米约为320
9
÷1.62≈22. 11.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面
半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为×4πr 2+πr ×2r+πr 2+2r ×2r=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.
12.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由三视图得,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,截去四面体A-A 1B 1D 1, 如图所示,
设正方体棱长为a,则11133111
326
A A
B D V a a -=⨯=,故剩余几何体体积为a 3-a 3=a 3,所以截去部
分体积与剩余部分体积的比值为.
13.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( ) A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
【解题指南】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,利用V O-ABC =V C-AOB 列出关于半径R 的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.
【解析】选C.如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积
最大,设球O 的半径为R,此时V O-ABC =V C-AOB =×R 2×R=R 3=36,故R=6,则球O 的表面积为 S=4πR 2=144π.
14.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的
三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由三视图得,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,截去四面体A-A 1B 1D 1, 如图所示,
设正方体棱长为a,则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为33315
66
a a a -=，所以
截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
15.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T10)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( ) A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
【解题指南】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O-ABC 的体积最大,利用V O-ABC =V C-AOB 列出关于半径R 的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.
【解析】选C.如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱
锥O-ABC 的体积最大,设球O 的半径为R,此时V O-ABC =V C-AOB =×R 2×
R=R 3=36,故R=6,则球O 的表面积为S=4πR 2=144π.
16.(2015·山东高考理科·T7)在梯形ABCD 中,∠ABC=,AD ∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )
A. 2
3
π
B. 4
3
π
C. 5
3
π
D. 2π
【解题指南】因为直角梯形ABCD 的两底边分别为1,2,高AB=1,则以AD 为轴旋转一周所得几何体是圆柱挖去同底的圆锥(高是一半).
【解析】选C.如图,所得几何体为一个圆柱挖去一个小圆锥,其体积523
3
V π
π
π=-
=
17.(2015·山东高考文科·T9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )
A.
3 B. 3
C. D. 【解题指南】所求几何体是同底等高的两个圆锥.
【解析】选B.旋转体是两个圆锥,其底面半径为直角三角形斜边的高,高半径,故
所得几何体的体积21233
V π==
18. （2015·重庆高考理科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为（ ）
A.13π+
B. 23π+
C. 123π+
D. 2
23
π+ 【解题指南】解答本题的关键是利用三视图还原几何体，然后再进行计算，该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.
【解析】选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据
可知，三棱锥的体积为1111121323V =⨯⨯⨯⨯=，半个圆柱的体积为221
122
V ππ=⨯⨯⨯=，所
以几何体的体积为1
3
π+.
19. （2015·重庆高考文科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为（ ）
A.123π+
B. 136
π C. 73π D. 52π
【解题指南】解答本题的关键是利用三视图还原几何体，然后再进行计算，该几何体为半个圆锥和一个圆柱构成的组合体.
【解析】选B.由三视图可知，该几何体为半个圆锥和一个圆柱构成的组合体..由图中
数据可知，半个圆锥的体积为211111236
V π
π=⨯⨯⨯⨯=，圆柱的体积为22122V ππ=⨯⨯=，
所以几何体的体积为136
π
.
20.(2015·福建高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等 于 ( )
A.8+2
B.11+2
C.14+2
D.15
【解题指南】根据三视图确定每个面的面积.
【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)
×1×+2×2+1×2+1×2+
×2=11+2
.
21. (2015·陕西高考理科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( )
A.3π
B.4π
C.2π+4
D.3π+4
【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.
【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S 1=πr 2=π,侧面积
S 2=2×2+·2πr ·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S 1+S 2=π+2π+4=3π+4. 22. (2015·陕西高考文科·T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( )
A.3π
B.4π
C.2π+4
D.3π+4
【解题指南】将三视图复原,此几何体为半个圆柱体,根据三视图所给的数据,求出表面积.
【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S 1=πr 2=π,侧面积
S 2=2×2+·2πr ·2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S 1+S 2=π+2π+4=3π+4.
二、填空题
23.（2015·四川高考文科·T14)在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，其正视图和侧视图都是边长
为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P 分别是AB , BC , 11B C 的中点，则三棱锥1P-A MN 的体积是_______
【解题指南】利用三视图与直观图量度关系求解。

【解析】1A -P MN 的体积是1111
1132224V ⎛⎫== ⎪⎝⎭
答案：
1
24
24. (2015·江苏高考·T9)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 .
【解题指南】根据制作前后圆锥与圆柱的总体积和高保持不变,利用圆锥与圆柱的体积公式求解.
【解析】由圆锥与圆柱的体积公式可知, V 圆锥=22
11100
54333
r h πππ==
,V 圆柱
=πr 2h=π·22
×8=32π,所以圆锥与圆柱的总体积为100
323
ππ+.设制作后圆锥与圆柱的底面半径为 r ′,由题知'2'21
100
48323
3
r r
ππππ+=
+
,解得r ′
=所以新的底面半径为答案:
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高中数学公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.
2.德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
3.包含关系
A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆
U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
4.容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；
()()()()card A
B card B
C card C A card A B C
---+
非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式
()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<
⇔|()|22
M N M N
f x +--
<⇔
()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且2
2211k k a b
k +<-
<,或0)(2=k f 且22122k a
b
k k <-<+.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a
b
x 2-
=处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若[]q p a b
x ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a
=-=；
[]q p a
b
x ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.
(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a
b
x ,2∉-=，则
{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402
f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪
⎨-≥⎪
⎪<-<⎪⎩或
()0()0f m af n =⎧⎨
>⎩或()0
()0
f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪
⎨-<⎪⎩ .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.
(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.
(3)0)(2
4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0
00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩
或2040a b ac <⎧⎨-<⎩
.
12.真值表
13.
14.四种命题的相互关系
互 否
15.充要条件
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;
如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则
)()(a x f a x f +-=+.
20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数
2b a x +=
;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a
对称; 若)()(a x f x f +-=,则
函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2
a b
x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.
27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([1
1b x f k
y -=-,并不是
)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1
b x f k
y -=的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，
()()()()()f x y f x f y g x g y -=+
0()
(0)1,lim
1x g x f x
→==.
29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1
)(≠=+x f x f a x f ，或1()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠,
或
[]1(),(()0,1)2
f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；
(3))0)(()
(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；
(4))
()(1)
()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期
T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；
(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)m n
a =
0,,a m n N *>∈，且1n >）.
(2)1
m n
m n
a
a
-
=
（0,,a m n N *>∈，且1n >）.
31．根式的性质
（1
）n a =.
（2）当n
为奇数时，a =；当n
为偶数时，,0
||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
.
32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.
注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
34.对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n
b b m
=
(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.
36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广
若0a >,0b >,0x >,1
x a ≠,则函数log ()ax y bx =
(1)当a b >时,在1(0,)a 和1
(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.
(2)当a b <时,在1(0,)a 和1
(,)a
+∞上log ()ax y bx =为减函数.
推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.
（2）2
log log log 2
a a a m n
m n +<. 38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1
)x
y N p =+.
39.数列的同项公式与前n 项的和的关系
11,
1,2
n n n s n a s s n -=⎧=⎨
-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).
40.等差数列的通项公式
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-.
41.等比数列的通项公式
1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
⋅∈； 其前n 项的和公式为11
(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1
n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为
1(1),1
(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪
=+--⎨≠⎪-⎩
；
其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d
b n q q q q +-=⎧⎪
=-⎨-+≠⎪---⎩
. 43.分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1
n
n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).
44．常见三角不等式
(1)若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,)2
x π
∈
，则1sin cos
x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
45.同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ
+=，tan θ=
θ
θ
cos sin ，tan 1cot θθ⋅=.
46.正弦、余弦的诱导公式
21
2(1)sin ,sin()2(1)s ,
n
n n co απαα-⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
47.和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.
sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
22tan tan 21tan α
αα
=
-.
49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππ
θθθθθθ=-=-+.
3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππ
θθθθθθ=-=-+.32
3tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33
θθππ
θθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式
21
2(1)s ,s()2(1)sin ,
n
n co n co απαα+⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π
ω
=
；函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞
0)的周期T π
ω
=.
51.正弦定理 2sin sin sin a b c
R A B C ===. 52.余弦定理
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.
53.面积定理
(1)111
222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
(2)111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ∆=
54.三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
222
C A B π+⇔
=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.
s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.
特别地,有
sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.
s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.
56.最简单的三角不等式及其解集
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.
cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.
tan ()(arctan ,),2
x a a R x k a k k Z π
ππ>∈⇒∈++∈.
tan ()(,arctan ),2
x a a R x k k a k Z π
ππ<∈⇒∈-
+∈.
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;
(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;
(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．
不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.
61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．
a ·
b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式
cos θ=
(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
64.平面两点间的距离公式
,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则
A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则
1212
11x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12
(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是
123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式 ''''
x x h x x h y y k y y k
⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''
OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为
(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心222
OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.
（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈⇒
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理
已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值2
4
1s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+
（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.
74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
2
2x a x a a x a <⇔<⇔-<<.
22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式 （1
）
()0()0
()()f x g x f x g x ≥⎧⎪
>⇔≥⎨⎪>⎩
. （2
）
2()0
()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪
>⇔≥⎨⎨
<⎩
⎪>⎩或. （3
）
2()0()()0
()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪
<⇔>⎨⎪<⎩
. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪>⎩.
(2)当01a <<时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪<⎩
77.斜率公式
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
78.直线的五种方程
(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式
1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111
12222
||A B C l l A B C ⇔
=≠
； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan |
|A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)21
21
tan 1k k k k α-=
+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=
+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π.
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为
111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与
直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
83.点到直线的距离
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：
若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩
.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0
x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
87. 圆系方程
(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,
其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :2
2
0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是
22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．
(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :22
2220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是
2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =
d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .
其中2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .
91.圆的切线方程
(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．
①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．
①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;
②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ
=⎧⎨=⎩.
93.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式
)(21c a x e PF +=，)(2
2x c
a e PF -=.
94．椭圆的的内外部
(1)点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00221x y a b ⇔+<.
(2)点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部22
00221x y a b
⇔+>.
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b
+=.
(2)过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
+=. (3)椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.
96.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦半径公式
21|()|a PF e x c =+，2
2|()|a PF e x c
=-.
97.双曲线的内外部
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22
00221x y a b ⇔->.
(2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22
00221x y a b
⇔-<.
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x
（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b
-=.
(2)过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
-=. (3)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.
100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02
p CF x =+. 过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++
=21212
2. 101.抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p
y
或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中
22y px =.
102.二次函数2
2
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：
(1)顶点坐标为24(,
)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是241
4ac b y a
--=.
103.抛物线的内外部
(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.
(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22
2
21x y a k b k
+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =
1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，
由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b
kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线
的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是
2222
2()2()
(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++-
-=++.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线2
2
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2
x ，用0y y 代2
y ，用
00
2
x y xy +代xy ，用
02x x +代x ，用02
y y
+代y 即得方程 0000000222
x y xy x x y y
Ax x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方
程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角；。