高考物理解题方法：临界状态的假设压轴难题提高题专题附答案

高考物理解题方法：临界状态的假设压轴难题提高题专题附答案
一、高中物理解题方法：临界状态的假设
1．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．
()1此时绳的张力是多少？
()2若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
【答案】（1）()2
2
cos sin T mg m l θωθ=+（2）cos g
l ωθ
=
【解析】
（1）小球此时受到竖直向下的重力mg ，绳子的拉力T ，锥面对小球的支持力N ，三个力作用，合力充当向心力，即合力2sin F m l ωθ= 在水平方向上有，sin cos T N ma F ma θθ-==，， 在竖直方向上：cos sin T N mg θθ+=
联立四个式子可得()2
2
cos sin T mg m l θωθ=+
（2）重力和拉力完全充当向心力时，小球对锥面的压力为零， 故有向心力tan F mg θ=，2sin F m l ωθ=，联立可得cos g
l ωθ
=，即小球的角速度至
少为cos g
l ωθ
=
；
2．如图所示，半径为R 的
3
4
圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场。

磁感应强度大小为B ，O 为圆心，∠AOC =90︒，D 为AC 的中点，DO 为一块很薄的粒子吸收板。

一束质量为m 、电荷量为e 的电子以相同速度2eBR
v m
=
在AD 间平行于DO 方向垂直射入磁场，不考虑电子的重力及相互作用，电子打在吸收板上即被板吸收。

则电子在磁场中运动的时间可能为（ ）
A．π
2
m
Be
B．
2π
3
m
Be
C．
3π
2
m
Be
D．
8π
5
m
Be
【答案】AC
【解析】
【详解】
所有电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r相同，由
2
v
Bev m
r
=
得
r=
2
R
电子在磁场中做圆周运动的周期
2π2π
r m
T
v Be
==
画出电子在磁场中运动的轨迹如图所示
可知从AO边射出磁场的电子在磁场中运动二圆周，其运动时间为
11π42
m
t T
Be ==
从CO边射出磁场的电子在磁场中运动等于或大于1
2
圆周，其运动时间为
21π2
m
t T
Be
=
其中沿DO方向从O点射人磁场的电子在磁场中运动3
4
圆周，其运动时间最长，最长时间
3
3 4 =
t
3π
2
m T
Be =
综上所述，故选AC。

3．一辆大客车正在以30 m/s 的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方x 0 = 95m 处有一只小狗，如图所示．司机立即采取制动措施，司机从看见小狗到开始制动客车的反应时间为△t=0.5 s ，设客车制动后做匀减速直线运动．试求：
(1)为了保证小狗的安全，客车制动的加速度大小至少为多大？（假设这个过程中小狗一直未动）
(2)若客车制动时的加速度为5m/s2，在离小狗30m 时，小狗发现危险并立即朝前跑去．假设小狗起跑阶段做匀加速直线运动，加速度a=3m/s2．已知小狗的最大速度为8m/s 且能保持较长一段时间．试判断小狗有没有危险，并说明理由． 【答案】（1）25.625/m s （2）小狗是安全的 【解析】 【分析】 【详解】
（1）长途客车运动的速度v =30m/s ，在反应时间内做匀速运动，运动的位移为： x 1=v △t =30×0.5m=15m
所以汽车减速位移为：x 2=x 0-x 1=95-15=80m 根据速度位移关系知长途客车加速度大小至少为：
22
221230/ 5.625/2280
v a m s m s x ===⨯．
（2）若客车制动时的加速度为a 1=-5m/s 2，在离小狗x =30m 时，客车速度为v 1，则
()221122v v a x x -=-，代入数据解得v 1=20m/s
设t 时速度相等，即v 1+a 1t =at 解得：t =2.5s 此时车的位移231112
x v t a t =+
代入数据解得x 3=34.375m 狗的位移：2
419.5752
x at m =
= 即x 4+x ＞x 3，所以小狗是安全的．
4．如图所示，用一根长为l ＝1m 的细线，一端系一质量为m ＝1kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T ．(g 取10m/s 2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 【答案】（112.5?/s （2）25/rad s ． 【解析】
试题分析：（1）小球刚好离开锥面时，小球只受到重力和拉力，小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：2
0tan sin mg m l θωθ= 解得：012.5rad/s cos g
l ωθ
=
= （2）同理，当细线与竖直方向成600角时由牛顿第二定律及向心力公式得：
'2tan sin mg m l θωθ=
解得：20rad/s cos g
l ωα
='=
考点：牛顿第二定律；匀速圆周运动
【名师点睛】此题是牛顿第二定律在圆周运动中的应用问题；解题时要分析临界态的受力情况，根据牛顿第二定律，利用正交分解法列出方程求解．
5．客车以v =20m/s 的速度行驶，突然发现同车道的正前方x 0=120 m 处有一列货车正以v 0=6 m/s 的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，若客车刹车的加速度大小为a =1m/s 2，做匀减速运动，问： (1)客车与货车速度何时相等？ (2)此时，客车和货车各自位移为多少？
(3)客车是否会与货车相撞？若会相撞，则在什么时刻相撞？相撞时客车位移为多少？若不相撞，则客车与货车的最小距离为多少？
【答案】(1)t =14s (2) x 客= 182m x 货= 84m (3)x min =22m 【解析】
试题分析：（1）设经时间t 客车速度与货车速度相等：v-at=v 0， 可得：t=14s ． （2）此时有：x 客=vt-12
at 2
=182m x 货=v 0t=84m ．
（3）因为x 客＜x 货+x 0，所以不会相撞．经分析客车速度与货车速度相等时距离最小为：x min =x 货+x 0-x 客=22m 考点：追击及相遇问题
【名师点睛】这是两车的追击问题，速度相等时，它们的距离最小，这是判断这道题的关
键所在，知道这一点，本题就没有问题了．
6．一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角
30θ︒=，一条长为L 的细绳（其质量不计）一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴一个质
量为m 的小球（小球可以看成质点）。

小球以速度v 绕圆锥体的轴线做水平圆周运动，如图所示，当32
gl
v =
时，求细绳对小球的拉力。

【答案】2mg 【解析】 【分析】 【详解】
设当小球的速度为0v 时小球恰好脱离锥面，满足
20
tan sin v mg m
L θθ
=⋅ 解得
03362
gL gL v v =
=
所以当32
gL
v =
β
，则有
2
sin mv T r
β= cos 0T mg β-=
又有
sin r L β=⋅
32
gL
v =
解得
60β︒=，2T mg =
7．半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图所示．O为圆心，已知玻璃的折射率为2．当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45︒，一束与ΜΝ平面成45︒的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出．求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？
【答案】
2 2
R
【解析】
图中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有
即
这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点．MN面上OE即是出射光的宽度．
8．一质量为m的小球（可视为质点），系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。

今把小球从O点的正上方离O点距离
为8
9
R的点以水平速度
3
4
v gR
=O点的正下方时，绳对
小球的拉力为多大？
【答案】
439
mg 【解析】 【详解】
设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图甲所示，根据平抛运动规律有
0sin R v t θ=，281
cos 92
R R gt θ-=
解得
π2θ=
，43R t g
=即绳绷紧时，绳刚好水平，如图乙所示，由于绳不可伸长，故绳绷紧时，沿绳方向的分速度0v 消失，小球仅有速度v ⊥
4
3
v gt gR ⊥==
以后小球在竖直平面内做圆周运动，设到达O 点正下方的速度为v '，由机械能守恒定律有
221122
mv mv mgR ⊥'=+ 设此时绳对小球的拉力为T F ，则有
2
T v F mg m R
'-= 解得
T 439
F mg =
9．交管部门强行推出了“电子眼”，机动车擅自闯红灯的大幅度减少。

现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为10m/s ．当两车快要到一十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间为0.5s )，已知甲车、乙车紧急刹车时产生的加速度大小分别为a 1=4m/s 2、a 2=5m/s 2。

求：
(1) 若甲司机看到黄灯时车头距警戒线15m ，他采取上述措施能否避免闯红灯？ (2) 乙车刹车后经多长时间速度与甲车相等？
(3) 为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中应保持多大距离？
【答案】(1) 能避免；(2) 2s ；(3) 保持距离≥2.5m。

【解析】 【详解】
(1) 设甲车停下来行驶的距离为x ，由运动学公式可得
2102v a x -=-，
可求得
2210m 12.5m 224
v x a ===⨯，
因为车头距警戒线15m ，所以能避免闯红灯；
(2) 设甲初始速度为1v ，乙的初始速度为2v ，设乙车刹车后经时间t 速度与甲车相等，则
有
()11220.5v a t v a t -+=-，
代入数值可得2s t =；
(3) 两车不相撞的临界条件是两车速度相等时恰好相遇，设甲、乙两车行驶过程中应保持
距离至少为L ，
由前面分析可知乙车刹车后2s 速度与甲车相等，设乙车反应时间为t ∆，由位移关系可得
()222221111
22
v t v t a t v t t a t L ∆+-=+∆-+，
代入数值联立可得 2.5m L =。

说明甲、乙两车行驶过程中距离保持距离≥2.5m。

10．如图所示，一束电子流在U 1=500V 的电压加速后垂直于平行板间的匀强电场飞人两板
间的中央．若平行板间的距离d=1cm，板长L=5cm，求：
（1）电子进入平行板间的速度多大?
（2）至少在平行板上加多大电压U2才能使电子不再飞出平行板?(电子电量e=1.6×10-19C，电子的质量m=9×10-31kg)
【答案】（1）1.33×107m/s（2）400V
【解析】
【分析】
【详解】
（1）电子在加速电场中运动时，由动能定理得：
eU1=mv02-0，
代入数据解得：v0=1.33×107m/s；
（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，
水平方向：L=v0t，
竖直方向，加速度：，
偏移量：y=at2，
电子刚好不飞出电场时：y=d，
代入数据解得：U2=400V；。