山东省平邑县第一中学2021-2022学年高三上学期开学收心考试数学试题及答案

2021--2022山东平邑一中新高三开学收心数学试题
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{x |x 2﹣6x +5≥0}，则（∁R B ）∩A ＝（ ） A ．{1，3，5}
B ．{3，5}
C ．{0，3}
D ．{3}
2．已知复数z 满足（√3−i ）z ＝2，则z ＝（ ） A ．
√32+1
2
i B ．√3+i C ．
√32−1
2
i D ．√3−i
3．由直线x ﹣y +4＝0上的点向圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2
＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A ．√7
B ．3
C ．2√2
D ．2√2−1
4．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．频率分布直方图中a 的值为0.004
B ．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D ．估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为160
5．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有（ ）种． A ．18
B ．12
C ．27
D ．15
6．实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2
a+1
+
b 2b+1
的最小值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．32
D ．8
3
7．若函数g(x)=f(x −π
6)+1为奇函数，函数f （x ）的导函数f '（x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π
2）的部分图象如图所示，当x ∈[−5
18，π
3]时，则f （x ）的最小值为（ ）
A ．﹣1
B ．−43
C ．−23
D ．−13
8．若函数f （x ）＝x 2﹣ax +lnx 在区间（2，e ）上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[92
，+∞)
B ．(−∞，92
]
C ．[92
，e 2+1]
D ．[e 2+1，+∞）
二．多选题（共4小题）
9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （x ）的图象关于x ＝1对称，当x ∈（0，1]时，f （x ）＝e x ﹣
1，则下列判断正确的是（ ）
A ．f （x ）的周期为4
B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]
C ．f （x +1）是偶函数
D ．f （2021）＝1
10．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ﹣b ＝2b cos A ，则下列结论正确的有（ ） A ．A ＝2B
B ．B 的取值范围为(0，π4
) C ．a
b 的取值范围为(√2，2)
D ．
1
tanB
−
1tanA
+2sinA 的取值范围为(
5√3
3
，3) 11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A ．BM ∥平面A 1DE 恒成立
B ．V 三棱锥A−A 1DE ：V 四棱锥A 1−BCDE =1：3
C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C
D ．线段BM 的长为定值
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝8y ，若过焦点F 的直线l 交抛物线于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则下列说法中正确的是（ ） A ．x 1x 2＝﹣16
B ．y 1y 2＝16
C ．FA →
•FB →
的最大值为﹣16 D ．|OA →
|•|OB →
|＞12
三．填空题（共4小题）
13．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2
b
2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支
上一点，PF 1⊥PF 2，直线PF 2交y 轴于点Q ，且F 2P →
=2
3PQ →
，则双曲线C 的离心率为 ． 14．若（2x +1）100＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 100x 100，则2（a 1+a 3+a 5+⋯+a 99）﹣3被8整除的余数为 ．
15．某地有A ，B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的，对于C ，因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1
2
，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1
3
．在这种假定之下，B 、
C 、
D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，写出X 的可能取值为 ，并求X 的均值（即数学期望）为 ．
16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面四边形ABCD 为正方形，四条侧棱P A ＝PB ＝PC ＝PD ，点E 和F 分别为棱BC 和PD 的中点．若过A 、E 、F 三点的平面与侧面PCD 的交线线段长为√7，且异面直线AB 与PD 的成角余弦值为
√2
4
，则该四棱锥的外接球的表面积为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2
)由下列四个条件中的三个来确定：
①f （0）＝﹣2；②最大值为2；③f(−π
6)=0；④最小正周期为π． （Ⅰ）写出能确定f （x ）的三个条件，并求f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，π
2]上的单调递增区间与最小值．
18．如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，BC =√2AB ，侧面BB 1C 1C 是正方形，D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AD 上一点，过P 和B 1C 1的平面交AB 于M ，交AC 于N ．
（1）证明：AA 1∥DE ，且平面AA 1ED ⊥平面MNC 1B 1；
（2）设Q 为A 1E 的中点，若AQ ∥平面MNC 1B 1，且AQ =3
2AB ，求平面MNC 1B 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
19．已知椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）过点（√3，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短
轴长的平方的等差中项． （1）求椭圆的标准方程：
（2）直线l 过点M （1，0），与椭圆分别交于点A ，B ，与y 轴交于点N ，各点均不重合且满足NA →
=λAM →
，NB →
=μBM →
，求λ+μ．
20．已知{a n }是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，最小值记为B n ，令b n =A
n B n
．
（Ⅰ）若a n ＝2n （n ＝1，2，3，…），写出b 1，b 2，b 3的值； （Ⅱ）证明：b n +1≥b n （n ＝1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{b n }是等比数列，证明：存在正整数n 0，当n ≥n 0时，a n ，a n +1，a n +2，…是等比数列．
21．第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11月1日零时，将彻查人口出生变动情况以及房屋情况．为了普及全国人口普查的相关知识，某社区利用网络举办社区线上全国人口普查知识答题比赛，社区组委会先组织了A 、B 、C 、D 四个小组进行全国人口普查知识网上答卷预选比赛，最终每个小组的第一名进入最后的决赛；其中甲、乙两人参加了A 组的小组预赛，结果两人得分相同，为了决出进入决赛的名额，该社区组委会设计了一个决赛方案：
①甲、乙两人各自从5个人口普查问题中随机抽取3个．已知这5个人口普查问题中，
甲能正确回答其中的3个，而乙能正确回答每个问题的概率均为1
2
，甲、乙两人对每个人
口普查问题的回答是相互独立、互不影响；
②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的2道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（1）求甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率；（每答对一次算答对一个问题） （2）记X 为乙答对人口普查问题的个数，求X 的分布列和数学期望． 22．已知函数f （x ）＝alnx ﹣ax +1． （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若函数g(x)=f(x)+1
2
x 2−1有两个极值点x 1，x 2（x 1≠x 2）． ①求a 的取值范围；
②若g （x 1）+g （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{x |x 2﹣6x +5≥0}，则（∁R B ）∩A ＝（ ） A ．{1，3，5}
B ．{3，5}
C ．{0，3}
D ．{3}
解：∵A ＝{1，3，5}，B ＝{x |x ≤1或x ≥5}， ∴∁R B ＝{x |1＜x ＜5}，（∁R B ）∩A ＝{3}． 故选：D ．
2．已知复数z 满足（√3−i ）z ＝2，则z ＝（ ）
A ．√32+12
i
B ．√3+i
C ．√32−1
2
i
D ．√3−i
解：∵（√3−i ）z ＝2， ∴z =
2√3+i =2(√3+i)(√3+i)(√3−i)
=√32+1
2i ．
故选：A ．
3．由直线x ﹣y +4＝0上的点向圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2
＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A ．√7
B ．3
C ．2√2
D ．2√2−1
解：圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心坐标为C （1，1），半径为1，
由直线x ﹣y +4＝0上的点P 向圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1引切线，要使切线长最小， 则|PC |最小，此时|PC|min =
|1−1+4|
√2
=2√2， ∴切线长的最小值为√(2√2)2−1=√7． 故选：A ．
4．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．频率分布直方图中a 的值为0.004
B ．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D ．估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为160 解：对于A ，由频率分布直方图的性质得：
（2a +3a +7a +6a +2a ）×10＝1，解得a ＝0.005，故A 错误；
对于B ，[50，80）的频率为：10（2a +30+7a ）＝10×12×0.005＝0.6， ∴估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B 正确； 对于C ，估计这20名学生数学考试成绩的众数为：
70+802
=75，故C 错误；
对于D ，估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为： 3×0.005×10×1000＝150，故D 错误． 故选：B ．
5．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有（ ）种． A ．18
B ．12
C ．27
D ．15
解：若2个小孩住在一起，则只能住三人间，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时有A 33=6种，
若2个小孩不住在一起，则只能三人间、两人间各住一个小孩，有2种，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时共有2A 33=12种， 合计6+12＝18种， 故选：A ．
6．实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1
+
b 2b+1
的最小值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．32
D ．8
3
解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴
a 2a+1
+
b 2b+1
=
a 2(b+1)+
b 2(a+1)
(a+1)(b+1)=
a 2+
b 2+ab(a+b)ab+a+b+1
=
(a+b)2−2ab+4ab
ab+5
=16+2ab ab+5
=
2(ab+5)+6ab+5
=2+
6
ab+5∈[83，165）．∴最小值为83
． 故选：D ．
7．若函数g(x)=f(x −π
6
)+1为奇函数，函数f （x ）的导函数f '（x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π
2）的部分图象如图所示，当x ∈[−5
18，π
3]时，则f （x ）的最小值为（ ）
A ．﹣1
B ．−43
C ．−23
D ．−13
解：根据函数f （x ）的导函数f '（x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π
2）的部分图象， 可得14⋅
2π
ω
=
π6
+π
6
，∴ω=3
2．
再根据五点法作图，可得3
2×π
6+φ=π2，求得φ=π
4，故函数f ′（x ）＝cos （32x +π4
），
∴f （x ）=2
3sin （3
2
x +π
4）+c ．
由于g （x ）＝f （x −π
6）+1=2
3sin （3
2x −π
4+π
4）+c +1=2
3sin 3
2x +c +1为奇函数，故c ＝﹣1，
f(x)=23
sin(32
x +π4)−1． ∵x ∈[−
5π18，π3]，∴32x +π4∈[−π6，3π4]，∴f(x)∈[−43，−1
3]， 故选：B ．
8．若函数f （x ）＝x 2﹣ax +lnx 在区间（2，e ）上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[9
2，+∞)
B ．(−∞，9
2]
C ．[9
2，e 2+1]
D ．[e 2+1，+∞）
解：f ′（x ）＝2x ﹣a +1x
，
∵函数f （x ）＝x 2﹣ax +lnx 在区间（2，e ）上单调递增， ∴f ′（x ）＝2x ﹣a +1x
≥0在（2，e ）上恒成立， 即a ≤2x +1x
在（2，e ）上恒成立，
∵g （x ）＝2x +1x 在（2，e ）上为增函数，∴g(x)＞g(2)=9
2． ∴a ≤92，即a 的取值范围是(−∞，9
2]． 故选：B ．
二．多选题（共4小题）
9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （x ）的图象关于x ＝1对称，当x ∈（0，1]时，f （x ）＝e x ﹣
1，则下列判断正确的是（ ）
A ．f （x ）的周期为4
B ．f （x ）的值域为[﹣1，1]
C ．f （x +1）是偶函数
D ．f （2021）＝1
解：因为f （x ）的图象关于x ＝1对称， 则f （﹣x ）＝f （2+x ）， 又f （x ）为函数的奇函数， 则f （﹣x ）＝﹣f （x ），
所以f （x +2）＝﹣f （x ），则f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ）， 所以f （x +4）＝f （x ）， 则函数f （x ）的周期为4， 故选项A 正确；
当x ∈（0，1]时，f （x ）＝e x ﹣
1，∈（1e
，1]，
因为f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以当x ∈（1，2]时，f （x ）∈（1
e ，1]，
又函数f （x ）为奇函数，
则当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）∈[−1，−1
e )， 当x ∈[﹣2，﹣1）时，
f （x ）∈[−1，−1e )， 又f （0）＝0，
综上可得，f （x ）的值域为[−1，−1
e )∪{0}∪（1e
，1]，
故选项B 错误；
因为f （x ）的图象关于x ＝1对称， 则f （x +1）的图象关于x ＝0对称， 所以f （x +1）是偶函数， 故选项C 正确；
f （2021）＝f （505×4+1）＝f （1）＝1， 故选项D 正确． 故选：ACD ．
10．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ﹣b ＝2b cos A ，则下列结论正确的有（ ） A ．A ＝2B
B ．B 的取值范围为(0，π
4) C ．a
b 的取值范围为(√2，2)
D ．
1
tanB
−
1
tanA
+2sinA 的取值范围为(5√3
3，3)
解：∵c ﹣b ＝2b cos A ，
∴由正弦定理可得sin C ﹣sin B ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ，
∴sin A cos B +cos A sin B ﹣sin B ＝2sin B cos A ，即sin A cos B ﹣sin B ＝sin B cos A ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝sin （A ﹣B ）＝sin B ， ∵A ，B ，C 为锐角，
∴A ﹣B ＝B ，即A ＝2B ，故选项A 正确；
∵{0＜2B ＜π
2
0＜π−3B ＜π2
，∴π
6＜B ＜π4，π3＜A ＜π
2，故选项B 错误； ∵a
b
=
sinA sinB
=
2sinBcosB sinB
=2cos B ∈（√2，√3），故选项C 错误；
∵
1tanB −
1
tanA +2sinA =sin(A−B)sinBsinA
+2sin A =
sin(2B−B)sinBsinA +2sin A =1
sinA
+2sin A ，
又π3
＜A ＜π
2
，∴√3
2
＜sin A ＜1， 令t ＝sin A （
√32＜t ＜1），则f （t ）=1t +2t （√32
＜t ＜1）， 由对勾函数性质可知，f （t ）=1
t +2t 在t ∈（√32
，1）上单调递增， 又f （
√32
）=1√32
2×√32=5√33，f （1）=1
1+2×1＝3，
∴1tanB
−
1tanA
+2sinA =
1sinA
+2sin A ∈（
5√3
3
，3），故选项D 正确． 故选：AD ．
11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A ．BM ∥平面A 1DE 恒成立
B ．V 三棱锥A−A 1DE ：V 四棱锥A 1−BCDE =1：3
C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C
D ．线段BM 的长为定值
解：取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，
则MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，则可得平面MBF ∥平面A 1DE ， ∵BM ⊂平面MBF ，BM ⊄平面A 1DE ， ∴BM ∥A 1DE ，故A 选项正确，
设A 1到平面EBCD 的距离为h ，D 到AB 的距离为h '， 则V A−A 1DE ：V A 1−BCDE =13×S △ADE ×ℎ：1
3×S 梯形EBCD ×ℎ
=S △ADE ：S 梯形EBCD =12×AE ×ℎ′：1
2×(CD +BE)×ℎ′=1：3，故B 选项正确， A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，
∵AC 与DE 不垂直，∴DE 与A 1C 不垂直，故C 选项错误， ∵∠MFB ＝∠A 1DE ＝45°，
又∵由余弦定理，可得MB 2＝MF 2+FB 2﹣2MF •FB •cos ∠MFB ，且MF ，FB 为定值， ∴MB 为定值． 故选：ABD ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝8y ，若过焦点F 的直线l 交抛物线于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则下列说法中正确的是（ ） A ．x 1x 2＝﹣16
B ．y 1y 2＝16
C ．FA →
•FB →
的最大值为﹣16
D ．|OA →
|•|OB →
|＞12
解：由抛物线的方程可得：焦点F （0，2），设直线AB 的方程为：y ＝kx +2， 联立{y =kx +2x 2=8y ，整理可得：x 2﹣8kx ﹣16＝0，
所以△＝64k 2+64＞0，x 1+x 2＝8k ，x 1x 2＝﹣16，
所以y 1y 2=(x 1x 2)
2
64
=4，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+4＝8k ²+4，
故A 正确，B 错误；
对于C ，FA →
=（x 1，y 1﹣2），FB →
=（x 2，y 2﹣2），
所以FA →•FB →
=x 1x 2+（y 1﹣2）（y 2﹣2） ＝x 1x 2+y 1y 2﹣2（y 1+y 2）+4 ＝﹣16+4﹣2（8k ²+4）+4
＝﹣16k ²﹣16≤﹣16，当k ＝0时等号成立， 所以FA →
•FB →
的最大值为﹣16，故C 正确； 对于D ，|OA →
|•|OB →
|=√x 12+y 12√x 22+y 22
=√8y 1+y 12√8y 2+y 22=√y 1y 2√(8+y 1)(8+y 2)
=√y 1y 2√64+8(y 1+y 2)+y 1y 2
＝2√64+8(8k 2+4)+4
＝4√16k 2+25≥20＞12，故D 正确． 故选：ACD ． 三．填空题（共4小题）
13．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2
b
2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支
上一点，PF 1⊥PF 2，直线PF 2交y 轴于点Q ，且F 2P →
=2
3PQ →
，则双曲线C 的离心率为 ． 解：设Q （0，m ），设m ＞0，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
设P （x 0，y 0），∵F 2P →
=23PQ →，∴F 2P →=25
F 2Q →
，
则（x 0﹣c ，y 0）=2
5（﹣c ，m ）， 解得x 0=3
5c ，y 0=2
5m ， 即P （3
5
c ，25m ），
∵PF 1⊥PF 2，∴F 2P →•F 1P →
=0，
即（−2
5c ，25m ）•
（85c ，25m ）＝0， 得4
25m 2
=1625
c 2
，解得m ＝2c ， 即P （35
c ，4
5
c ），
∵P 在双曲线上，∴9c 2
25a 2
−
16c 225b 2
=1，而b 2＝c 2﹣a 2，
可得：e 2=5
9或5，
由于e ＞1，可得e =√5， 故答案为：√5．
14．若（2x +1）100＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 100x 100，则2（a 1+a 3+a 5+⋯+a 99）﹣3被8整除的余数
为 ．
解：∵（2x +1）100＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 100x 100， 令x ＝1，可得a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 100＝3100， 令x ＝﹣1，可得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3﹣⋯+a 100＝1， ∴2（a 1+a 3+a 5+⋯+a 99）＝3100﹣1，
则2（a 1+a 3+a 5+⋯+a 99）﹣3＝3100﹣4＝（8+1）50﹣4=C 500•850+C 501•849+C 502•848+•+C 5049
•8+C 5050−4，
显然，除了最后2项外，其余的各项都能被8整除， 故它被8整除的余数，即1﹣4除以8的余数，等于5， 故答案为：5．
15．某地有A ，B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的，对于C ，因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1
2
，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1
3
．在这种假定之下，B 、
C 、
D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，写出X 的可能取值为 ，并求X 的均值（即数学期望）为 ．
解：由题意分析得X 可取的值为1、2、3，用“X ＝k ”（k ＝1、2、3）表示被A 直接感染的人数．
四个人的传染情形共有6种：A →B →C →D ，
，，，，．
每种情况发生的可能性都相等，所以A 传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．
“X ＝1”表示A 传染B ，没有传染给C 、D ：
“X ＝2”表示A 传染给B 、C ，没有传染给D ，或A 传染给B 、D ，没有传染给C ： “X ＝3”表示A 传染给B 、C 、D ． 于是有P(X =1)=1×12
×
23=13， P(X =2)=1×1
2×13+1×12
×23=12
， P(X =3)=1×12
×
13=16
． ∴X 可取的值为1、2、3，其中P(X =1)=13，P(X =2)=12，P(X =3)=1
6， ∴X 分布列为：
X
1
2
3
P
13
1
2 16
E(X)=1×13
+2×12
+3×16=116． 故答案为：1，2，3，
116
．
16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面四边形ABCD 为正方形，四条侧棱P A ＝PB ＝PC ＝PD ，点E 和F 分别为棱BC 和PD 的中点．若过A 、E 、F 三点的平面与侧面PCD 的交线线段长为√7，且异面直线AB 与PD 的成角余弦值为
√2
4
，则该四棱锥的外接球的表面积为 ．
解：如图，连接AE 并延长交DC 的延长线于H ，连接FH 交PC 于G ， ∵E 为BC 的中点，∴C 为DH 的中点，
在平面PDH 中，过C 作CK ∥PD ，交FH 于K ，则CK =12
DF =12
PF ， ∴GC =12
PG ，
∵异面直线AB 与PD 的成角余弦值为
√24
，∴cos ∠PDC =√24． 由已知可得，四棱锥P ﹣ABCD 为正四棱锥， 在等腰三角形PDC 中，由cos ∠PDC =
√2
4
，得PD =√2DC ，
设DC =√2a ，则PD ＝2a ，PF ＝a ，PG =43
a ，
cos ∠DPC ＝cos （π﹣2∠PDC ）＝﹣cos2∠PDC ＝1﹣2cos 2∠PDC =1−2×
18=34
， 在△PFG 中，由余弦定理可得，FG 2=7=a 2+16
9a 2−2⋅a ⋅4
3a ⋅3
4，解得a ＝3． ∴正四棱锥P ﹣ABCD 的底面边长为3√2，侧棱长为6，
连接AC 、BD ，相交于M ，连接PM ，则PM 为正四棱锥的高，则PM =√62−32=3√3． 设四棱锥外接球的球心为O ，连接OA ，则(3√3−R)2+32=R 2， 解得R =2√3．
∴该四棱锥的外接球的表面积为4π×(2√3)2=48π． 故答案为：48π．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π
2
)由下列四个条件中的三个来确
定：
①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③f(−π
6
)=0；④最小正周期为π．
（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π
2
]上的单调递增区间与最小值．
解：（Ⅰ）确定f（x）的三个条件是②，③，④．
当A＞0且0＜φ＜π
2时，A sinφ＞0．
若函数f（x）满足条件①，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，与A sinφ＞0矛盾，所以f（x）不能满足条件①．
所以能确定f（x）的三个条件是②，③，④．
由条件④，得2π
|ω|
=π，又ω＞0，所以ω＝2．由条件②，得|A|＝2，又A＞0，所以A＝2．
由条件③，得f(−π
6
)=2sin(−π3+φ)=0，又0＜φ＜π2，所以φ=π3．
所以f(x)=2sin(2x+π
3 )．
经验证，f(x)=2sin(2x+π
3
)符合题意．
（Ⅱ）函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ−π
2，2kπ+
π
2
](k∈Z)．
由2kπ−π
2
≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
得kπ−5π
12
≤x≤kπ+π12(k∈Z)．
又因为x∈[0，π
2 ]，
所以f（x）在区间[0，π
2
]上的单调递增区间为[0，π12]．
因为x∈[0，π
2 ]，
所以2x+π
3
∈[π3，4π3]，
所以f（x）在区间[0，π
2
]上的最小值为f(π2)=−√3．
18．如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，BC =√2AB ，侧面BB 1C 1C 是正方形，D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AD 上一点，过P 和B 1C 1的平面交AB 于M ，交AC 于N ．
（1）证明：AA 1∥DE ，且平面AA 1ED ⊥平面MNC 1B 1；
（2）设Q 为A 1E 的中点，若AQ ∥平面MNC 1B 1，且AQ =3
2AB ，求平面MNC 1B 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为DE ∥BB 1，AA 1∥BB 1，所以AA 1∥DE ， 平面PB 1C 1分别与两个平行平面ABC ，A 1B 1C 1相交于MN ，B 1C 1， 所以MN ∥B 1C 1，
又因为BC ⊥AD ，B 1C 1∥BC ，所以MN ⊥AD ， 因为BC ⊥BB 1，BB 1∥AA 1，所以BC ⊥AA 1， 而BC ∥MN ，所以MN ⊥AA 1，
又AD ，AA 1是平面AA 1ED 内两条相交直线， 故MN ⊥平面AA 1ED ，
故平面AA 1ED ⊥平面MNC 1B 1；
（2）解：连接EP ，因为AQ ∥平面MNC 1B 1，故AQ ∥PE ， 故PE ⊥MN ，又AD ⊥MN ，
故∠EPD 是二面角E ﹣MN ﹣D 的平面角， 设AB ＝2，则PD =
√2
2
，DE =2√2，PE ＝3，
由余弦定理可得，cos∠DPE =PD 2+PE 2−DE 22⋅PD⋅PE =1
2+9−82×√22×3
=√24， 故平面MNC 1B 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为√2
4
．
19．已知椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）过点（√3，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短
轴长的平方的等差中项． （1）求椭圆的标准方程：
（2）直线l 过点M （1，0），与椭圆分别交于点A ，B ，与y 轴交于点N ，各点均不重合且满足NA →
=λAM →
，NB →
=μBM →
，求λ+μ． 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，
由题意知a =√3，且（2a ）2+（2b ）2＝2（2c ）2， 又a 2＝b 2+c 2，∴b 2＝1， ∴椭圆的方程为
x 23
+y 2=1．
（2）由于直线1过点M （1，0），与y 轴交于点N ，所以直线l 的斜率k 存在． 设直线1的方程为y ＝k （x ﹣1），得N （0，﹣k ）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由{y =k(x −1)，x 23
+y 2=1，
得（3k 2+1）x 2﹣6k 2x +3k 2
﹣3＝0，x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，
∵NA →=λAM →
，
∵（x 1，y 1+k ）＝λ（1﹣x 1，﹣y 1），解得λ=x
1
1−x 1
同理可得μ=
x 2
1−x 2
， 则λ+μ=
x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 2
1−(x 1+x 2)+x 1x 2
=6k
23k 2+1−2(3k 2−3)3k 2+1
1−6k 23k 2+1+3k 2
−3
3k 2
+1
=−3．
20．已知{a n }是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，最小值记为B n ，令b n =A
n B n
．
（Ⅰ）若a n ＝2n （n ＝1，2，3，…），写出b 1，b 2，b 3的值； （Ⅱ）证明：b n +1≥b n （n ＝1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{b n }是等比数列，证明：存在正整数n 0，当n ≥n 0时，a n ，a n +1，a n +2，…是等
比数列．
解：（Ⅰ）∵a n ＝2n ，∴A n ＝2n ，B n ＝2， ∴b n =A
n B n
=n ．
b 1＝1，b 2＝2，b 3＝3．
（Ⅱ）证明：由题意知A n +1≥A n ＞0，0＜B n +1≤B n ， 所以A n +1B n ≥A n B n +1． 所以
A n+1
B n+1
≥
A n
B n
，即b n +1≥b n ．
（Ⅲ）证明：由题意知b 1=
A 1
B 1=a 1
a 1
=1，及b n +1≥b n ， ①当b n +1＝b n 时，得b n ＝1，即A n B n
=1．
所以A n ＝B n ． 所以a n ＝a 1．
即{a n }为公比等于1的等比数列．
②当b n +1＞b n 时，令a t ＝min {a 1，a 2，…，a n ，…}，则B m ＝a t （m ≥t ）． 当n ≥t 时， 显然A n +1＞A n ．
若a n +1≤A n ，则A n +1＝A n ，与A n +1＞A n 矛盾， 所以a n +1＞A n ≥a n ，即A n +1＝a n +1．
取n 0＝t +1，当n ≥n 0时，b n =A
n B n =a
n a t ，显然a n ，a n +1，a n +2，…是等比数列．
综上，存在正整数n 0，使得n ≥n 0时，a n ，a n +1，a n +2，…是等比数列．
21．第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11月1日零时，将彻查人口出生变动情况以及房屋情况．为了普及全国人口普查的相关知识，某社区利用网络举办社区线上全国人口普查知识答题比赛，社区组委会先组织了A 、B 、C 、D 四个小组进行全国人口普查知识网上答卷预选比赛，最终每个小组的第一名进入最后的决赛；其中甲、乙两人参加了A 组的小组预赛，结果两人得分相同，为了决出进入决赛的名额，该社区组委会设计了一个决赛方案：
①甲、乙两人各自从5个人口普查问题中随机抽取3个．已知这5个人口普查问题中，甲能正确回答其中的3个，而乙能正确回答每个问题的概率均为1
2，甲、乙两人对每个人
口普查问题的回答是相互独立、互不影响；
②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的2道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（1）求甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率；（每答对一次算答对一个问题）（2）记X为乙答对人口普查问题的个数，求X的分布列和数学期望．
解：（1）甲，乙两人共答对2个人口普查问题包括，
①甲答对2题，乙答对0题，此时概率P1=C31C22
C53
×C30×(12)3=340，
②甲答对1题，乙答对1题，乙再从剩下的2道题中选一道作答，并答错，此时概率P2=
C31C22
C53
×C31×12×(12)2×12=9160，
故甲，乙两人共答对2个人口普查问题的概率P＝P1+P2=3
40
+9160=21
160．
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）=C30×(1
2
)3=18，
P（X＝1）=C31C22
C53
×C31×12×(12)2×12+C3
2C
2
1+C
3
3
C53
×C31×12×(12)2=51
160，
P（X＝2）=C31C22
C53
×C31×12×(12)2×12+C3
2C
2
1
C53
×C32×(12)2×12×12+C3
1C
2
2+C
3
3
C53
×C32×
(12)2×12=51
160，
P（X＝3）=C33
C53
×C33×(12)3×12+C3
2C
2
1
C53
×C32×(12)2×12×12+C3
1C
2
2+C
3
3
C53
×C33×(12)3=37
160，
P（X＝4）=C33
C53
×C33×(12)3×12=1160，
故X的分布列为：
X01234
P1
851
60
51
160
37
160
1
160
故E（X）=0×1
8
+1×51
160
+2×51
160
+3×37
160
+4×1160=6740．
22．已知函数f（x）＝alnx﹣ax+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g(x)=f(x)+1
2
x2−1有两个极值点x1，x2（x1≠x2）．
①求a的取值范围；
②若g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）f′(x)=a
x
−a=a(1−x)
x
(x＞0)，
则①当a＝0时，f（x）＝1（x＞0）是常数函数，不具备单调性；
②当a＞0时，由f'（x）＞0⇒0＜x＜1：由f'（x）＜0⇒x＞1，
故此时f （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减； ③当a ＜0时，由f '（x ）＞0⇒x ＞1，由f '（x ）＜0⇒0＜x ＜1， 故此时f （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增； 综上：当a ＝0时，f （x ）是常数函数，不具备单调性，
②当a ＞0时，f （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， ③当a ＜0时，f （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增． （2）①因为g(x)=f(x)+1
2x 2−1=a(lnx −x)+1
2x 2， 所以g′(x)=
x 2−ax+a
x
(x ＞0)， 由题意g '（x ）＝0有两个不同的正根，
即x 2
﹣ax +a ＝0有两个不同的正根，则{△=a 2−4a ＞0
a ＞0
，可得a ＞4，
②不等式g （x 1）+g （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立， 等价于λ＞
g(x 1)+g(x 2)x 1+x 2=g(x 1)+g(x 2)
a
恒成立， 又g(x 1)+g(x 2)=a(lnx 1−x 1)+1
2x 12+a(lnx 2−x 2)+1
2x 22
=a(lnx 1+lnx 2)−a(x 1+x
2)+
12(x 12+x 2
2
)=alnx 1x 2−a(x 1+x 2)+1
2
[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]
=alna −a 2+12(a 2−2a)=alna −12
a 2−a ， 所以
g(x 1)+g(x 2)
x 1+x 2
=lna −
12
a −1，
令y =lna −1
2a −1(a ＞4)，则y ′=1
a −1
2＜0， 所以y =lna −12
a −1在（4，+∞）上单调递减，
所以y ＜2ln 2﹣3，所以λ≥2ln 2﹣3，即λ的取值范围是[2ln 2﹣3）。