基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究
非线性模型预测控制的若干问题研究
非线性模型预测控制的若干问题研究一、概述随着现代工业技术的快速发展，非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）已成为控制领域的研究热点。
非线性系统广泛存在于实际工业过程中，其特性复杂、行为多样，且具有不确定性，这使得传统的线性控制策略在面对非线性系统时往往难以取得理想的效果。
研究非线性模型预测控制策略，对于提高控制系统的性能、稳定性和鲁棒性具有重要意义。
非线性模型预测控制是一种基于非线性模型的闭环优化控制策略，其核心思想是在每个采样周期，以系统当前状态为起点，在线求解有限时域开环最优问题，得到一个最优控制序列，并将该序列的第一个控制量作用于被控系统。
这种滚动优化的策略使得非线性模型预测控制能够实时地根据系统的状态变化调整控制策略，从而实现对非线性系统的有效控制。
非线性模型预测控制的研究也面临着诸多挑战。
由于非线性系统的复杂性，其预测模型的建立往往较为困难，且模型的准确性对控制效果的影响较大。
非线性模型预测控制需要在线求解优化问题，这对计算资源的需求较高，限制了其在实时性要求较高的系统中的应用。
非线性模型预测控制的稳定性和鲁棒性也是研究的重点问题。
本文旨在深入研究非线性模型预测控制的若干关键问题，包括非线性模型的建立、优化算法的设计、稳定性和鲁棒性的分析等。
通过对这些问题的研究，旨在提出一种高效、稳定、鲁棒的非线性模型预测控制策略，为实际工业过程的控制提供理论支持和实践指导。
1. 非线性模型预测控制（NMPC）概述非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，简称NMPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于各种动态系统的优化控制问题中。
NMPC的核心思想是在每个控制周期内，利用系统的非线性模型预测未来的动态行为，并通过求解一个优化问题来得到最优控制序列。
这种方法能够显式地处理系统的不确定性和约束，因此非常适合于处理那些对控制性能要求较高、环境复杂多变的实际系统。
序列二次规划
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Questions
如何得到(*******)？
Answer
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作Байду номын сангаас集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Algorithm
起作用集方法
(***)
Proof
起作用集方法
起作用集方法
（a）
起作用集方法
(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
基于多学科设计优化算法的再入轨迹优化设计
静态 优化 问题 ， 这样 原 来 单 纯 的再 入轨 迹 动 态 优 化 问题 就变 为 多学 科 动 态， 态 混 合 优 化 问题 。对 于 静 这类 大规 模非 线 性 多学 科 混 合 优 化 问题 ， 传统 的优 化方 法 效率变 得 极 为 低 下 。近 年 来 ， 学 科 设计 优 多
外 形 和 质 量 等 其 他 学 科 影 响 的 再 入 轨 迹 优 化 对 于 提 高 Ｒ Ｖ的 系 统 性 能 无 疑 具 有 重 要 意 义 。 此 时 再 入 轨 迹 优 化 将 Ｌ
是 一 个 静 态 ， 态 多 学 科 混 合 优 化 问题 。 以球 头 双 锥 的 升 力 体 构 型 Ｒ Ｖ 为 例 ， 最 小 化 热 防 护 系 统 质 量 和 最 大 横 动 Ｌ 以
化 方 法 （ ｌ ｄｓｉｌ ａｙ Ｄｅｉ ｐｉ ｚｔ ｎ ， Ｍｕｆ ｉ ｐｉ ｒ ｓ ｎ Ｏ ｔ ａｉ ｉ ｃ ｎ ｇ ｍｉ ｏ ＭＤＯ）
说， 降低 整个 系统 的费 用是最 重要 的设 计 目标 ， 因此 通 常都选 择具 有最 佳热 环境 的再 入轨 迹 以降低 热 防
护 系统 的质 量 。而再 入热环 境 除 了与飞行 轨迹 相关 外 ， 与再入 飞行 器 的气 动外形 密切 相关 。因此 ， 还 考 虑其 它学科 影 响 的再 入 飞行器 轨迹 优化 无疑 对提 高 再入 飞行 器 的性能 有重 要 的意义 。通 常热 防护 系统
题 ， Ｒ Ｖ初 步 外 形 设 计 和 任 务 轨 迹 规 划 的 重 要 工 具 。 是 Ｌ
ilqr轨迹优化算法 -回复
ilqr轨迹优化算法-回复什么是iLQR轨迹优化算法？iLQR（iterative Linear Quadratic Regulator）轨迹优化算法是一种模型预测控制（MPC）算法，旨在通过迭代地线性化和求解二次规划问题来优化系统的控制轨迹。
通过不断调整输入信号，iLQR可以在每个时间步上寻找最优的控制动作，以使系统在未来的一段时间内达到最优状态。
iLQR的基本原理是系统建模和动态规划方法的结合。
它对系统动力学进行高阶近似来构造线性二次规划问题，并使用动态规划算法求解这个问题的最优解。
然后，通过组合反向传播和迭代线性化过程，iLQR可以获得最优轨迹和相应的控制输入。
iLQR的步骤如下：1. 系统建模：首先，需要对系统进行建模。
这包括定义系统的动力学方程和控制输入。
通常，系统的动力学可以通过物理定律或实验数据进行建模。
2. 初始轨迹和控制策略：根据任务要求和初始估计，选择一个初始的轨迹和相应的控制信号。
这个初始轨迹可以是基于经验的，也可以是通过其他方法生成的。
3. 线性化系统：使用初始轨迹和控制输入点对系统进行线性化，得到线性化的动力学方程。
通常，这是通过泰勒展开来实现的。
4. 回溯动态规划：从时间的终点开始，使用动态规划方法递归地向后计算成本函数和控制增量。
动态规划会在每个时间步上解决一个线性二次规划问题，以找到最优的控制增量。
5. 反向传播：根据计算的控制增量，逆向传播更新初始轨迹和控制信号。
这通过使用前一步中计算的增量来更新系统模型实现。
6. 重复迭代：重复步骤3到5直到收敛。
每次迭代都会生成一个更新的轨迹和控制策略，直到获得最优轨迹和相应的控制输入。
iLQR算法的优点是可以在非线性、多变量的系统中进行优化，同时兼顾了快速收敛和优化质量。
由于需要反复迭代和线性化系统，iLQR的计算复杂度较高。
因此，对于复杂的系统，可能需要进行有效的优化策略或并行计算来提高算法的效率。
总之，iLQR是一种有效的轨迹优化算法，通过迭代地线性化和求解二次规划问题来优化系统的控制轨迹。
序列二次规划算法
序列二次规划法求解一般线性优化问题:12min (x)h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m }i i f g I =∈=⎧⎨≥∈=⎩ (1.1) 基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。
1.1等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法考虑等式约束优化问题min (x)s.t.h (x)0,E {1,...,m}j f j =∈=(1.2)其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =. 则(1.3)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()mT i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑（1.3）其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。
约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =∇=∇∇.对（1.3）求导数，可以得到下列方程组：(,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ∇⎡⎤⎡⎤∇-∇===⎢⎥⎢⎥∇-⎣⎦⎣⎦（1.4）现在考虑用牛顿法求解非线性方程（1.4）.(,)L x u ∇的Jacobi 矩阵为：(,)()(,)()0T W x u A x N x u A x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1.5）其中221(,)L(,)()*()mxx iii W x u x u f x u h x ==∇=∇-∇∑是拉格朗日函数L(,)x u 关于x 的Hessen 矩阵.(,)N x u 也称为K-T 矩阵。
对于给定的点(,)k k k z x u =，牛顿法的迭代格式为：1k k k z z z +=+∆. 其中k k (d ,v )k z ∆=是线性方程组k k k k (,)()(x )A(x )u *()0(x )k k k k T T k k d W x u A x f A x v h ⎛⎫-⎛⎫-∇+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1.6）的解。
工业机器人轨迹规划算法优化研究
工业机器人轨迹规划算法优化研究摘要：工业机器人的应用范围越来越广泛，轨迹规划算法优化是提高机器人运动效率和精度的关键技术之一。
本文系统研究了工业机器人轨迹规划算法的优化方法，并提出了一种改进的轨迹规划算法，通过与传统方法进行对比实验，证明了改进算法在效率和精度方面的优势。
引言：工业机器人在制造业中发挥着重要的作用，轨迹规划是指通过控制机器人的运动轨迹，使机器人能够准确地执行任务。
在实际应用中，机器人的轨迹规划算法需要考虑多个因素，如机器人关节运动范围、碰撞检测、运动速度和加速度等。
因此，优化轨迹规划算法可以提高工业机器人的运动效率和精度，从而提高生产效率和产品质量。
一、工业机器人轨迹规划算法的研究现状1.1 传统的轨迹规划算法传统的轨迹规划算法包括插补方法、轮廓法和优化方法等。
插补方法根据起点和终点之间的直线段对机器人路径进行插补，但不能充分利用机器人的自由度。
轮廓法通过连接离散的轨迹点来生成轨迹，但容易导致机器人运动过程中的拐弯过大或者无法确保运动的平滑性。
优化方法通过优化目标函数，如最小化加速度、最小化能量消耗等，来得到最优的轨迹。
然而，传统的优化方法往往忽视了机器人关节运动范围、碰撞检测等复杂约束条件，导致生成的轨迹不符合实际情况。
1.2 关键问题在实际应用中，工业机器人在轨迹规划过程中面临一些关键问题，如路径平滑性、运动速度和加速度的控制、碰撞避免等。
这些问题直接影响着机器人的运动效率和精度。
因此，在轨迹规划算法的优化过程中，需要特别考虑如何解决这些关键问题，并提高机器人的运动性能。
二、轨迹规划算法优化方法2.1 路径平滑化算法路径平滑化算法是提高机器人轨迹规划精度的重要方法。
传统的路径平滑化算法主要有贝塞尔曲线和三次样条曲线等，但这些方法往往在拐弯处存在不连续性，并且难以满足机器人关节运动范围的约束条件。
因此，本文提出了一种基于优化目标函数的路径平滑化算法，通过最小化路径的曲率和加速度来得到平滑的轨迹。
序列二次规划法
n
（1-10）
其中， E 代表等式约束下的集合， I k 代表不等式约束中起作用约束的下标 集合。
此式即式 （1-8） ， 可以用同样的方法求解。 在求得式 （1-10） 的解 [ S
k 1
, k 1]T
之后，根据 k-t 条件，若解中对应原等式约束条件的乘子不全为零，对应起作用 约束条件的乘子不小于零，则 S 最优解 S * 。 综上所述，在迭代点 X 上先进行矩阵 H 的变更，在构造和求解相应的二 次规划子问题，并该子问题最优解 S * 作为下一次迭代的搜索方向 S 。然后在 该方向上对原非线性最优化问题目标函数进行约束一维搜索， 得到下一个迭代点
此问题是原约束最优化问题的近似问题，但其解不一定是原问题的可行点。 为此，令
S X Xk
将上述二次规划问题变成关于变量的 S 的问题，即
1 min f ( X ) S T 2 f ( X k ) S f ( X k )T S 2 s. t. gu ( X k )T S gu ( X k ) 0 (u 1,2,..., p) hv ( X k )T S hv ( X k ) 0
T
等于 n m 。由线性代数知，此方程要么无解，要么有惟一解。如果有解，利用 消元变换可以方便的地求出该方程的惟一解， 记作 [ S 若此解中的乘子向量
k 1
k 1
根据 k-t 条件， , k 1]T 。
不全为零， 则S 。
k 1
就是等式约束二次规划问题式 （1-8）
的最优解 S * ，即 S* S
2 序列二次规划的研究
最优化理论及方法是一个具有广泛应用背景的研究领域。 它研究诸如从众多 的方案中选出最优方案等问题，常见的各种模型如线性规划，二次规划，非线性 规划， 多目标规划等。 最优化理论及方法已经在经济计划， 工程设计， 生产管理，
基于凸优化和切比雪夫伪谱法的再入轨迹优化
Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 71【关键词】再入制导 切比雪夫伪谱法 凸优化1 引言轨迹设计是概念设计中的关键步骤，目的是使飞行器的性能与其所执行的飞行任务相匹配。
所谓轨迹优化，是指在规定的飞行任务条件下，寻找一条某种性能指标最优，而又不违背热流，动压，过载等各种约束的飞行轨迹。
高超声速飞行器的飞行轨迹优化对其设计有着十分重要的意义。
高超声速飞行器由于飞行空域和速度大范围变化，具有很强的非线性动力学特征，面临更复杂的运动方程组。
在大气层内长时间高超声速机动飞行，导致飞行器自身的热力学环境十分恶劣，为了保证满足飞行器的热防护系统，弹载设备以及机身结构正常工作，再入轨迹需要满足热流率，动压以及过载等物理量的不等式约束。
在实际运行中，导航系统的正常工作需求，领空限制问题等，要求再入轨迹满足航路点等式约束以及禁飞区不等式约束。
近年来，凸优化理论及方法取得较大发展并被广泛应用。
随着凸优化方法的完善和计算机技术的发展，大规模凸优化问题已能够在有限时间内获得最优解。
随后采用凸优化方法求解飞行器轨迹优化的研究逐渐增多，如行星软着陆问题。
Liu 和Lu 近年来针对轨迹规划的凸优化建模与方法展开了深入研究。
在文献[7]中，Liu 采用凸优化方法研究了在为了避免碰撞以及非线性末端约束等复杂约束条件情况下基于凸优化和切比雪夫伪谱法的再入轨迹优化文/陈嘉澍的航天器轨迹优化问题。
文献[8]基于二阶锥规划，并且使用序列线性化和松弛技术，而后将线性化的运动方程组离散化，完成了飞行器的再入轨迹优化；在此基础上。
文献[9]实现了最大化侧向角航程的再入轨迹优化。
国内的谭峰[10]将凸优化方法应用于高超声速飞行器轨迹跟踪控制，并在此基础上进行在线制导与轨迹优化。
林晓辉等人基于凸优化理论研究了月球定点着陆的轨迹优化[11]，陈洪普将凸优化方法应用于高超声速飞行器的再入制导过程当中，并且应用了模型预测控制的方法[12]。
月球精确软着陆最优标称轨迹在轨制导方法_梁栋
月球精确软着陆最优标称轨迹在轨制导方法
２ １ １， ２ 梁栋１， 刘良栋 何英姿
（ ）（ ） １ 北京控制工程研究所 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ ０ ２ 空间智能控制技术国家级重点实验室 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ ０
摘要
，且满足燃耗最优性要 为实现在月球表面期望 的 着 陆 点 进 行 精 确 软 着 陆 （ Ｐ Ｐ Ｌ）
更新修正hessian矩阵hk使hk1保持正定对称令kk1转步骤2遗传算法轨迹优化sqp算法需要首先给定参数迭代初值且初值好坏直接影响算法性能遗传算法虽然计算量大用时较长不适用于月球ppl在轨自主轨迹规划但它具有良好的全局寻优性能且不存在初值敏2011年12月感问题这一优点使其可以作为sqp方法的辅助算法主要有以下两个用途
′ ｘ ｚ： 原点位于着陆器的质心 ，Ｏ ′ ｚ 轴为月心指向着陆器质心的方向 ，Ｏ ′ ｘ 轴位于 轨道坐标系 Ｏ ｙ 当地水平面内指向着陆器运动方向 ，Ｏ ′ ｙ 轴按照右手定则确定 。 制动推力 Ｆ 的方向与着陆器本体轴
重合 ， 着陆器相对于轨道坐标系的姿态角分别 为 偏 航 角 ψ 和 俯 仰 角θ。 ′ ｚ 轴逆时针旋转为 ψ 绕 正Ｏ 正， ′ θ 绕正 Ｏ ｙ 轴顺时针旋转为正 。 忽略月球的非球形摄动和自转影响 ， 着陆器质心动力学方程为
Ｎ Ｎ
； ｘ（ Ｘ（ ｕ（ Ｕ（ ＝∑ ＝∑ τ）≈ Ｘ（ τ） τ） τ
ｉ＝０ ｉ＝０
分别逼近状态和控制变量 。 其中 ，Ｌ ａ ｒ ａ ｎ ｅ正交多项式 ｇ ｇ ２ （ ） ＬＮ （ τ －１ τ） τ） ＝ （ ｉ（ ） （ Ｎ Ｎ ＋１ ＬＮ （ τ τ－τ ｉ） ｉ）
。 收修改稿日期 ：２ 收稿日期 ：２ ０ １ １ ０ ３ １ ６ ０ １ １ ０ ４ ０ ８ － － － －
基于深度学习的轨迹预测和轨迹生成算法研究
基于深度学习的轨迹预测和轨迹生成算法研究随着人工智能技术的不断发展，深度学习的应用已经涵盖了许多领域。
其中，自动驾驶汽车领域是深度学习技术应用的一个热点。
在自动驾驶汽车中，轨迹预测和轨迹生成算法是非常重要的一环。
本文将讨论基于深度学习的轨迹预测和轨迹生成算法研究的发展现状和未来发展趋势。
一、轨迹预测算法轨迹预测算法的目的是预测未来的车辆轨迹。
这是自动驾驶汽车中必不可少的一项技术，因为自动驾驶汽车需要根据其他车辆的轨迹来做出决策。
在过去的几年中，深度学习已经成为了轨迹预测中最为重要的一种技术。
基于深度学习的轨迹预测算法可以分为典型的循环神经网络（RNN）和卷积神经网络（CNN）两类。
典型的RNN包括长短期记忆（LSTM）和门控循环单元（GRU）。
这些算法可以很好地处理变长的时间序列数据，并且可以捕捉到长期的依赖关系。
LSTM和GRU在轨迹预测中表现良好，但是在训练过程中很容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题。
相比之下，CNN在轨迹预测中具有更好的处理效果。
CNN在图像处理中已经表现出了它的强大能力，因此也可以用于处理车辆轨迹数据。
CNN的特点在于对数据的平移不变性，这一特性非常适合处理时间序列数据。
另外，CNN在处理过程中更容易训练，并且可以最小化被预测轨迹与真实轨迹之间的误差。
二、轨迹生成算法在自动驾驶汽车中，轨迹生成算法的应用非常广泛。
轨迹生成算法的主要任务是基于当前车辆位置和目标位置，生成一条能够有效到达目标的轨迹。
基于深度学习的轨迹生成算法也可以分为RNN和CNN两类。
在轨迹生成中，RNN可以很好地处理序列数据和长期的依赖关系。
但是RNN在生成过程中，很容易产生误差的累积效应，使生成的轨迹与真实轨迹相差较大。
相比之下，CNN可以直接对输入进行处理，因此也可以用于车辆轨迹生成。
特别是对于生成长度较短的轨迹来说，CNN具有很好的生成效果。
三、未来的发展趋势尽管深度学习已经为自动驾驶汽车领域提供了很好的帮助，但是仍然存在一些问题需要解决。
六自由度机械臂轨迹规划及优化研究
六自由度机械臂轨迹规划及优化研究一、本文概述理论基础与问题阐述：本文将系统梳理六自由度机械臂的数学模型，包括其笛卡尔坐标系下的运动学逆解与正解、动力学建模，以及关节空间与操作空间之间的转换关系。
在此基础上，明确阐述轨迹规划与优化所面临的关键问题，如奇异位形规避、关节速度与加速度限制、路径平滑性要求、动态负载变化等因素对规划算法设计的影响。
轨迹规划方法：针对上述问题，我们将探讨和比较多种有效的轨迹规划策略。
这包括基于插值的连续路径生成方法（如样条曲线、Bzier曲线），基于优化的全局路径规划算法（如RRT、PRM等），以及考虑机械臂动力学特性的模型预测控制（MPC）方法。
对于每种方法，将详细分析其原理、优势、适用场景及可能存在的局限性，并通过实例演示其在典型任务中的应用效果。
轨迹优化技术：在基本轨迹规划的基础上，本文将进一步探究如何运用先进的优化算法对初始规划结果进行精细化调整，以达到性能最优。
这包括使用二次规划、非线性优化、遗传算法等手段对轨迹的关节角序列、时间参数化、能量消耗等指标进行优化。
还将讨论如何引入避障约束、柔顺控制策略以及自适应调整机制，以增强机械臂在复杂环境和不确定条件下的适应性和鲁棒性。
实验验证与性能评估：本文将通过仿真研究与实际硬件平台上的试验，对所提出的轨迹规划与优化方案进行详细的验证与性能评估。
实验设计将涵盖多种典型应用场景，考察规划算法的计算效率、轨迹跟踪精度、能耗表现以及对意外扰动的响应能力。
实验结果将以定量数据与可视化方式呈现，以便于对比分析和理论验证。
本文致力于构建一套全面且实用的六自由度机械臂轨迹规划与优化框架，为相关领域的研究者和工程技术人员提供理论指导与实践参考，推动六自由度机械臂技术在实际应用中的效能提升与技术创新。
二、六自由度机械臂系统建模在六自由度机械臂的研究与应用中，系统建模是一个关键环节。
本节将重点讨论六自由度机械臂的数学建模，包括其运动学模型和动力学模型。
【5A文】关于序列二次规划(SQP)算法求解非线性规划问题研究
关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题研究兰州大学硕士学位论文关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题的研究姓名：石国春申请学位级别：硕士专业：数学、运筹学与控制论指导教师：王海明20090602兰州大学2009届硕士学位论文摘要非线性约束优化问题是最一般形式的非线性规划NLP问题，近年来，人们通过对它的研究，提出了解决此类问题的许多方法，如罚函数法，可行方向法，Quadratic及序列二次规划SequentialProgramming简写为SOP方法。
本文主要研究用序列二次规划SOP算法求解不等式约束的非线性规划问题。
SOP算法求解非线性约束优化问题主要通过求解一系列二次规划子问题来实现。
本文基于对大规模约束优化问题的讨论，研究了积极约束集上的SOP 算法。
我们在约束优化问题的s一积极约束集上构造一个二次规划子问题，通过对该二次规划子问题求解，获得一个搜索方向。
利用一般的价值罚函数进行线搜索，得到改进的迭代点。
本文证明了这个算法在一定的条件下是全局收敛的。
关键字：非线性规划，序列二次规划，积极约束集Hl兰州人学2009届硕二t学位论文AbstractNonlinearconstrainedarethemostinoptimizationproblemsgenericsubjectsmathematicalnewmethodsareachievedtosolveprogramming．Recently,Manyasdirectionit，suchfunction，feasiblemethod，sequentialquadraticpenaltyprogramming??forconstrainedInthisthemethodspaper,westudysolvinginequalityabyprogrammingalgorithm．optimizationproblemssequentialquadraticmethodaofSQPgeneratesquadraticprogrammingQPsequencemotivationforthisworkisfromtheofsubproblems．OuroriginatedapplicationsinanactivesetSQPandSQPsolvinglarge-scaleproblems．wepresentstudyforconstrainedestablishontheQPalgorithminequalityoptimization．wesubproblemsactivesetofthesearchdirectionisachievedQPoriginalproblem．AbysolvingandExactfunctionsaslinesearchfunctionsubproblems．wepresentgeneralpenaltyunderobtainabetteriterate．theofourisestablishedglobalconvergencealgorithmsuitableconditions．Keywords：nonlinearprogramming，sequentialquadraticprogrammingalgorithm，activesetlv兰州大学2009届硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。
工业机器人关节空间轨迹规划及优化研究综述
工业机器人关节空间轨迹规划及优化研究综述关节空间轨迹规划是指在关节空间中确定机器人各个关节的轨迹，以实现机器人运动的目标。
关于关节空间轨迹规划，存在两种主要方法，一种是基于优化模型的轨迹规划方法，另一种是基于算法的轨迹规划方法。
基于优化模型的轨迹规划方法通过定义一个优化目标函数，将机器人的运动约束条件和性能指标考虑在内，寻找一个最优的关节轨迹。
常见的基于优化模型的方法包括二次规划、非线性规划和强化学习等。
二次规划方法通过将问题转化为二次目标函数的最小化，求解线性或二次约束条件下的最优解。
非线性规划方法则是通过定义非线性目标函数和约束条件，利用数学方法求解最优解。
强化学习方法则是通过机器人不断与环境进行交互学习，优化轨迹规划模型。
基于算法的轨迹规划方法通过在关节空间中进行，找到一个符合约束条件的轨迹。
常见的算法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法等。
遗传算法通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异操作，找到一个最优的关节轨迹。
粒子群算法模拟鸟群中鸟的群体行为，在空间内最优解。
模拟退火算法则是基于材料退火过程的物理原理，通过不断降低温度来最优解。
关节空间轨迹优化是指在已经规划好的轨迹基础上，通过优化算法进一步优化轨迹。
关节空间轨迹优化的方法主要包括局部优化方法和全局优化方法。
局部优化方法是指通过对轨迹一些局部细节进行调整来优化轨迹。
常见的局部优化算法包括能量最小化方法、基于优化模型方法和路径优化方法等。
全局优化方法则是通过整体的目标函数来对轨迹进行优化，常见的方法包括模拟退火、遗传算法和粒子群算法等。
总结起来，工业机器人关节空间轨迹规划及优化是关于如何在关节空间内规划和优化机器人的轨迹，以实现机器人的高效运动。
从方法上分为基于优化模型的方法和基于算法的方法，同时也可以通过优化算法进一步优化已规划好的轨迹。
这些方法和技术为工业机器人的运动控制提供了有力支持，可以提高机器人的性能和效率。
工业机器人关节空间轨迹规划及优化研究综述
工业机器人关节空间轨迹规划及优化研究综述一、本文概述随着工业自动化程度的不断提高，工业机器人得到了广泛应用，成为现代生产中不可或缺的设备。
作为机器人关键的一部分，关节空间轨迹规划和优化显得尤为重要。
本文将综述工业机器人关节空间轨迹规划及优化研究的最新进展。
在工业机器人的运动过程中，轨迹规划是一个至关重要的问题。
关节空间轨迹规划是指在关节位置空间内，给定起始和终止点的情况下，确定机器人的运动轨迹。
主要方法包括：基于经验规划的方法：工程师根据经验确定机器人的运动轨迹，但容易受到人为因素的影响。
基于数学建模的方法：将运动规划问题转化为数学问题，通过计算机程序运算，能较准确地计算轨迹，但需要较高的数学和编程能力。
基于优化的方法：通过优化算法提高机器人的运动效率和准确性，在预设目标函数下寻找最优解，适用于解决复杂问题。
本文将详细讨论这些方法的原理、应用和优缺点，并介绍工业机器人关节空间轨迹优化的相关研究，旨在为该领域的进一步研究提供参考和借鉴。
二、工业机器人关节空间轨迹规划基础工业机器人的轨迹规划是指在其运动过程中，确定机器人的运动轨迹，包括位移、速度和加速度等参数。
在关节空间中，轨迹规划的目标是给定起始和终止点的情况下，确定机器人各个关节的运动路径。
基于经验规划的方法：工程师根据经验确定机器人的运动轨迹，简单但容易受人为因素影响。
基于数学建模的方法：将运动规划问题转化为数学问题，通过计算机程序计算，准确但需要较高的数学和编程能力。
基于优化的方法：通过优化算法提高运动效率和准确性，适用于解决复杂的规划问题。
由于机器人的驱动装置功率限制，关节运动需要在速度和加速度上进行限制，通常需要将运动过程分割为若干小段，以保证运动平稳。
关节运动一般经历加速、匀速和减速的过程，速度随时间的变化关系称为速度曲线或速度轮廓。
梯形规划（Trapezoidal Profile）：运动过程分为加速、匀速和减速三个阶段，速度曲线呈梯形。
序列二次规划算法
Q(x, Δx) = f(x) + ∇f(x)^TΔx + 0.5Δx^T∇^2f(x)Δx + λ_0^Tg(x) + ∑μ_0ihi(x) + 0.5∑μ_0igi(x)^2
序列二次规划算法
序列二次规划（Sequential Quadratic Programming，SQP）算法是一种求解具有二次约束条件的优化问题的方法。该算法结合了牛顿法和线性规划的思想，通过迭代的方式逐步优化目标函数，直至满足约束条件。
SQP算法的基本思想是将原问题转化为一系列的二次规划子问题，然后通过求解这些子问题来逐步逼近原问题的最优解。具体来说，SQP算法的每一步都通过构造一个二次近似模型来近似原问题，然后求解该模型的最优解，并将该最优解作为下一步迭代的初始解。这样，通过不ຫໍສະໝຸດ 迭代优化，可以逐步靠近原问题的最优解。
接下来，SQP算法将根据引入的步长因子α，计算出新的迭代点x_k+1：
x_k+1=x_k+αΔx*
然后，算法将检查x_k+1是否满足约束条件g(x)≤0和h(x)=0，如果满足，则表示已找到最优解；如果不满足，则将继续迭代。为了提高算法的收敛速度，可以采用牛顿法来求解子问题，即通过计算Q(x,Δx)的一阶导数和二阶导数来优化计算过程。
除了求解子问题，SQP算法还需要更新拉格朗日乘子和松弛变量。在每一步迭代中，算法将通过以下公式更新其值：
λk+1=λk+αμk*g(x_k+1)
基于NSGA—Ⅱ算法的RLV多目标再入轨迹优化设计
化问题。 一方面， 这些参数的确定本身也成为 １ 个优
化 过 程 ， 一 方 面 ， 化 结 果 也 严重 依 赖参 数 的选 另 优 择 。与 传统 的 多 目标 处 理方 法 不 同 ， 于 Ｐ ｒｔ 基 ａｅｏ解 的多 目标 遗传 算 法并不 是着 眼 于化 多 目标 问题 为单
目标 问题 ， 而是 在 多 目标 优化 的基 础上 ， 得到 均匀 分
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ Ｉ２ ．
基于 ＮＳ Ａ— 算法的 Ｒ Ｖ 多 目标 Ｇ Ｉ Ｉ Ｌ
再 入 轨 迹优 化 设 计
陈 刚 ，胡 莹 ，徐 敏 ，万 自明。 ，陈 士橹
ｆ ． 北 工 业 大 学 航 天 学 院 ， 西 西 安 ７ ０ ７ ；２西 北 工 业 大 学 管 理 学 院 ，陕 西 西 安 西 １ 陕 １０ ２ ． ＼ ． 天 科 工 集 团二 院二 部 ，北 京 ３航 １ ０ ５ ０８４
Ｒ 初步设 计 的有 力工具 。 Ｉ Ｖ
关 键 词 ： 目标优 化 ， 多 再入 轨迹 ， ａｅｏ方法 ， ＧＡ—ｌ Ｐ ｒｔ ＮＳ Ｉ
中图分类 号 ： １． Ｖ４ ２４
文 献标识 码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ０２ ５ （０ ６０—１３０ １０—７ ８２０ ）２０３—５ 题 通过 引 入权 重 因 子 、 好 等 参 数转 化为 单 目标优 偏
之 间可能 相互 冲 突 ， 不存 在 １ 最 优 设计 点 使 所 即 个
有 目标 同时 达到最 优 。 １个 目标 性能 的改善 ， 往往 以 其 它 １ 或多个 目标 性 能的 降低 为代价 。 个 例如 Ｒ Ｖ Ｌ
机动 横程越 大 ， 则热 载相 应越 大 。 比较 常用 的多 目标
的应用。 但也引入了新的参数 ， 且每次优化只能获得与该参数相关的 １ 个解。 Ｓ Ａ Ｉ 算法是最近 ＮＧ — Ｉ 发展 起 来 的具 有优 良性 能的 多 目标 遗传 算 法 ， 引入 了快 速 分类 、 束 支 配和精 英策略 ， 运行 它 约 １次
第十五章序列二次规划法
第十五章序列二次规划法第十五章序列二次规划法考察一般非线性约束最优化问题m in ( )( ) 0 , { 1 , 2 , , }s . t.( ) 0 , { 1 , 2 , , }i eei efxc x i mc x i m mEI m(15.0.1)其中 )( )), ((i xfc i E Ix ??都二阶连续可微 .序列二次规划法(Sequential Quadratic Programming，简称SQP)的基本思想是在当前迭代点 kx 处，以问题 (15.1.1)的 Lagrange 函数 ( , )Lx? 在 ( ),kkx ? 处关于变量 x 的 Taylor 二阶展开式作为目标函数，以约束条件 ( )( )i x i E Ic ??在 kx 处的 Taylor 一阶展开式作为约束条件，构造一个二次规划子问题来获得搜索方向 kd ，它可以看作是求解无约束优化问题的牛顿法(或拟牛顿法 )在约束情形下的推广 . 由于 2 ( , )kkxxLx?? 的计算量比较大且不一定正定，因此，我们一般采用拟牛顿法思想构造正定矩阵序列{}kB ，并以kB 代替 2 ( , )kkxxLx?? ，即由二次规划子问题m i n ( ) ( ) 0 ,s .t . 12() ((,) )0T k Tkk k Tik k Tiiid B d dc xd Ecxfxc x icx dIi(15.0.2)来确定下降方向 kd .在序列二次规划法中，一般采用某种精确罚函数来作为评价算法产生的迭代点 kx 趋近原问题 (15.1.1)最优解 x 的程度的价值函数 .§15.1 Lagrange-Newton 法本节考察仅有等式约束的情形m i n ( )s .t . ( ) 0 , {1 , 2 , , }i Efxc x i m??? ? (15.1.1)第十五章序列二次规划法272 最优化理论与方法 [乌力吉 ]其中 (( )), )(i xfc ix E? 均二阶连续可微 . 其 Lagrange 函数为1(( ), ) ) (miiif x cLx x????? ?. (15.1.2)由第九章可知，在一定条件下， x 是问题 (15.1.1)的局部解的必要条件是存在 m满足 K-K-T 条件1( , ) ( ) ( ) ,(, ),) ( mx i iiL x f x c cx xxL?(15.1.3)这里 12( ) , ( ) ,( ) ( , ( ) ) Tmxcc xcx xc ? ?.Lagrange-Newton 法的基本思想是利用牛顿法求解非线性方程组 (15.1.3)来得到原问题(15.1.1)的 K-K-T 点及其乘子 .§15.1.1 非线性方程组的阻尼 Newton 法我们先来讨论求解一般非线性方程组()Gx?0 (15.1.4)的 Newton 法，其中 : nnG 连续可微 .在当前迭代点 kx 处，将向量值函数 ()Gx 以其在 kx 处的 T aylor 一阶展开式近似代替，求解线性方程组) ( )( ()k k k TG x dd G x G x? ? ? ? ? 0， (15.1.5)其中 12( ) ( ( ) ( ) ( ) )k k k knG x G x G x G x? ? ? ? ??，这个方程组又称为 Newton 方程，当()Gx 的 Jacobi 矩阵 ()kTGx? 可逆时，可解得 Newton 方向1( ) )( ()k k T kG x G xd ??? ? . (15.1.6)Newton 方向 kd 是价值函数21211|| ( ) |() |22 ()imixGx G x? ?? ??(15.1.7)在点 kx 处的下降方向，这是因为§ 15.1 Lagrange-Newton 法最优化理论与方法 [乌力吉 ] 2731( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k kmikkiix x G x G x G xG?， (15.1.8)由此得( ) ) ( ) ) ( )(( ()2k T k k T k T k k T k kx d G x d G xG x G x x??? ? ?? ? ? ?， (15.1.9)因此，当 kx 不是非线性方程组 (15.1.4)的解时，必有 ( ) 0k T kx d.求解非线性方程组的经典 Newton 法迭代格式为1k k kxx d? ??. (15.1.10)设 x 为 ()Gx?0 的解， ( )Gx? 可逆，则由 ()Gx 连续可微可知，当kx 充分靠近 x 时，)( kGx? 也可逆，且由 Von-Neumann 引理知，存在 0M? ，使得1|| ( ) ||kG x M，于是11 | | | | | | | | ( ) ) ( ) | || | (k k k k k T kx x d x x G x xx Gx??? ? ? ? ? ? ??1| | ( ) ) | | ( )( | | (( | |))k T k k T kG x G x G x x x?? ? ? ???| | ( ) | | ( | | | | | ) | | ( | | )|kkM G x o x x o x x? ? ? ??， (15.1.11)这表明非线性方程组的牛顿法具有局部超线性收敛速率，特别地，当 ()Gx? 在点 x 处局部Lipschitz 连续时，由定理 1.2.1，有1 | | | | (| | ( ) ) ( ) ( ) | |k k k T kx G x GxM x G x x x? ? ? ? ? ??2(|| || )kO x x??， (15.1.12)这时，非线性方程组的 Newton 法具有局部二阶收敛速率 .算法 15.1（非线性方程组的阻尼 Newton 法）步 1：给定初始点 0 nx?? ，参数 (0,1)?? 和 (0,1)?? ，容许误差0?? ，置 0k? ；步 2：如果 ()kx ，则算法结束，输出近似解 kx ；步 3：确定牛顿方向，从牛顿方程( ) ( )k k TG x G x d?? ? 0 (15.1.13)解出 kd ，并令 1?? ；步 4：沿 kd 进行简单后退线搜索，如果第十五章序列二次规划法274 最优化理论与方法 [乌力吉 ]( ) (1 ) ( )k k kx d x? ? ? ? ?? ? ?， (15.1.14)则令 ? ??? ，转步 4，否则令 k ；步 5：令 1k k kkx x d?? ?? ，置 1kk??，转步 2.定理 15.1.1 设 : n nG 连续可微，如果 ()kGx? 对每个 k 都可逆，且存在 0M? ，使得 1()|| ||kG x M总成立，则算法 15.1 产生的点列 {}kx 的任何聚点都是 ()Gx?0 的解 .证设x 是点列{}kx 的一个聚点，则存在无穷指标集1 {1,2, }K ? ? ，满足1limkkKk xx??? ?， (15.1.15)由于算法 15.1 是下降算法，故由数列 {( )}kx? 单调减少可知( ) ( )limk kxx???? ? . (15.1.16)由于 1()|| ||kG x M，故对每个 1k K? ，都有1 0| | | | | | | | | | | | | |( ) ) ||( ( )k k kG x G x GdM x?? ?? ?，(15.1.17)即1{}k kKd ?有界，从而存在无穷指标集 21K K? ，使得2limkkKk dd??? ?，且由 ()Gx 连续可微，有2( ) ( ) | || | l i m | | 0( ) ( ) | |T k T k kkKkddG x G x G x G x???? ? ? ???，即( ) ( )T dG x G x? ? ?. (15.1.18)再由算法 15.1 步 4 可知，1 )( ) ( ) (1 ( )k k k kkkdx x x? ? ? ? ? ?? ??? ?， (15.1.19)( ) (1 ( ))k k kkkdxx? ? ? ? ?? ??， (15.1.20)其中 ? /kk? ? ?? .下面用反证法来证明定理的结论成立 . 假设 x 不是 ()Gx?0 的解，这时 ( ) 0x? ? ，由不等式 (15.1.19)和极限 (15.1.16)，有 lim 0k k??? ?，因此，§ 15.1 Lagrange-Newton 法最优化理论与方法 [乌力吉 ] 275lim? 0kk ??? ? ， (15.1.21)由此得2( ) ( l im 2) ( ) ( ) ( ) ( )? T T Tk kK kkxx x d G x G x xd d? ? ? ???，从而对充分大的 2k K? ，都有3 (1? ?( )2 ) ( )kkdxx? ? ? ???? . (15.1.22) 由于对任意 (0,1)?? ，有22l i m ( ) l i m ? )? (kkkkk K k Kkkx d x x d? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?，故由 ( ) ( ) ( )Tx G x G x?? ? ? 连续以及2limkkKk dd??? ?，有)? ?| ( ) ( ( ) ( |)k k kkkdx x x xd? ? ? ? ? ?? ? ???|? ?| ( ) ( )k k k T k k Tk k k kddx dx d? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???( ) ? ? ?|( ( ) )k k k k T kk k kdxx dd? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?) (|( ? )?k T kkk d d dx? ? ? ?????( || ) ( ( ) || || ||k k k k kk k kdx x dd? ? ? ? ? ? ?? ??????|| ( ) || || || )kkk ddx d? ? ?? ? ? ??2? )( )( ,kok K k? ?? ??， (15.1.23)其中 (0 ,1), (0 ,1)kk对任意 2k K? 成立，故对充分大的 2k K? ，由不等式 (15.1.20) ,(15.1.23)和 (15.1.22)，有( ) ( ) ( )k k k kkk dx x x? ? ? ? ? ?? ? ??( ) ( ) ( )kkxod x? ? ? ?? ? ??1? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )2k k k kx x o x? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?， (15.1.24)即有 ( ) ( )kxx?? ?? ，对不等式两边取极限，得第十五章序列二次规划法276 最优化理论与方法 [乌力吉 ]1) ( ) 0( x，由于 (0,1)?? ，故 ( ) 0x? ? ，但这与假设矛盾，矛盾表明假设不成立 .§15.1.2 等式约束优化问题的 Lagrange-Newton 法在本节，我们回过头来考察非线性方程组 (15.1.3)1()),(().miiif x c xcx(15.1.25)以 () mnAx 来表示约束函数 ()cx的 Jacobi 矩阵，即12 mA x c x c x c x? ? ? ? ??， (15.1.26)并记1(, ()()( ) ( ) ( , )) m ii xifGxcxcxx c x Lx? ??， (15.1.27)则 (,)Gx? 的 Jacobi 矩阵为2 ( ) ( ))( ,(, )Txx Lx AxxxG A ?? ?????? ?????O . (15.1.28)假设 A (A1) 约束函数 ()cx的 Jacobi 矩阵 ()Ax 是行满秩的；(A2) Lagrange 函数的 Hesse 矩阵 2 ( ),xxLx?? 在切平面 { | }nd Ad? ? 0? 上正定，即有2 ( |, ) 0 },{Tnxx L x dd d dd A?? ? ? ?? ? ?0 0?. (15.1.29)定理 15.1.2 如果问题 (15.1.25)满足假设 A，则 ( , )Gx?? 是可逆矩阵 .证设存在向量 nmd 满足2 ) ( )) (,,()(T xxx dAxddAxLxGx ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ?? ??? ?????? 00O，则由2 (), )( Txx xLx d A x d ??? ? ? 0， (15.1.30)§ 15.1 Lagrange-Newton 法最优化理论与方法 [乌力吉 ] 277()xA x d??0 ， (15.1.31)有2 (, ) ( ) ( ) xT T T Tx x x x xd d d A x d ALx xdd??? ??? ? 0，(15.1.32)这样，由等式 (15.1.31)和 (15.1.32)以及假设 (A2)可知 xd?0 ，将其代入方程等式 (15.1.30)，得()TA x d? ?0 ，而由假设 (A1)可知 ()TAx 是列满秩的，故 d??0 ，从而 ( , )Gx?? 是可逆矩阵 .记1( , ) ( , ) ( , )2 Tx G x G x? ? ? ?? .等式约束优化问题的Lagrange-Newton 法就是通过算法15.1 来求解非线性方程组(15.1.14)来得到约束问题(15.1.3)的K-K-T 点及其乘子，具体算法如下：算法 15.2（等式约束优化问题的 Lagrange-Newton 法）步 1：给定初始点 00)(, nmx ? ??? ，参数 (0,1)?? 和 (0,1)?? ，容许误差 0?? ，置 0k? ；步2：如果(),kkx? ? ?? ，则算法结束，输出近似K-K-T 点对( ),kkx ? ；步 3：确定牛顿方向，从牛顿方程2 ( , () ( ) ( )( )())k k k T k k T kxxxkkdAfdAL x x x A xx c xO 0(15.1.33)解出 , )( kkxd d? ，并令 1?? ；步 4：沿 , )( kkxd d? 进行简单后退线搜索，如果( ) ( 1 ) (,, )k k k k k kxx d d x?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，则令 ? ??? ，转步 4，否则令 k ；步 5：令 1kkk kxx x d?? ?? ， 1kkk kd????? ?? ，置 1kk??，转步 2.这个算法的全局收敛性和局部收敛速率可由§15.1.1 中相应结论得到 .注对于包含不等式约束的优化问题第十五章序列二次规划法278 最优化理论与方法 [乌力吉 ]m in ( )( ) 0 , { 1 , 2 , , }s . t.( ) 0 , { 1 , 2 , , }i eei efxc x i mc x i m mI m我们可以考虑引入松弛变量，使其成为仅具有等式约束的优化问题2m in ( )( ) 0 , { 1 , 2 , , }s. t.( ) 0 , { 1 , 2 , , }eii eiefxc x i mc x y i m m m EI具体讨论读者自己完成 .当我们恒取 1k?? 时，算法 15.2 就变成经典 Newton 法，这时有迭代格式11,.kkkxkx x dd从而，牛顿方程 (15.1.33)可以写成2 ) ( )(,()()()k k k T kxxkkL x x xxc dAA xf? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ???? ??O 0， (15.1.34)由此解出 kkxdd? 和 1 kkkd???? ??.另一方面，我们注意到非线性方程组 (15.1.34) 完全可以看成是二次规划问题21m in ( ) (2s . t., ) ()))( (T k k k Txxkkd f xq d d L x ddx cxA(15.1.35)的一阶必要条件，即为问题 (15.1.20)的 K-K-T 条件 .当假设 A 满足时，非线性方程组 (15.1.34)的唯一解 1)(,kkd ?? 就是凸二次规划问题(15.1.35)的最优解及其乘子 .因此，等式约束优化问题的 Lagrange-Newton 法可以理解为每次求解一个二次规划子问题来得到在当前迭代点 kx 处关于变量 x 的下降方向 kkxdd? 以及1k k kx x d? ??的乘子1k?? .这给了我们一个启示，对于约束优化问题可以通过解一系列这样的二次规划子问题来产生收敛于原问题 K-K-T 点及其 Lagrange 乘子的迭代序列 {}kx 和{}k? ，这就是序列二次规划法的思想来源 .§ 15.2 序列二次规划法最优化理论与方法 [乌力吉 ] 279§15.2 序列二次规划法本节考察一般非线性约束最优化问题m in ( )( ) 0 , { 1 , 2 , , }s . t.( ) 0 , { 1 , 2 , , }i eei ec x i mc x i m mEI m(15.2.1)其中 )( )), ((i xfc i E Ix ??都二阶连续可微 .类似于二次规划子问题(15.1.35)，我们构造一般约束问题(15.2.1)的二次规划子问题()) ( )1m in ( 0 , ,) ( ) 0 , ) 2 (s.t . (T k T kk T k iik T k d f x cdq d d Bc x i Ec d c x i Idxx(15.2.2)其中 kB 是 Lagrange 函数的 Hesse 矩阵 2 ,)( kkxxLx?? 的近似 . 二次规划问题 (15.2.2)的 K-K-T 条件为1( ) ( ) ,( ) ( ) 0 , ,( ) ( ) 0 , 0 , ( ) ( ) .( ) 0 , mkkk i iik T kiik T k k T ki i i i i if x c xx x i Ex x x x IBdc d cc d c c d c i 0(15.2.3)定理 15.2.1 如果 kd 是二次规划问题 (15.2.2)的 K-K-T 点， k? 是相应的乘子，则对于 1l?罚函数() 1|( ) ( ) | ( ) ||kcxP x f x? ? ??? ， (15.2.4)有() 110) | | ( ) | | (( () )kk mk T k k k kk i iid cxd P x d B d xd c?， (15.2.5)其中() 1| | ( ) | | | ( ) | | m i n{ 0 , ( ) } |k iii E i Ic x c x c x| ( ) | m a x{ 0 , ( ) }iii E i Ic x c x????? ?? . (15.2.6) 证对任意 , nyz?? ， [0,1]?? ，有第十五章序列二次规划法280 最优化理论与方法 [乌力吉 ]() 11| | [ ( 1 | m i n{ 0 , ( 1 } |) ] | | )nii iy z y z? ? ? ??? ? ???? ?1 )m a x{ 0 , (1 }ini iyz??? ?? ? ??1 [ ( 1 m a x{ 0 , } m a x{ 0 ,) }]niii yz???? ? ? ? ??11) m i n{ 0 , m i n{ 0}} ,(1nniiiiyz??????? ??( ) ( )11) | || ||(| ||1 yz.因此，由函数 ()1| || |y? 的凸性和 K-K-T 条件知， ()Px? 在 kx 处沿方向 kd 的方向导数( ) ( )1100) ( ) | | ( ) | |()( | | | |l i mkk k k kk T kd P x cd x d xfx cd d?( ) ( )11((|| [ ) ) ] || ( ) |) || |l im() k k T k kk T k c x A x d xf x d c( ) ( )11( ) ( | ( ( ) ) ] || ( ) ||| ) || )[k T k k k T k kf x d x Accx d x? ???????11 ()( ) ( ) | |||miTk k k k kk i iBd c x xcd?? ????? ? ? ???????() 11|() | ( ) | | ( )mk T k k k kk i iicxd B d cx??? ?? ? ? ? ?，其中矩阵 1 2) ( ( ) ( ) ( ) )( kk mkkc x c x xx cA ? ? ? ??，从而定理得证 .定理 15.2.2 如果 kd 是二次规划问题 (15.2.2)的 K-K-T 点， k? 是相应的乘子，则当( ) 0k T kkd B d ? 且 || ||k 时， kd 是 1l? 罚函数 (15.2.4)在kx 处的下降方向 .证由于1 ( ) ( ) ) ( ))( (m k k k k k ki i i i i ii E Iiic x c x c x? ? ?? ? ??? ? ? ??? ?() 1| ( ) || | | | | | |m a x{ 0 , ( ) } ( ) | ||k k k k k ki i i ii EI ic x c x c x? ? ?，故当 ( ) 0k T kkd B d ? 且 || ||k 时，由 (15.2.5)知 ()Px? 在 kx处沿方向 kd 的方向导数§ 15.2 序列二次规划法最优化理论与方法 [乌力吉 ] 281)( 0kkP d ddx?，这表明 kd 是 1l? 罚函数 (15.2.4)在 kx 处的下降方向 .下面给出序列二次规划法的具体算法，这个算法是韩世平于 1976 年提出来的， Powell在 1977 年给出修改方案 . 由于 Wilson 早在 1963 年就讨论过Lagrange-Newton 法，因此，下面的算法也称作 Wilson-Han-Powell 算法 .算法 15.3（序列二次规划法）步 1：给定初始点 0 nx?? ，罚因子 0?? ，步长上限 0?? ，初始矩阵 0 nnB ，初始参数 0 0?? ，容许误差 0?? ，置 0k? ；步 2：求解二次规划子问题 (15.2.2)得到下降方向 kd ，如果|| ||kd ?? ，则算法结束，输出近似 K-K-T 点 kx ；步 3：求出步长 [0, ]k ，使得0) m i(( n)k k k kkkP d P x dx?? ??? ? ???? ? ? ?； (15.2.7)步 4：令 1kk kkx x d?? ?? ；步 5：产生矩阵 1kB? 和参数 1 0k?? ? ；步 6：置 1kk??，转步 2.注（ 1）在算法 15.3 中，价值函数 ()Px? 是 1l? 罚函数 (15.2.4)，正数列 {}k? 满足0k k??. (15.2.8)（2）矩阵1kB? 的计算一般是用拟牛顿迭代公式产生，我们希望它是 2 1 1( , )kkxxLx 的近似，因此可取1 1 11( ) ( ) ( ), )( ()mk k k k k k k k ki i iix x f x f x cs xy cx?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， (15.2.9)然后利用拟牛顿公式计算1kB? . 由于上述线搜索过程不能保证( )0k T kys ? ，从而不能直接利用 BFGS 方法 . Powell 在 1978 年给出了一种修正策略，即取) 0 . 2 ( )( 1 ), ( ,, ) 0 . 2(,()k k T k k T kk kk k k T k k T kk k k ky s B sBysy y s y s B ss?? ????? ? ?第十五章序列二次规划法282 最优化理论与方法 [乌力吉 ]其中(0 .8 ()( ) )k T kkk k T k k T kks B ssysBs? ? ?，经过这样的修正，我们就可以用 BFGS 方法 .还有一种修正策略是以1 ( ) ( )? 2mk k k kiii c x c xyy ? ?? ?? ?来取代 ky . 这种做法一般能保证 ?( )0k T ks y ? ，如果 ?( )0k T ks y ? ，则可以通过增大 ? 来实现其反号 .定理 15.2.3 设 ()fx和 ( )( )i x i E Ic ??都连续可微，且存在两个常数 0 mM?? ，使得不等式22|| |||| || T km d Bd M dd?? (15.2.10)对一切 k 和 nd?? 都成立 . 如果不等式 || ||k 对一切 k 都成立，则由算法 15.3 产生的点列 {}kx 的任何聚点都是约束优化问题 (15.2.1)的 K-K-T 点 .证设x 是点列{}kx 的任意一个聚点，且存在无穷指标集0 {1, }2,K ? ? ，使得0limkkkK x x?.由定理的条件可知， {}k? 和 {}kB 都有界从而0{}k kK? ?和0{}k k KB ?都有收敛子列，不妨就设00,lim limkkk kKKBB? ???.由于 kd 是二次规划子问题 (15.2.2)的最优解，从而 kd 满足 K-K-T 条件 (15.2.3). 注意到()fx和 ( )( )i x i E Ic ??都连续可微， kB 满足不等式 (15.2.10)，由线性方程组的扰动理论，我们在 (15.2.3)式中令 k?? ，不难得出lim kkKk dd??? ? ， (15.2.11)且 d 满足 K-K-T 条件§ 15.2 序列二次规划法最优化理论与方法 [乌力吉 ] 2831( ) ( ) ,( ) ( ) 0 , , ( ) ( ) 0 , 0 , ( ) ( ) .( ) 0 , miiiTiiTi i iTi i if x c xx x i ExxBdc d cc d c cdx x Ici(15.2.12)如果 d?0 ，则由 K-K-T 条件 (15.2.12)易见，这时 x 是约束优化问题 (15.2.1)的 K-K-T点，定理得证 .下面讨论 d?0 的情形，这时取 [0, ]? ?? ，满足0) m i((n)P x P xdd????????? ? ?.由于 d 满足 K-K-T 条件 (15.2.12)，其中 ? 是 x 的乘子， 0Td Bd? ，|| ||? ??? ，由定理 15.2.2 可知， d 是目标函数 ()Px? 在 x 处的下降方向，从而有)(()P x P xd.记 ) )0((P x P x d??? ??? ?? ，由于kkd x dx ??? ? ? 0,)( kKk ?? ? ，故对充分大的 0k K? ，有() 2 ()kkPPx d x??? ??? ?. (15.2.13)另一方面，由于1 0) m in(( )( )k k k kkkxxP P d P x? ? ??? ? ? ?? ??? ? ? ? ? 对每个 k 成立，故对任意自然数 k 和 m ， 1mk??，有111( ) )(mmkiikPxxP?? ?. (15.2.14)再注意到不等式 (15.2.8)蕴含对充分大的 k 有2iki ???? ??，因此，对充分大的 k ，我们在不等式 (15.2.14)中令 m?? ，得第十五章序列二次规划法284 最优化理论与方法 [乌力吉 ]11( ) )(k iikP xP x?? ?0 (m i n )kk iikPdx??? ??。
基于遗传算法-序列二次规划的磁共振被动匀场优化方法
基于遗传算法-序列二次规划的磁共振被动匀场优化方法赵杰;刘锋;夏灵;范一峰
【期刊名称】《浙江大学学报（工学版）》
【年(卷),期】2024(58)6
【摘要】为了解决磁共振成像(MRI)系统中固有的主磁场(B0)不均匀的问题,提出遗传算法-序列二次规划(GASQP)算法,以提高7 T磁共振的主磁场均匀性.从被动匀场数学模型的角度出发,该混合算法利用GA算法获得稳定的初始解,实现主磁场的第1次优化,再通过SQP算法的快速求解,在较少的时间内实现主磁场的第2次优化,同时提高磁共振主磁场的均匀性.采用正则化方法减少磁场均匀所需的铁片质量,并且获得稀疏的铁片分布.在仿真建模的案例研究中,7 T磁共振裸磁场均匀度可以从462×10-6优化到4.5×10-6,并且在匀场空间上仅消耗0.8 kg的铁片.相比于传统的GA优化方法,新方案的磁场均匀性提高了96.7%,总铁片消耗质量减少了85.7%.实验结果表明,GA-SQP算法比其他优化算法具有更强的鲁棒性和竞争力.【总页数】10页(P1305-1314)
【作者】赵杰;刘锋;夏灵;范一峰
【作者单位】杭州医学院医学影像学院;昆士兰大学信息技术与电气工程学院;浙江大学生物医学工程教育部重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.基于改进遗传算法和序列二次规划的再入轨迹优化
2.一种永磁磁共振成像磁体的被动匀场方法
3.基于边界元方法的超导核磁共振成像设备高阶轴向匀场线圈优化算法
4.基于遗传算法和逐次序列二次规划的叶栅基迭优化
5.基于遗传算法和序列二次规划法的结构稳健性优化设计方法
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
飞行器轨迹优化数值算法综述_黄国强
从 20 世纪 50 年代开始, Лев Пон-трягин 和 Bellman 对最优控制理论的卓越贡献奠定了轨迹优化研究的 基础[1]. 同时由于工业应用领域需求的拉动, Bryson[5] 展开了最优控制理论应用的研究 . 应用极小值原理 对最优控制问题进行求解时 , 由最优控制问题转化 而来的微分 -代数方程组通常为非线性微分方程两点 边值问题 , 进行解析求解存在巨大的困难 . 即使在 80 年代以后发展出的间接打靶法、临近极值法等数 值求解方法, 依然存在着对初估值高度敏感、复杂约 束下求解困难等问题 [6]. 因此 , 借助优化理论 , 直接 通过迭代寻优求解最优轨迹的方法获得了研究者的 重视. 直接法涵盖了两个关键问题 : 如何将最优控制 问题转化为非线性规划问题和如何求解变换而来的 非线性规划问题, 即离散变换和优化求解[1]. 直接法无需求最优解的必要条件 , 而是将连续 的最优控制问题离散并参数化 , 直接用数值方法对 性能指标寻优 [3]. 直接法相对间接法应用更为广泛 , 而且有多种转化方法实现上述参数化过程 , 目前直 接打靶法、多重直接打靶法、配点法、微分包含法等 四种方法是主要应用的轨迹优化方法[4].
( 不随时间变化的 ) 静态参数 . f i () 是描述相互干扰
作用的各动态随机子系统的运动函数. 第 i 个飞行器子系统在时间 ti0 时其初始条件如下, 从该初始条件的起点 O:
序列二次规划法
min
1 T S HS C T S 2 s. t. AS B Aeq S Beq
（1-5）
求解此二次规划问题，将其最优解 S * 作为原问题的下一个搜索方向 S ， 并在该方向上进行原约束问题目标函数的约束一维搜索， 就可以得到原约束问题 的一个近似解 X
此问题是原约束最优化问题的近似问题，但其解不一定是原问题的可行点。 为此，令
S X Xk
将上述二次规划问题变成关于变量的 S 的问题，即
1 min f ( X ) S T 2 f ( X k ) S f ( X k )T S 2 s. t. gu ( X k )T S gu ( X k ) 0 (u 1,2,..., p) hv ( X k )T S hv ( X k ) 0
k
3 序列二次规划算法推导过程
序列二次规划（SQP）算法是将复杂的非线性约束最优化问题转化为比较 简单的二次规划（QP）问题求解的算法。所谓二次规划问题就是目标函数为二 次函数， 约束函数为线性函数的最优化问题。二次规划问题是最简单的非线性约 束最优化问题。
3.1 序列二次规划算法思想
非线性约束最优化问题：
令
（1-3）
(v 1,2,..., m)
H 2 f ( X k ) C f ( X k ) Aeq [h1 ( X k ), h2 ( X k ),..., hm ( X k )]T A [g1 ( X k ), g 2 ( X k ),..., g p ( X k )]T Beq [h1 ( X k ), h2 ( X k ),..., hm ( X k )]T B [ g1 ( X k ), g 2 ( X k ),..., g p ( X k )]T
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
航 天 控 制Aer os pace Contr ol Dec 12009Vol 127,No .6基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究3郑总准1 吴 浩2 王永骥11.华中科技大学控制科学与工程系,武汉4300742.北京航天自动控制研究所,北京100854摘 要 介绍了序列二次规划算法在飞行器再入轨迹优化问题中的应用。
首先引入了能量替代变量对无量纲运动方程进行推导,使得运动方程和优化问题易于处理,考虑严格的过程约束和终端约束,以攻角和倾侧角为控制变量,总加热量最小为性能指标;然后通过直接配点法将最优控制问题转化为非线性规划问题,选取各节点的状态量和控制量作为优化参数;最后应用序列二次规划算法对非线性规划问题进行求解。
针对多约束的再入飞行器的轨迹优化时对初值敏感的问题,提出一种参考轨迹快速规划算法,提高了优化速度。
仿真结果表明提出的方法能够较快地搜索到最优轨迹,满足所有约束且落点精度高。
关键词 轨迹优化;非线性规划;配点法;序列二次优化;参考轨迹中图分类号:V412 文献标识码:A 文章编号:100623242(2009)0620008206 3国家自然科学基金(60674105);教育部科研培育项目(20081383)和航天支撑基金(2008)资助 收稿日期:2008212212作者简介:郑总准(1983-),男,福建福州人,博士研究生,研究方向为飞行器轨迹优化、制导与控制;吴 浩(1980-),男,湖北武汉人,博士,研究方向为飞行器制导与控制;王永骥(1955-),男,江西吉安人,教授,博士生导师,研究方向为网络控制、飞行器制导与控制。
Reen try Tra jectory O pti m i za ti on Usi n g Sequen ti a lQuadra ti c Programm i n gZ HE NG Z ongzhun 1 WU Hao 2 WANG Yongji11.Huazhong University of Science and Technol ogy,W uhan 430074,China2.Beijing Aer os pace Aut omati on Contr ol I nstitute,Beijing 100854,ChinaAbstract Sequen tial quadratic programm ing for trajectory opti m iza tion of reentry vehicle is proposed .F irstly,Equations of m otion a re nor m a lized and an independen t variable is introduced to reduce the difficul 2ty of iterative co m putation .W ith the angle of a ttack and the bank ang le as control variables,the opti m al control proble m is set to m ini m ize hea t index,considering strict process and ter m inal constraints .A nd then,by choosing states and controls of discrete nodes as param eters,the opti m al control proble m is transfor m ed into a nonlinear programm ing proble m using direct colloca tion m ethod .F inally,sequential quadratic pro 2gramm ing is presented for solving the non linea r programm ing proble m.A ccord ing to the sensitivity to initial value in trajectory opti m ization for reen try vehicles w ith m ulti 2constraint,this paper develops a rapid refer 2ence trajectory prog ramm ing strategy .S i m ulation results sho w that the opti m al trajectory can consistently a 2chieve the desired target conditions w ithin allo w able tolerances and satisfy all the other constraints effectively .Key words Tra jectory opti m ization;N onlinear prog ramm ing;D irect colloca tion m ethod;Sequential・8・第27卷 第6期郑总准等:基于序列二次规划算法的再入轨迹优化研究quadratic programm ing;R eference tra jectory 再入飞行轨迹优化作为研发先进飞行器的关键技术之一,是飞行器总体设计和规划中的重要组成部分。
轨迹优化可表述为一个非线性、带有控制约束、终端约束以及轨道约束的最优控制问题,即泛函的条件极值问题。
由于问题高度非线性等原因,最优控制量的解析形式很难求得,因此轨迹优化问题的数值解法成为研究的重点。
轨迹优化中的数值方法主要可分为间接法和直接法。
以Pontryagin极大值原理为代表的间接法,将问题转化为两点边值问题,并采用最速下降法、边值打靶法或临近极值法等进行求解。
由于飞行器的高度非线性等原因,且间接法对协态变量的初始值十分敏感,因此难以求得最优控制量的精确解。
基于非线性规划理论的直接法,将轨迹的状态和控制变量离散化,从而把最优控制问题转化为参数优化问题,使用非线性规划算法求解。
直接法可以克服传统间接法对计算初始值要求过严的缺点,参数优化法、配点法和伪光谱法等转化方法己经被广泛应用,取得了令人注目的成果[1-3]。
对于非线性规划问题,目前尚无统一的求解算法,共轭梯度法、拟牛顿法、单纯形法和序列二次规划法(Sequential Quad2 ratic Pr ogra mm ing,S QP)等都是解非线性规划的有效的算法。
S QP法对原问题的近似中包含有二阶导数信息,因而在具有全局收敛性的同时保持局部超1次收敛性,被公认为是当今求解光滑的非线性规划问题最优秀的算法之一[4]。
本文通过引入更适合于优化数值算法求解的无量纲替代变量,建立了以总加热量最小作为优化目标的最优控制问题模型,考虑严格的过程约束和终端约束;然后采用直接配点法将最优控制问题转化为非线性规划问题,选取各节点的状态量和控制量作为优化参数;最后应用S QP法对非线性规划问题进行求解。
由于选择不同的初始参考轨迹对优化算法的迭代时间和收敛结果具有不可忽视的影响,文章提出一种参考轨迹快速规划算法,提高了收敛速度,得到了满意的效果。
1 轨迹优化问题描述1.1 运动方程假设地球是一个均匀球体,考虑地球旋转引起的哥氏力和牵引力的影响,在飞行器侧滑角为零的条件下,文献[5]给出了飞行器的无量纲再入质点运动方程。
在状态方程中一般采用时间t作为自变量,文中为了避免积分范围对时间的不确定而引入反值能量e替代时间,其表达式为e=1/R-V2/2(1) e为飞行器单位质量所具有的负值机械能,零势能在无限远处,则飞行器质点运动方程为d Rd e=V sinγ(VD-VφV3)-1dθd e=V cosγsinψR cos<(VD-VφV3)-1d<d e=V cosγcosψR(VD-VφV3)-1d Vd e=(-D-sinγR2+φV3)(VD-VφV3)-1(2) dγd e=1V[L cosσ+(V2-1R)co sγR+φγ3+φγ4](VD-VφV3)-1dψd e=1V[L sinσcosγ+V2co sγsinψtan<R-φψ3+φψ4](VD-VφV3)-1式中,变量R表示飞行器质心距地心的距离,其无量纲化参数为地球半径R(R=6378km);V表示飞行器相对地球的速度,其无量纲化参数为V=g0r0(g0=9.81m/s2);θ,<,γ,ψ分别为经度、纬度、航迹倾角和航迹偏角;σ为倾侧角;式(2)后三项右边的φ函数均是由哥氏力和牵引力引起的附加项。
L和D分别是无量纲的升力加速度和阻力加速度,其表达式为L=ρ(V0V)2C L S/2m g0D=ρ(V0V)2C D S/2m g0(3)式中,S为飞行器有效面积,CL和CD分别为升力和阻力系数,可表示为攻角α和马赫数M a的插值函数。
大气密度模型为ρ=ρexp(-h/hs)(4)其中,ρ是海平面标准大气密度,hs为标量高度系数,h=(R-1)r。
转化后运动方程的积分区间为[e,e f],起点和终点可以由再入的初始和终端条件唯一确定,且其终端的速度和高度只需满足一个,另一个自然满足,・9・航 天 控 制2009年这样处理降低了求解的难度。
1.2 约束条件飞行器在再入过程中面临着严重的气动受热、过载及动压问题,为易于控制器的设计,要考虑平衡滑翔约束。
此外,再入段的终端状态受严格约束。
1)热流约束。
为了不使表面温度过高,一般需要对驻点热流的速度加以限制,即Q・=kρV3.15≤Q・max(5)式中,V为无量纲速度,k为常值系数。
2)过载约束。
为了在再入时对飞行器进行保护,需要对总过载进行限制,即n=L2+D2≤n max(6) 3)动压约束。
根据再入任务的要求,存在最大动压约束q=ρ(VV0)2/2≤q max(7) 4)平衡滑翔约束。
理想的再入轨迹应该是无跳跃现象且轨迹倾角变化平滑,即轨道倾角γ≤0,且γ・≈0。
L co sσ+(V2/R-1/R2)≤0(8) 5)再入终端状态约束。
为使飞行器更好地完成对地攻击任务,终端处的(R,θ,<,V,γ,ψ)均严格约束。
轨迹优化可表述为一个非线性、带约束的最优控制问题。
本文以再入过程飞行器的总吸热量最小作为优化目标,即J=∫e f e0Q・(d e dτ)-1d e(9)其中,状态量x=[R θ < V γ ψ]T,控制量u=[α σ]T。