第八章 一些特殊的图

哈密尔顿给出了肯定回答，该问题的解是存在
的
哈密尔顿回路(圈)哈密尔顿图 运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为哈密尔顿图问题
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8.3 哈密顿图
定义 8.5 经过图（有向图或无向图）中所有顶 点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图中所有顶点一次且仅一次的回 路称为哈密顿回路。 具有哈密顿回路的图称为哈密顿图. 具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路 的图称为半哈密顿图. 注:平凡图是哈密顿图。
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例8.10 指出下列各图是否哈密顿图,有无哈密顿 通路, 回路？ 解 (1) 容易判断, 存在哈密顿回路, 故是哈密顿图. (2) 只有哈密顿通路, 无哈密顿回路, 故不是哈 密顿图. (3) 无哈密顿通路，显然不是哈密顿图.
(1)
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(2)
(3)
v2
v6
v3
v4
定理8.1 一个无向图 G = < V, E >是二部图当且 仅当G中无奇数长度的回路。 下图所示前3个图中, 均无奇数长度的回路, 所以它们都是二部图, 其中图(2)所示为K2, 3, 图(3) 所示为K3, 3, 它们分别与图(4)和(5)同构。
(1)
(2)
(3)
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第八章 一些特殊的图
内容导读: 二部图 欧拉图 哈密顿图 平面图
难点:各种图的判别定理
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1
C A D
B
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2
设无向图 G = < V, E > 有两个V的子集V1,V2, 它们具有满足： V1∪V2= V V1∩V2= 图G中的每一边 e 均具有 e = ( v i , vj ) 其中： vi ∈ V1 , vj∈ V2 则称G是一个二部图，
G1
e2
e1
G2
e2
e3
e1
G3
e2
e3
在上图中, {e1, e2 }为G1中的最大匹配, G1中不存在完备 匹配, 更无完美匹配。 G2中{e1, e2 , e3}为完备匹配, 但G2 中无完美匹配。 G3中{e1,e2, e3}为完备匹配, 同时也是完 美匹配。 11 2016/3/10离散数学
篮
排
足
张
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王
李 赵 陈
12
篮
排
足
篮
排
足
V1
V1
V2 张 篮 V1 王 李 排 赵 陈 足
V2 张 王 李 赵 陈
篮
V1
排
足
剩 下 的 匹 配 同 学 们 自 己 找
V2
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V2 王 李 赵 陈 张 王 李 赵 陈
13
张
8.2 欧拉图
几个问题 1 ―一笔画”问题 2 ―街道清扫车” 设某封闭式小区的路网结构如图 所示，请证明能否设计出一条路 线使得清洁车从小区大门出发清 扫每条道路恰好一次，且在清扫 完最后一条道路后正好返回小区 大门处。 3 七桥问题 A B
e1 e1 e2 e3 e4 e6
e2
e7 e4
(1)
e6
e5
e7
(2)Βιβλιοθήκη Baidu
e5
e3
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在图(1)中不存在完美匹配。在图(2)中, {e1, e7, e4 }是最大匹配，同时也是完美匹配。
10
定义8.3 设 G = < V1, V2, E >为二部图, M为G中一个最大 匹配, 若 |M| = min{ |V1|, |V2| }, 则称M为G中的一 个完备匹配, 此时若|V1|≤ |V2|, 则称M为V1到 V2的 一个完备匹配。如果|V1|= |V2| ,这时M为G中的完 美匹配。 e1
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例 8.5 考察下图是否为欧拉图 或存在欧拉通路？ ∵ 存在两个奇度顶点 ∴ 根据定理8.4推论知 不是欧拉图. 存在一条欧拉通路
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定理 8.5 有向图D具有欧拉通路 D 是连通的,且除了 两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度。在 这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度 大1,另一个顶点的入度比出度小1。 推论 一个有向图D是欧拉图 D是连通的，且所有 顶点的入度等于出度。 特别提醒：欧拉回路要求边不能重复，结点可 以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边， 回到原处. 就是所谓的一笔画.
规定：平凡图是欧拉图。
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例8.4 左下图既是欧拉回路，也是欧拉图 而右下图则是欧拉通路
e1 e3
A
e4
B
e2
C
D
E
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定理8.4 无向图G具有欧拉通路 G是连通图，且G中有 零个或两个奇度顶点。 若无奇度顶点，则通路为欧拉回路；若有 两个奇度顶点，则它们是每条欧拉通路的端点。 推论 无向图G是欧拉图 G是连通图，且G中 没有奇度顶点。 无向图G是半欧拉图 G是连通图，且G 中恰有两个奇度顶点。
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小区大门
C D
在以下4个图中, 不能一笔画出图①, ②, 而能一笔 画出图③, ④且在④中笔又能回到出发点。
C
①
②
A B
D
③
④
在③中存在关联所有顶点的简单通路, 在④中存在关联所有顶点的 简单回路
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定义8.4 通过图(无向图或有向图)中所有边一次且 仅一次行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。 通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶 点的回路称为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧 拉图。
e4 e3 e6 e5 e1
v2
v4
e2
v5
v3
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e7
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例 8.13 利用定理8.6可判断某些图不是哈密顿图
8
e1 e6 e2
(2)
e5
e7
e4
e3
在图(2)中, {e2, e5 }, {e3 , e6 },{e1 , e7 , e4 }都是极大 匹配, 其中{e1, e7, e4 }是最大匹配。
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今后常用M表示匹配，设M为G中一个匹配， vV(G), 若存在M中的边与v关联，则称v为M 饱和点，否则v为M非饱和点，若G中每个顶点 都是饱和点，则称M为G中完美匹配。
(4)
(5)
6
定义8.2 设 G = < V, E >为无向图, E*E, 若E*中任意两 条边均不相邻, 则子集E*称为G中的匹配(或边独 立集), 并把E*中的边所关联的两个结点称为在 E*下是匹配的。 e1
e1 e2 e3 e4 e6
e2
e7 e4
(1)
e6
e5
e7
(2)
e5
e3
在图(1)中，{e1}, {e1, e7 }, {e5}, {e4 , e6 }等都是图中 的匹配。在图(2)中找出匹配。 7 2016/3/10离散数学
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(1)
(2)
3
定义8.1 若一个图G的结点集V能划分为两个子 集V1和V2，使得G的每一条边{vi,vj}满足vi∈V1, vj∈V2 , 则称G是一个二部图， V1和V2称为G的 互补结点子集。此时可将G记成 G = < V1,V2, E > 若V1中任一结点与V2中每一结点均有边相连 接, 则称二部图为完全二部图。若|V1|=n, |V2 |=m 则记完全二部图G为Kn, m。
例8.2 我们班级成立了 3 个运动队:篮球队、排球队和足球队。 今有张、王、李、赵、陈5位同学，若已知张、王为篮球队员； 张、李、赵为排球队员；李、赵、陈为足球队员，问能否从这 5人中选出3名不兼职的队长？ 解:构造二部图G=<V1,V2,E>其中V1=篮 球队,排球队,足球队, V2 =张,王,李,赵,陈 图中的边分别表示这5位同学是相应球 V1 队的队员,图中存在V1到V2的匹配,因 此题目要求可以满足。 如可选张为篮球队长,李为排球队长, 陈为足球队长。 V2
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定理 8.6 —— 必要条件 设无向图G=<V,E>是哈密顿图,对于任意V1 V 且V1 ≠, 均有 p(G-V1)≤| V1 |,其中p(G-V1)为G 中删除V1(删除V1中各顶点及关联的边)后所得图 的连通分支数。 证: 设C为G中任意一条哈密顿回路。 ① 若V1中的顶点在C上彼此相邻，则 p(C- V1)=1 ≤| V1 | ② 设V1中的顶点在C上存在 r( 2≤ r ≤ | V1 | )个 互不相邻，则 p(C- V1)=r ≤| V1 | 一般说来, V1中的顶点在C上既有相邻的,又有不相 邻的,因而总有 p(C- V1) ≤| V1 | ， 27 2016/3/10离散数学
V1={v1, v4}
或V1={v2, v3}
若V1中的顶点在C上彼此相邻，则 P(C- V1)=1 ≤| V1 |
v1
e4 e3
v4 v2
e1 e5
e6
v5
e2
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v3
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V1={v1, v2, v3 } 或 V1={v1, v4, v3}
设V1中的顶点在C上存在 r( 2≤ r ≤ | V1 | )个 互不相邻，则 P(C- V1)=r ≤| V1 | v1
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哈密尔顿图

问题 1859年爱尔兰数学家威廉· 哈密尔顿（Sir William Rowan Hamilton William Hamilton）发明了一个小游戏玩具：一 (1805-1865) 个木刻的正十二面体，每面系正五角形，三面交 于一角，共有20个角，每角标有世界上一个重要 城市。哈密尔顿提出一个问题：要求沿正十二面 体的边寻找一条路通过20个城市，而每个城市只 通过一次，最后返回原地。哈密尔顿将此问题称 为周游世界问题。游戏) 求解 抽象为图论问题
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几个问题
1. 在一个大城市，有很多取款机，那么，如何制定出一个 最优的路线，使运钞车过每个提款机一次就能运送完钱 钞？ 货郎担问题旅行商人问题(TSP) 2. 考虑在七天内安排七门课程的考试，要求同一位教师所 任教的两门课程考试不安排在接连的两天里，如果教师 所担任的课程都不多于四门，则是否存在满足上述要求 的考试安排方案？ 时间表问题 3. 国际象棋的跳马是否可以遍历其棋盘，即从任一格出发 跳到每一格仅一次并最后回到出发的棋盘格子？ 4. 在一个至少有5人出席的圆桌会议上（会议需要举行多 次），为达到充分交流的目的，会议主持者希望每次会 议每人两侧的人均与前次不同，这是否可行？请应用图 论知识进行论证。 5. 周游世界问题
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例8.7 考察下图是欧拉通路或欧拉回路吗？ 三个顶点的度出度与入度相同 是欧拉回路！ ∵ 沿着边 e00, e01, e12, e22, e21, e10, e’01, e’12, e20 e20 回到出发点
e00 v0 e10 e01 v1 e21 e12 v2
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K3,3 K2,3
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(1)
(2)
4
例 8.1 判断下列图是否是二部图？
v1 v2 v6 v7 v1 v3 二部图是不是 一定是连通图 ? v8 v4 v1 v5 v5 v2
v3
v5
(3) (1) (2) v4 在图 (1) 中, V1={v1, v3, v5}, V2={v2, v4, v6}, 是一个完 全二部图。在图 (2) 中, V1={v1, v4, v8, v5}, V2={v2, v3, v7, v6}, 是一个二部图。在图 (3) 中, 对于 其中的顶点无法将它们分到两个不同的子集V1和 V , 所以它不是二部图。 2,使其边能满足二部图的定义 5 2016/3/10 离散数学
若在E*中再加入任何一条边就都不是匹配了, 则称E*为极大匹配。边数最多的极大匹配称为 最大匹配，最大匹配中的元素(边)的个数称为G 的匹配数，记为1(G), 简记为1 。
e1 e1 e2 e3 e4 e6
e2
e7 e4
(1)
e6
e5
e7
(2)
e5
e3
2016/3/10离散数学
在图(1)中, {e5}, {e1, e7 }, {e4 , e6 } {e3, e7 }, {e2, e6 } 是极大匹配，后4个是最大匹配，匹配数1 =2。
e22
e’01
e’12
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8.3 哈密顿图
几个问题 在一个大城市，有很多取款机，那么，如何制定出一个 最优的路线，使运钞车过每个提款机一次就能运送完钱 钞？ 货郎担问题 旅行商人问题 (Traveling Salesman Problem ,TSP) 优化算法——近似解演化算法